Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д. Пример 2. х+ х = Рх (9 — х'). (1.129) Определить решения порождающего уравнения, к которым при Р-+О приближаются периодические решения уравнения (2.129). Решения порождающего уравнения имеют вид х = с соз (à — Гз). Для определения искомых значений с воспользуемся первым нз уравнений (2,128): зл с (9 — с' сов' (à — Г,)) з! и' (à — Г,) ат = О о с'г илн пс (9 — — ) = О, откупа с, = О, сен = ж 6.
4) При с, =О получаем тривиальное решение х — О порождающего урав,нения, которое остается решением уравнения (2.129) прн любом ж Прн сз,,= ж 6 получаем х= * 6 соя(à — Гз). Докажем простейшую нз теорем А. Пуанкаре о существовании и единственности периодического решения, стремящегося при « — ь 0 н периодическому решению порожлающего уравнения, в применении к уравнению вида х=у(г, х, х, «), (2. 130) где функция г' удовлетворяет условиям теоремы об аналитической зависимости решения от параметра «при достаточно малых по модулю значениях «.
Кроме того. предположим, что функция явно зависит от г и имеет по г периол 2л. Допустим также, что порождающее уравнение х=у(с, х, х. 0) имеет единственное периодическое решение х = <ро(1) периода 2л. 157 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА Решение уравнения (2.130), удовлетворяющее начальным условиям л (уо) = 'Ро (та) + гло л (то) = фо Ио) + он~ х(2Л. р, ро, р,) — х(0, Р, ро, б,) =О, (2. 131) л(2Л р ро 91) — л(0 И ро ро)=0. Обозначая левые части этих уравнений соответственно Фо(1А, ро, ()г) и Ф,(р, ро, (),), запишем систему (1!9) в виде гРо (н !оо (о1) = 0 цч (1г Ро 1)~) = О. (2.! 32) Условия (2.132), называемые условиями периодичности, не только необходимы, но и лостаточны лля периодичности решения х (т и, бо, 11,) уравнения (2.130).
Действительно, в силу периоличности правой части уравнения (2,130) по эта правая часть в полосах О < т < 2л, 2л < 1 <4п, ... пранимает в точках (т. х, х), (Г+2п, х, х), ... одинаковые значения. Слеловательно, если в точках т = 0 н 1= 2л задать одинаковые начальные значения хо ! Рнс. 2.2 и хо, то ими определяются в полосах 0 (1 (2ч и 2п (1 (4п совершенно одинаковые интегральные кривые (рис. 22), точнее, кривые, являющиеся периодическим продолжением одна другой. По теореме о неявных функциях можно утверждать.
что, если якобиан г) (ш ° ю ) ~ о 11(ро р1) обозначим х(Ю, р, ро, !),). Слеловательно, (1о и р, являются отклонениами начальных значений РешениЯ х(~, )г, Ро, Р,) и его пРоизводной х(1, р, ро, р,) от начальных значений юоЩ и гро(1о] периодического решения порождающего уравнения. Задача заключается в том, чтобы указать условия, при которых для каждого достаточно малого по модулю значения !А существует единственное периодическое решение к(г, 1А, ро, р,) уравнения (2.130), стремящееся при (А-ьО к периолическому решению гро(1) порождающего уравнения. Если решение х (1, р, !)о, !1,) является периодическим с периодом 2п, то. очевидно, должны удовлетворяться следующие условия: !58 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО сг.л.
з в точке р = О, ])е = 0! = О, то при каждом достаточно малом по модулю значении р существует единственная пара функций 3 (р) и Ос(!г), удовлетворяющих условиям периодичйости (2.132) и стремящихся к нулю при )о-ьО, т. е. в указанных условиях для каждого достаточно малого !с существует единственное периодическое решение уравнения (2.130), стремящееся к периодическому решению порождающего уравнения при р-ь0 о). Это утверждение и составляет содержание теоремы Пуанкаре.
П р и м е р 3. Доказать, что в нерезолансном случае для уравнения х+ а'х=у(с) +нс (с, х, х, н), (2.107) где у и г удовлетворяю~ указанным выше условиям (см. стр. 147),' выполнены требонания теорелсы о существовании и единственности Гериодического решения. Решение х (с, ш бо, Р,), являсощееся аналитической функцией последних трех ар~умен~он при достаточно малых значениях втих аргументов, ищем в ниле х (С, Р, ро, 01) = хо (С) + хс с (С) ро+ х~ о (С) 0~ + х1о (С) !с+ ... (2 133) Подставляя (2.133) в уравнение (2.107) н сравнивая коэффициенты при оди- наковых степенях ш ])о и рь получим для определения хп и х,о следующие уравнения: х„+ аох1 ~ = О, х! ! (0) = 1, хс с (0) = О, (2.
Г34) х„+ а'х|о — — О, х,о (0) = О, хм (0) = 1, (начальиые значения получены из условкй х (Со )с ])о Р!) = хо(го)+ Ро х (Со, Р. 3о* 31) = хо (Со)+ ро) откуда 1 хы — — соэ аг, хы = — з!и аг. а Условия периодичности (2,132) имеют вид 1 (соз 2ан — 1) йо+ — з!и 2апб, + ... = О, а — а ып 2апро+ (соз 2ап — 1) йс + ... = о, где невыпнсанные члены не влияют на величину определителя 7) (цсо, цс1) при Н=]1, ]Сс =О. Определитель 0(фо, Ес) ! ,д ' д, ~ = (соз 2ан — 1)о+ з!по 2аи н-з,= з,=е отличен от нуля, так как а не равно целому числу. ') Подробнее о теоремах существования периодических решений см.
И. Г, Малкин ]3]. понятия о квлввых злдлчлх ф 9. Понятие о краевых задачах Рбй Как уже упоминалось во введении, наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. В этих задачах значение искомой функции задается не в одной, а в двух точках, ограничиваю<цих отрезок, на котором требуется определить решение. Например, в задаче о лани<енин материальной точки массы л< под действием заданной силы Л гг Г (А г, г) часто требуется найти Рис. 2.3. закон движения, если в начальный момент 1 = 1с точка находилась в поло<кении, характеризуемом радиусом-вектором г,, а в момент 1 = 8< должна попасть в точку г = г,. Залача сводится к интегрированию лифференциального уравнения движения егг и —, =Г(А г, г) ее< с краевыми условиями г(г„)= ге', г(<<) =с<.
Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение; если речь идет о баллистической задаче и о точках земной поверхности, то в одну и ту же точку тело может попасть по навесной и по настильной траектории (рис. 2.3), более того, при очень больших начальных скоростях можно попасть в ту же точку и после однократного или многократного облета земного шара.
Аналогичную краевую задачу можно поставить и для луча света, проходящую через преломляюшую среду: найти направление, по которому луч света должен выйти из точки А, чтобы он попал в другую заданную точку В. При этом очевидно, что аадача не всегда имеет решение, а если решения существуют, то их может быть несколько и даже бесконечное множество (например, если лучи, выходящие из точки А, фокусируются в точке В). Если удается найти общее решение дифференциального уравнения краевой задачи, то для решения этой задачи надо определить произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из граничных условий.
При этом, конечно, далеко не всегда существует действительное решение, а если существует, то оно не обязательно единственно. В качестве примера возникающих здесь возможностей рассмотрим следующую краевую задачу; УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (2. ! 36) Найти решение уравнения у" +у=О, удовлетворяющее условиям: у(0)=0, у(х,)=ун Общее решение уравнения (2.136) имеет зид у=с, созх+сзз!Вх. Первое граничное условие удовлетворяется при с, = О, при этом у =сея!Вх. Если х, Ф лп, где п — целое число, то из второго граничного условия находим у,=с,з!Вхн сз= . Следовательно, в этом У~ з!Вх, ' случае существует единственное решение краевой задачи у= .
' 5!Вх. 5!я Х~ Если же х,=пп и у,=О, то все кривые пучка у=с,з!Вх являются графиками решений краевой задачи. При х, =шт, у, ~ 0 решений краевой задачи ие существует, так как ни одна кривая пучка у=с з!пх не проходит через точку (хн у,), где х!=Вп у!+о. Рассмотрим несколько подробнее краевые задачи для линейных уравнений второго порялка у" + р, (х) у'+ р, (х) у = ф (х). у (х„) = уз, у (х!) = у!.
(2, 136) (2. 137) Линейной заменой переменных л =у — (х ха) уз У~ У5 Ж Хо — (р(х)у')+6(х)у = 7(х), (2. 138) И, !Х! ФХ где р (х) = е '' . Поэтому без существенного ограничения общности можно заменить изучение краевой задачи (2.!36), (2.137) изучением краевой вадачи для урзвнения (2.138) с граничными условиями (2.139) у(хз) = у(х,) = О. краевые условия (2.137) сводятся к нулевым условиям г (х ) = =г(х,)=0, причем линейность уравнения (2.136) пе нарушается.
! ж!х>их Умножением на ез линейное уравнение (2.136) приводится к виду 1б! понятие О кРАеВых ЗАдАЯАК $91 (2. 140) с граничными условиями у(хе)=у(х,)=0, тле функция у,(х, г) равна нулю на всем отрезке (хе, х,), за исключением е-окрестности точки х=г. г — е(х С г+е, причем еье У,(~, )и' =1.
Обозначим 0,(х, г) непрерывное решение этой краевой залачи и перейдем к прелелу при е -ь 0: !1П1 0е(Х г) = 0(Х, г). еле Нетрудно было бы доказать существование этого прелела, не зависяп!его от выбора функции у' (х, г), однако в этом нет необхое димости, так как пока наши рассуждения носят эвристический харак- тер. и на стр. 162 будет дано точное определение функции 0(х, г). Функция 0(х, г) называется функцией влияния нли функцией Грина рассматриваемой краевой задачи.
Так же как на стр. 122 — 124, решение краевой задачи (2.138), (2.139) с непрерывной правой частью в (2,138) можно рассматривать как суперпозипню решений краевых задач, соответствующих локализованным з точке функциям с импульсами /(г,) Лг, где г, — точки леления отрезка (х„, х,! из еи х, — хе равных частей, Лг= ' ' . Точнее, приближенное решение крает вой задачи (2.138), (2.139) равно интегральной сумме л~ ~~ 0(х, г,) у'(г„)Ьг, [=1 а предел этой суммы при т-ьсо:. х, у(х) = ~ 0(х. г) !'(г) йг (2.142) является решением рассматриваемой краевой задачи (2.!38), (2.139).
Физический смысл функции влияния 0(х, г) и решения (2.142) станет еще яснее, если в уравнении (2.140) рассматривать у(х) как смещение некоторой системы под влиянием непрерывно распределенной на отреаке (хр, х,! силы у(х) (например, отклонение струны от положения равновесия под влиянием распределенной нагрузки !1 л. э. эльеголье Вначале рассмотрим краевую задачу (2.138), (2.139), причем у' (х) является локализованной в точке х =г функцией с единичным импульсом. Точнее. рассмотрим уравнение — „(Р(х)У')+4(х)У=Уз( г) УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. Я 162 — (р (х) у') + д (х) у = О на всем отрезке (хс, х,), за исключением точки х=я (так как вне этой точки з случае локализованной в точке х=я функции правая часть равна нулю).
3. О (х, г) удовлетворяет граничным условиям: 0 (х, я) = О (х[, г) = О. 4. В точке х=я производная Ое(х, я) должна иметь разрыв 1 первого рода со скачком —. Действительно, Ожидать разрыва Р(5) ' следует лишь в точке локализации функции — в точке х = г. Умножая тождество — (р (х) О,'(х, я))+о(х) 0,(х, г)= — г;(х, г) на с[х и интегрируя в пределах от г — е до я+в, получим ~еее р(х)0,(х, г)~ + ~ о(х)Ое(х, г)[[к=1 е-е е — е и, переходя к пределу при е -ь О, будем иметь 10'(я+ О, я) — 0' (я — О, я)) =— р (5) Все наши рассуждения о функции Грина носили эвристический характер.
Придадим теперь нм необходимую точность. Определение. сб у н к ц и е й Г р и к а 0(х, я) краевой задачи (2.138), (2.139) называется функция, удовлетворкеощая указанным выше условинм 1), 2), 3), 4). Непос[ведственньй подстановкой в уравнение (2.138) проверяем, что у(х) = ~ О(х, я)у(г)е[з (2.142) с плотностью Г(х)). При этом 0(х, г) описывает смещение, вызываемое единичной сосредоточенной силой, приложенной к точке х = г, а решение (2.142) рассматривается как предел суммы решений, соответствующих сосредоточенным силам. Функция Грина обладает следующими свойствами, вытекающими из ее определения (2.141): 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
