Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 27
Текст из файла (страница 27)
0 (х, г) непрерывна по х при фиксированном г при хв ~( х ( хп х,<я< хи 2. О (х, г) является решением соответствующего однородного уравнения понятии о кплевых злдлчлх является решением этого уравнения (краевые условия (2.139). очевидно, удовлетворяются в силу свойства 3)).
Действительно, к, у' (х) = ~ О',(х. г) /(г) ~й= ~ б„'(х. г) у'(г) Нг+ ~ О,'(х, г) у(г) иг; «О лр к к у" (х) = ~ 0„„(х. г) у (г) в'г + 0„(х, х — О) у (х) + к, к, + ~ О (х, г)г" (г)Иг — 0 (х, х+О)г(х) = к = ~ 0,„(х, г)г" (г)На+ ~0,(х+ О, х) — 0„(х — О, х)]у(х). к, Подставляя (2.142) в уравнение (2.133), получим Х ~,р(х) Охг(х, г)+ р (х) 0„(х, г)+д(х) 0(х, г)1 стх+ + р(х) ~0„(х+О, х) — 0 (х — О, х)~ У(х)= Г(х) в силу условий 2) н 4). Рассмотрим метод построения функции Грина, из которого получим также достаточное условие ее существования.
Рассмотрим решение у,(х) уравнения — (р (х) у') + (г (х) у = О, (2.143) определяемое начальными условиями у(,) =О, у'(,) =у,'~ О. Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет второму граничному условию у(х,) = О. Случай у,(хс) =у,(х,) =О является исключительным, и мы его здесь рассматривать не будем. Очевидно, что решения с,у, (х), где с~ — произвольная поствянная, также удовлетворяют граничному условию у(хс) = О.
Аналогично находим нетривиальное решение уа(х) уравнения (2.143). удввлетворяющее второму граничному условию уа(х,)=О; этому же условию удовлетворяют все решения семейства сауа(х). где са — произвольная постоянная. 11е УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1ГЛ. Я Функцию Грина ищем в виде с,у,(х) прн хе< х <з.
0(х. Е)= сяуя(х) при з л, х ( хм с, и с2 выбираем так, чтобы были выполнены е. чтобы функция 0(х. з) была непрерывна по х з, и в частности непрерывна в точке х =з: с,у, (з) = с,уз (з), (2. 144) ! точке х = з имела скачок — : Р(з) ' причем постоянные условия !) и 4), т. при фиксированном и чтобы Ох(х, з) в с у,' (з) — с у' (з) = —. ! 21 1) р(з) (2.146) откуда у (з) у (х) (р (з) р (з) Р хе 0(х, з)= У'( ) У'(х) прн з С хх' х (Р (з) р (з) 1. (2.
146) Пример. Найти функцию Грина краевой задачи у'(х)+у(х) /(х), у(О) О, у~ — ~ О. !2) Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие условиям у (О) О и у ~ —,~ О, соответственно имеют вид у, с, ып х н (2/ у, с, соз х, следовательно, согласно (2146) 0 (х, з) — сов аз!Вх при О~,х~з, и — з!из соя х яри 'з < х~ —. 2 Замечание. Мы предположили (стр. 163), что не существует нетривиального решения у(х) однородного уравнения (2.143), удовлетворяющего нулевым граничным условиям у(х„) =у(х,) = О. Это условие гарантирует не только существование и елинственность краевой вадачи (2.138), (2.139), но и единственность функции !"рина, В силу прелположения, что у,(х1)+ О.
решения у,(х) и уз(х) линейно неаависииы. так как все линейно зависимые от у,(х) решения имеют вид с,у,(х) и, следовательно, при с,+О не обращаются в нуль в точке хн в которой обращается в нуль решение Уз (х). Следовательно, определитель системы (2.144) и (2.145), являющииса определителем Вронского: (Р'(у1(х), уз(х))=(г'(х) в точке х=а, отличен от нуля и постоянные с, и сз. Удовлетворяющие системе (2.144) и (2.143), легко опрелеляются: у,(юу, (х) (у'(з) Р(з) ' ВАДАчи к ГлАВе а к, у, < х) = ~ О, (х, е) у (з) «з к, у,(х) = ~ 0,<х, е)/(е)«з, разность которых ~ 10, (х, е) — О, (х.
е)1 г" (з) «е. вопреки предположению, будет нетривиальным решением соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющим нулевым граничным условиям. Задачи и главе 2 1. у' — бу'+!Оу !00, причем прн х 0 у=10, у' 5. 2. х-1-х = е!пс — сод 21. З. у у- — З<у") -О. ! 4. у" + у ыспк х б. хку" — 4ху'+ бу =2. 6.
у" +у=сил. 2 7. у" + — <у')к О, 1 — у 6, —,, — 4 — +4х =е+е +1. «кх «х с гс ,«ск «с 9. (1+х')у'+(у')к+1 О. 1О. х" — +1 О. «"х «Ск 11. уш-1бу х' — е'. 12. <уке)к+(у')' 1. «'х «кх !3, — — — ы1. «ск «ск «кх «кх !4. — — 2 — +х Сг — 3. «Ск «Ск 15. у" + 4ху 0; проинтегрировать с помощью степенных рядов 1 ! 16. х"у" + ку'+ ~9хс — — ) у=О; проинтегрировать путем сведения 25) к уравнению Бесселя. !7 у" +<у')к-!. у<О)-О, у <О) 1 !б.
у' зу у, у(0) 1, у'<О) 1 !9. у +у 1 — —. з!пх' «ки 2 «и ю. —.+ — — о. «Гс Г «Г 21. Найти скорость, с которой тело упадет на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно боль<пой высоты н движение пронс- Действительно, если допустить существование двух различных функций Грина 0,(х, з) и Ог(х, е) для краевой задачи (2.138), (2.139), то получим лва различных решения этой задачи: УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [гл. з ходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400 кхс 22.
Найти закон движения тела, падающего без начальной скорости, допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет сноим пределом при Г -ь оо величину 75 лгусек. 23. Цепь длиной 6 м соскальзывает со стола. В ьшмент начала движения со стола свисал 1 м цепи. Во сколько времени со стола соскользнет вся цепь. (Трением пренебрегаем.) 24. Цепь переброшена через гладкий гвоздь.
В момент начала движения с одной стороны свисает 8 м цепи, а с другой стороны 10 м цепи. Во сколько времени вся цепь соскользнет с гвоздя? (Трением пренебрегаем.) 26. Поезд движется по горизонтальному пути. Вес поезда Р, сила тяги паровоза Р, сила сопротивления при движении 07 = а + бо, где а и б — постоянные, а о — скорость поезда; з — пройденный путь.
Определить закон движения поезда, считая, что при т = 0 з = 0 и о = О. 26. Груз в р кз подвешен на пружине и оттянул ее на а см. Затем пружина оттягивается еще иа А сж и отпускается без начальной скорости. Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды. 27. Лва одинаковых груза подвешены к концу пружины. Йайтн закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Лане, что удлинение пружины под влиянием одного нз грузов равно а см. 28. Материальная точка массы т отталкивается от центра О с силой, пропорциональной расстоянию.
Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения. 29. Найти периодическое решение с периодом 2п уравнения х+ 2х = У (т), где функция 700= пят — Р при — п < г (и и далее продолжена периодически. 30. уу" +(у')'= 33. у" + 2у' -1- у = зй х.
~/1+ хт 34. ум — у =я'. 31 уу'у" = (у')'+(у")' 33. у" — 2у' + 2у = хех соз х. 32. х+ 9х= г з1п Зг. 36. (х' — 1) у" — бу = 1. Частное решение соответствующего однородного уравнения имеет вид многочлена. 37. Найти решение и = и (х' + у') уравнения дти дзи — + — =О, дх' ду' зависящее лишь от х'+ у'. 38. Найти решение и =и(х'+у'+х') уравнения дзи дзи дзи — + — + — =0, дхз дуз длз являющееся функцией х'+ ут -(- лт.
39. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения. задачи к гляни я 167 40. Проинтегрировать уравнение движения шх /(й х, х). считая, что правая часть является функцией только х или только х; а) шх=/(х)! б) шх = У(х).
41. ув! — Зут + Зу!Ч вЂ” уьт х. 42, х!ч+2х +х сова 43. (1+х)'у" +(1+х)у'+у 2 соя!и(1+х). 44. Определить периодическое решение уравнения х+ 2х+2х = мч я!плт л 1 45. Определить периодическое решение уравнения х+ а,х+ а,х 7" (!), где а, и а,— постоянные, а 7(!) — непрерывная периодическая функция периода 2н, разлагающаяся в ряд Фурье, а, -Ь О и ат + О.
46. х+ Зх = сов (+Ох', П вЂ” малый параметр. Приближенно определить перводическое решение. 47. х'у" — ху' + у О; проинтегрнровать уравнение, если у, х является частным решением. 48. Найти линейное однородное уравнение, имеющее следующую фунда- 1 ментальную систему решений: у, х, у, х 48. хгт-)-х (а 55. Оу"у!Ч вЂ” 5 (уга)т О. 51.
х+!Ох+ 25х 2!+Ге аг, ' х ' 52. хуу' — х(у')' — уу' О, 57. у" +у=а!пЗхсозх. 55. ут! — у =ел . 58. У" =2уа, у(1) 1, у'(1) =1. 54, ут!+ 2У!и+ у" х+ е'. 59. уу" — (у')т у'. ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ ф П Общие понятия Уравнение лвижения материальной точки массы т пол действием силы Г(1, г, г) лтг т — =Г(С г, г) лм путем проектирования на оси координат может быть заменено системой трех скалярных уравнений второго порядка: Фх т —,=Х(1, х, у, х. х, у, г). усу т — „, = )'(Е х, у, я, х, у, а), --.
р: т —.=2(С х, у 2, х, у. 2). пг~ или системой шести уравнений первого порядка, если зз неизвестные функции считать не только координаты х, у. г движущейся точки, л'г . но и проекции х, у, х ее скорости —: ег я = яе. тй = Х(Е х, у, г, и, и. ш), то = )'(С х, у, г, и, о, ю), тте = х (Е х, у, я, и, о, гв). ПРи атом обычно задаютсЯ начальное положение точки х(йе) = хе, у(уе)=ув, х(у)=ге и начальная скорость ищ=ив, о(~е) =о„, чп (га) = тво 169 ОЗШИЗ ПОНЯТИЯ Эта основная вадача с начальными значениями уже рассматривалась в 9 б главы ! (стр.
51). Там была доказана теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений ДХ2 — '=Уа(Г, Хи Х,...., Хл), . (3.1) дхл 2л (г' Х! Хг' ' '' Хл)' удовлетворяющего начальным условиям Х2(Са)=хга (1=1, 2, ..., л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
