Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ищем решение в виде х(Д и) = х,(1)+их, (1)+ ... +Них„(0+ ... Находим периодическое решение порождающего уравнения х,+2х, =Мой хо(Г) =з1пе Периодическое решение уравнения 1 — соа 21 х, +2х, = з1п'Г или х, +2х, = 2 имеет вид 1 сов 21 х,= — + 4 ' 4 Следовательно, периодическое решение 1 х (й р) ж э1пг+ — (1+ гоа 21) Н. 4 2. Р е з о н а н с и ы й с л у ч а й. Метод малого параметра может быть применен и в резонансном случае, т. е. в случае, когда в уравнении (2.107) а равно пелому числу и или стремится к целому числу и при !т — ь0.
Если в уравнении (2.107) а мало отличается от целого числа и, точнее, разность а' — пя имеет порядок малости не ниже чем рд Оя — Вт = иг!м (2.112) тле а, ограничено при р — ь О, то уравнение х+ аех = у (1) + (хто (П х, х, )т) можно переписать в виде х+ пах=у (1)+(пт — ат) х+РР(П х, х, !4). МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА а з! откуда в силу (2.112! х+азх=у'(1)+!224,(1, х, х, ц), где функция Г"., удовлетворяет тем же условиям, которым по предположению удовлетворяет функция Р. Следовательно, в дальнейшем в резонансном случае можно считать а равным целому числу: х+азх= Г" (1)+рГ(1. х, х, )2).
Применяя метод малото параметра, ищем периодическое решение в виде ряда х(т, р)=хо(У)+рх,(1)+ ... +р,еха(Ю)+ ... Для определения функций ха(т) опять получаем уравнения (2.109), в которых аз = ая, но в данном случае порождающее уравнение хо+ а'хо — у(а) (2.! 13) имеет периодическое решение лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части. т. е.
при выполнении условий (см. стр. 145) ~У(1)соза1 22Г=О, о тл ~ /(Г) 21п а1 л!!=О. о (2, 106) хо(1) =сюсоза1+ сеоз!лат+фа(т). Функция х,(1) определяется из уравнения х,+аех, =2Р(Г, хо, хо, 0). (2.114) Это уравнение также имеет периодические решения лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части, т. е. при выполнении. условий ~ Р(1, х, х. 0)сова!И=0, о Р У, х,, х,. 0) з)п ат Ж = О.
о (2.116) Если зти условия выполнены, то все решения уравнения (2,113) будут периодическими периода 2п (см. стр. !46) 132 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2 УРавнениЯ (2.113) содеРжат сто и сзо, котоРые, вообще говоРЯ, и определяются из втой системы. Пусть сто и с,о удовлетворяют системе (2.1!5); тогда все решения уравнения (2.1!4) имеют период 22с хг (г) = с12 сов пг -1- с2~ 5!п лг + фг (г), (2.1! 6) причем сп и сз, опять определяются из двух условий отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): + 2 ~ дР') + ~ дд') ° (дд') дк х=х, дк,, дн х„, к=к х = хО к=х, я=О Р=О я=О и т.
д, Следовательно, не каждому периодическому решению хо = с2о соз лг+ соо51п П1+чоо(с) порождающего уравнения, а лишь некоторым, значения сш и с которых удовлетворяют уравнениям (2,113), соответствуют периодические решения уравнения (2.107) при малых р. Конечно, и в резонансном случае для того, чтобы, не находя общего члена ряда (2.110), быть уверенным, что указанным процессом будет найдено периодическое решение, надо предварительно доказать теорему о существовании периодических решений. Это замечание относится и к случаям, изложенным в следующих пунктах 3 н 4. 3. Резонанс и-го рода.
Иногда в системах, описываемых уравнением х+ атх = 7 (1) + ргч (1, х, х, р), (2. 107) удовлетворяющим указанным выше условиям, наблюдаются интенсив- 1 ные колебания, когда собственная частота мало отличается от —, л где п — целое число. Это явление получило название резонанса п-го рода, С математической точки зрения зто означает, что при а, мало 1 отличающемся от —, где и — целое число, большее единицы, урав- нение (2.107) может иметь периодические решения периода 2пп, не являющиеся в то же время периодическими решениями периода 2п. Пупь х+ —, х=У(1)+ рР(1, х, х, р) ! (2. 1! 7) МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА А 21 ! 2 (если а мало отличается от —, точнее, ао — — = мин где а, остается л ограниченной при р-ьО, то, перенося член 1а — — „)х в правую 1 ! часть и включая его в рул(1, х, х, р), получим уравнение вида (2.117) ).
Ищем периодическое решение уравнения (2.117) периода 2пи в виде ряда х(1, !1)=хо(!)+рх1(1)+ ... + р"х„(()+ ... (2.110) Подставляя (2.! 10) в уравнение (2.1!7) и сравнивая коэффипиеиты при 1 одинаковых степенях р, получим уравнения (2.109), в которых и = —. л Для определения хо(!) получаем порождающее уравнение 1 хо+ 2 хо у(С) 1(2,1 18) которое имеет периодическое решение периода 2ли лишь при отсут- ствии в правой части резонирующих членов, т. е. при 2лл 7 (Г) соз — Г7! = 0 и ! 7 (1) з(п — Ж = О.
/ Г . С и „/ Л Если эти условия выполнены, то все решения уравнения (2.118) имеют период 2пи хо = сю соз — + с о з! и — + <Ро (Г). л . л ГДЕ С1О Н С2Π— ПРОНЗВОЛЬНЫЕ ПОСтОяянЫе. Уравнение, определяющее хн ! Х! + л Х1 Р( ХО ХО !А) (2.119) 2лл л (1, х,, х,, р)соз — а7=0, и а 2ЛЛ Р ((, х, х,, р) з1п- сй = О, и о (2. ! 20) нз которых, вообще говоря, определяются с,о и са.
будет иметь периодические решения периода 2пи лишь при отсутствии в правых частях резонирующих членов, т, е. при выполнении условий УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !гл. я Если условия (2.120) удовлетворяются, то все решения уравнения (2.119) имеют период 2пп 1 х1 = сп с05 — + сю 5!и — +ф~ (1). Для определения произвольнык постоянных сц и сю пользуемся двумя условиями отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): Хр+ — ХР =~ — ) Х, +( —.) Х, +~ — ) х х, В=Р «=Р и т. д. 4. Автономный случай. уравнения (2.107) не зависит явно Предположим, что правая часть от 1, и уравнение имеет вид х + азх = !АЕ (х, х, !А), (2.121) х (1, !А) = хр(1) + рх1 (1) + ... + р" х„(1) + ..., (2.! 10) так как каждая из функций х,(1) в отдельности не обязана быть периодической функцией и, следовательно, функции х„(1) не могли бы быть найдены рассмотренными выше методами.
Поэтому надо преобразовать уравнение (2.!21) к новому независимому переменному так, чтобы по новому -переменному уравнение имело бы уже постоянный период, а уж аатем искать решение в 'виде ряда (2.1!О). где функция Р удовлетворяет поставленным выше условиям. На первый взгляд может казаться, что исследование уравнения (2.!21) должно быть проще исследования уравнения (2.107), в котором правая часть зависит от аргумента 1, однако в действительности отсутствие аргумента 1 в правой части уравнения приводит к усложнению задачи. Если правая часть явно зависит от 1, то, как уже отмечалось выше, известны возможные периоды решений, так как периоды решений могут быть лишь равными нли кратными периоду правой части вдоль решений по явно входящему аргументу 1.
Если же правая часть не содержит 1, то ее можно рассматривать как периодическую функцию произвольного периода и, следовательно, не исключена возможность существования решений любого периода, причем период решений, вообще говоря, будет функцией параметра !ь. Ввиду того, что период решения х(1, !ь) является, вообще говоря, функцией р, было бы нецелесообразно искать решение в виде ряда МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 155 4 в1 Предварительно для упрощении преобразуем уравнение (2.121) заменой независимого переменного 1, = а1 к виду — +х=рР,(х, х, р). (2. 122) оГ, Каждое решение порождающего уравнения хо (1,) =- с, соз (С, — Го) будет иметь период 2л, а периодические решения уравнения (2.122) при р ~ О, если они существуют, будут иметь период 2л+а(р), причем можно докззать, что а(р) является аналитической функцией р при достаточно малом р.
Разложим а(1г) в ряд по степеням р; тогда 2л+а(р)=2л(1+Ь|р+ пора+ ... -)-л„р" + ...), (2.123) где л — некоторые, пока неизвестные нам постоянные величины. 7 Преобразуем переменные так, чтобы периодическое решение х(1, р) уравнения (2,122) имело бы период не 2л+ а(р), а постоянный период 2л. Это достигается заменой переменных 1,=1а(1+ду+Ьара+ ...
+д,р'+ ...), (2,124) так как, в силу зависимости (2.123), при иаменении Г, от О до 2л+ а(р) новое переменное 1а изменяется от 0 до 2л. При этом уравнение (2.122) преобразуется к виду х,, +71+А,р+ ... + Ьчр~ — .'...)' х = =1'(1+7г1р+ ° ° ° +днрн+ . ° )' Г1(х, (1+йгр+ +)1ор + ...) 'х,, р) (2.125) Периодическое решение этого уравнения ищем в виде х(1м р)=хо(~т)+рх,(та)+ ... +р"х„((о)+ .... (2.126) где х„(1а) — 'периодические функции аргумента Гэ периода 2л. Подставляя (2.126) в уравнение (2.125) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в левой и правой частях равенства, получим хо+ х, = О, откуда хо — с сов (7о — 1о), х,+х,= — 2д,хо+Р,(хо, хо, О) или х,+х, = — 27г,ссоз(1,— Со)+ + Р, (с соз (Га — ~о), — с з! и (Ея — Со), О) (2.
127) Для того чтобы уравнение (2.127) имело периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы в его правой части отсутствовали звлвнения погядкл вышз псового резонирующие члены (см. (2.106)), т. е. чтобы зн Г < (С СО5 (Гз — гз), — с з1п (гз — Гз) О) з<П (Сз — Го) атз — — О, о — 2И < с + — / г < (с сов (гз — гс) — с сб и (Гз — Го), 0) Х з Х соз (гз — Гз) дГ, = О.
<гл. з <2. 128) Первое из втих уравнений дает возможность найти значения с, а второе — Ин опрелелнв которые. мы найдем те решения порождающего уравнения хе = с сов(<з — гз), в окрестности которых при малом <ь появляются периодические решения уравнения (2.122), н приближенно определим периол искомого решения 2л+а(р) ям 2л(1+И,<0. ЗнаЯ с и Ип можно опРеделить х, (Гз) и, если необходимо, тем же методом вычислить хз(<з). х (<з) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
