Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(3.2) Напомним, что достаточнымн условиями существования н единственности решения системы (3.1) прн начальных условиях (3.2) являются: 1) непрерывность всех функций у', в окрестности начальных значений; 2) выполнение условия Липщица для всех функций У, по всем аргументам, начиная со второго в той же окрестности. Условия 2) можно заменить более, грубым, потребовав существования ограниченных по модулю частных производных — (1, /= 1, 2...., и). дху Решение системы дифференциальных уравнений х,(Г), ха(1), ...
..., Х„(1) является и-мерной вектор-функцией, которую мы кратко будем обозначать Х(1). В этих обозначениях система (3.1) может быть записана в виде — = Г(И, Х), дХ дг где Р— вектор-функция с координатами (Дп уг...., У„), а началь- ные условия в виде Х ((а) = Ха, где Х„есть и-мерный вектор с коорДИНаТамн (Х2а Хга Х а) Решение системы уравнений «,=х,(1), хг — — х,(1), ..., х„=х„(1), или кратко Х = Х(г), опрелеляет в евклидовом пространстве с коор- ДниатаМИ 1, Хн Хг, ..., 'Хл НЕКОТОРУЮ КРИВУЮ, НаЗЫВаЕМУЮ инщагрпльной кривой.
При выполнении условий 1) н 2) теоремы существования и единственности через каждую точку этого пространств; проходит единственная интегральная кривая и их совокупность образует л-параметрическое семейство, в качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения хю, х >, ..., хлг СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1гл.
з Возможна н другая интерпретация решений х, ='х,(е), х,=хз(г), .... х„=х„(г), или кратко Х=Х(Г), особенно улобиая, если правые части системы (3.!) не зависят явно от г'. В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами хи хз, ..., х„решение х, = х,((), хз = хз(й), ..., х„= х„(1) определяет аакон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра Г, который при этой интерпретации мы будем йХ считать временем. При такой интерпретации производная — будет йг йх, йха Лх„ скоростью движения точки, а —, —, ..., —" — координатами йе ' йе ' ' ' '' йг скорости той же точки.
Прн этой интерпретации, весьма удобной и естественной во многих физических и механических задачах, система — '=Л((. хн хз, ..., х„) ((=1, 2, ..., и), (3.1) их~ или обычно называется динамической, пространство с координатами х,, хн ..., х„называется 4азоеым, а кривая Х = Х(() — фазозой траекторией, Дннамическзя система (3.1) в заданный момент времени Г определЯет в пРостРанстве хи хз, ....
х„ поле скоРостей. Если вектоР- функция Г зависит явно от 1, то поле скоростей меняется с течением времени и фазовые траентории могут пересекаться. Если же вектор-функция е, илн, что то же самое, все функции ун не зависят явно от г, то поле скоростей стационарно, т. е. не изменяется с течением времени, и движение будет установившимся. В последнем случае. если условия теоремы существования и единственности выполнены, через каждую точку фазового пространства (хи хз, ..., х„) бУдет пРоходить лишь одна тРаектоРиЯ. Действительно, в этом случае по каждой траектории Х = Х (г) совершается бесконечное множество различных движений Х = Х (1 + с), где с — произвольная постоянная, з чем легко убедиться, совершив замену переменных Г, = г + е.
при которой динамическая система не изменит своего вида: — = Р(Х), гИ йе, и следовательно, Х = Х(1,) будет ее решением, нли в прежних переменных Х=Х(с+с), $ т1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Если бы через некоторую точку Хз фазового пространства в рассматриваемом случае проходили две траектории Х = Х, (1) и Х = Хя (Г), Х, (Гз) = Хт (Гз) = Хз, то, взяв на каждой из них то движение, при котором точка Ха достигается в момент времени г=гз, т. е., рассматривая решения Х=Х,(1 — 1,+7а) н Х=Х,(à — Г,+7,), получим противоречие с теоремой существования и единственности, так как два различных решения Х,(1 — Га+Гв) и Хз(à — Ге+Ге) удовлетворяют одному и тому же начальному условию Х(гз)=Х .
П р и м е р, Система уравнений — =у, — = — х лх Пу л'г ' а! (З.З) имеет, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, следующее семейство решений: х = с, соз (à — с2), у = — с, ап(т — са). Рассматривая т как параметр, получим на фазовой плоскости х, у семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 3.1). Пра- Рис. 3.1. вая часть системы (3.3) не зависит от Г и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому трзектории не пересекаются. Фиксируя сь получии определенную траекторию, причем различным с, будут соответствовать различные движения по этой траектории. Уравнение траектории х + у = с, не зависит от с„так что все движения прн фиксированном с, 2 2 2 совершаются по одной и той же траектории.
При с, =О фазозая траектория состоит из одной точки, называемой з этом случае точкой покоя системы (3.3) 5 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка Олин из основных иетодов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (3.1) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка.
Интегрируя это уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интеграций, определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования. СИСГЕМЫ ЦИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ (гл. 3 Иллюстрируем сказанное примерами.
Пример 1. пх ау — у. — ш и! ' н! и'ах с(у Дифференцируем одно из уравнений, например первое. — =. — и. исклюПтг ' и! ГРх чая — с помощью второго уравнения, получим —, — х О. откуда и'! ага х = с,е + сте . Используя первое уравнение, получаем у =* — с,е — сяе -с с -! и! Мы оиределкли у без интеграций с помощью первого уравнения. Если бы мы определили у нз второго уравнения — =х се+се с(у ! -с 4! у = с,е — с,е + с,, нх — = Зх — 2у, и'! (3.4~) су — = 2х — у. г(! (3.4П Дифференцнруем второе уравнение: и у пх пу — = 2 — — —.
с(Р и! Ш ' (З.б) дх Из уравнений (Знм) и (3.3) определяеи х н —: и! ' (3.6) Подставляя в (3.4,), получим сРу и'у — — 2 — + у = О. с!я и! Интегрируем полученное линейное однородное уравнение с постоянными козффициентами у=с!(с, + с !) и, подставляя в (36), находам х(!): х — е (2с, +с,+ 2с,!). 1 2 ' Пример 3. ~2 т ~яу — =у, — х. Пса ' (Р то ввели бы лишние решения, так как непосредственная подстановка в исход. ную систему уравнений показывает, что системе удовлетворяю~ функции х = с,в'+стс ', у=с,с — ств ~+ся не прн произвольном с,, а лишь прк с, О.
Пример 2. )уз ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ РРАВНЕНИН к с,а'+с,е '+с,сов!+с,з!пд и, подставляя в первое уравнение, налоднн у с,е'+ сга ' — с, соз т — с, а! п а Опишем теперь более точно процесс исключения из системы уравнений всех неизвестных функций, кроне олной. Покажем вначале, что одна из неизвестных функций. например х,(г), входяшая в состав решения х,(у), хт(О...,„х,(у) системы дифференциальных уравнений: дх2 (3.!) дхл удовлетворяет некоторому уравнению и-го порядка, прн этом мы предположим, что все функции ~, имеют непрерывные частные производные до (л — !)-го порядка включительно по всем аргументам.
Подставив в систему(3.!) некоторое решение х,(У), хз(У), ..., х„(Ю), обратим все уравнения системы в тождества. В частности, в тождество обратится и первое уравнение системы дх, — =~~(~. хн хз, ° ° .. х,). Продифференцируем это тождество по !: д2х, дУ, ~ч дУ, ах~ л'я дх; или дах1 ду1 %т дЛ вЂ” = — +,~~ — УР ЕН дт Л4 дх~ С=1 (3. 78 и, обозначив пРавУю часть последнего тождества ст(Е, хн ха, .... х„), получим: ;лт'=Ра(т. ХР Х. ". Х.). (з.уа) д'у И'х мнфференпнруя первое уравнение, получим †, — , я, подставляя во дм дт4 Фх второе уравнение, будем иметь — х. Интегрируя вто линейное олиоды родное уравнение с постоянными коэффициентами, получим системы диеегивнцнлльных твавнвнип 1ГЛ.
З Снова дифферениируем это тождество: а мах~ дат Сч дР, Фха лР д1 +.Л4 дх; ж с з или Лтз дт 1 дх, и Опять дифференпируем это тождество и, продолжая этот проиесс и — 2 раза, получим, наконен, тождество а'" ~х, л-3 И— ' =Р„,(Г, хн х, ..., хч), (3. 7а- ~) дифферензируя которое еще раз н пользуясь тождествами (3.1), будем иметь: л~л, — =Р„(г, хн хж ..., х„). Итак, получены а — 1 тождеств лх, — =у,(Г, х,. хж ..., х„), Фх, — ч= Ре(Г, хн хж .. ' хп)' (3.7,) (3.7а) (3.7) Фч-1х, „,' =Р„, (Г, хн хж .... х,) (3.7,,) и еще одно тождество л"х, — = Г„(Р, хн хж ..., х„). (3.3) Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных определитель 0 В(хн ха х,, .... х„) Тогда систему (3.7) можно разрешить относительно хт, х, ..., х„, выразив их через переменные Г, хн — ~, ..., — '.
Подставив лт нал и. обозначив правую часть последнего тождества Рз(г, хн хж ..., х„), получим: (3.7з) ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ 175 найденные из системы (3.7) переменные хэ, хз, ..., х, в последнее уравнение (3.8), пэлучнм уравнение а-го порядка (3.8г) которому удовлетворяет функция х,(Г), являвшаяся по предположению функцией х,(Г) решения х,(Г), хэ(г)... „х„(г) системы (3.1).
Докажем теперь, что если взять любое решение х,(Г) полученного уравнения и-го порядка (3.8,) подставить его в систему (3.7) и определить нэ этой системы х1(г), хз(Г), .... х„(Г), то система функций х, (г), ха (Г), ..., х„ (г) (8,8) Фх, — — = 7,(г, хо х,, ..., х,). Дифференцируя это тождество по г, будем иметь: ($.7г) дх~ лг (8.18) В этом тождестве пока нельзя заменить — функциями Уо так как лх~ дГ мы еще не доказали, что полученные указанным выше путем иэ уравнения (3.8) и системы (3.7) функции хм хэ ..., х„удовлетворяют системе (3,1), более того, именно это утверждение и является целью нашего доказательства.
Вычитая почвенно из тождества (3.!О) тождество (3.7э), взятое в развернутом виде (3.7э), получим или, в силу (3.7,), а будет решением системы (3.1). Подставим найденную систему функций (3.9) в систему (3.7) и тем самым обратим все уравнения этой системы в тождества; в частности, получим тождество (гл. з СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 17В Совершенно аналогично, дифференцируя тождество (3.72) и вычитая (3.7з), затем дифференцируя тождества (3.72) и вычитая (3.72) и т. д., получим: П ~2~~~ ~~~п-а ( сх2 у ) 2 2 Так как определитель линейной однородной системы уравнений 2=2 П 2 2 (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
