Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 32
Текст из файла (страница 32)
5! 5! Н! СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЬСХ УРАВНЕНИЙ !Гл. в 198 получаем уравнение 2а',2'+ а', ' остается произвольным. С2С Для определения ковффнциентов а, и ат С2 Стс +2а12~! — — О, откуда аСзю — а!!2)! ковффициеит Слеловательно, сз — — ас . (2! Хз —— Сзв, Уз — — — Гза Общее решение х= с,ел!+ с,е с, у 2се — се ш -с При мер 2. с(х — =х бу, сс! пу — = 2х — у. с(! Характеристическое уравнение 1 — д — 5 0 или аз+9 0 2 — 1 — й Действительная и мнимая части етого решении также являются решениями рассматриваемой системы, а их линейная комбинация с произвольными постоянными ковффициентами является общим решением: х = бс, соз Зс+ 5с, з!п Зс, у с,(созЗс+Зз!пЗ!)+с,(з!пЗ! — ЗсозЗС).
Пример 3. и'х — =х — у, су! — = х+Зу. с(у (3.35) Характеристическое уравнение 1 — Д вЂ” 1 ~=0 или йз — 4й+4=0 1 3 — й имеет кратный корень Дс,с = 2. Следовательно, решение следует искать в виде х (ас + бс!) е , у = (а, + 52!) езс. Подставляв (3.36) в (3.35), получим 2а, +()с+ 2()с!=а, +бс! — ас — 520 (3.36) откуда 52= — Вс, аз — а, — ()и имеет корни «с,с х Зс, х, = а,е, ус = а,е, (1 — Зс)а, — 5а = О.
Этому зи зи уравнению удовлетворяют, например, а, 5, а, 1 — 3!. Следовательно х, 5езсс = 5 (соз Зс+ ! з!п 3!), у, (1 — 3!) езсс = (1 — 3!) (сов 3!+!2!и 3!). ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОД1! ИНТЕГРИРОВАНИЯ 199 а, и 3, остаются произвольными. Обозначая эти произвольные постоянные соответственно с, и с,, получим обшле решение в виде х = (с, + сэг) к 1. у — (с1+сэ+сэт) л . ф 6.
Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений а-го порядка Все изложенные в 3 7 гл. 1 методы приближенного интегрированна дифференциальных уравнений первого порядка без существенных изменений переносятся на системы уравнений первого порядка, а также на уравнения порядка выше первого, которые обычным способом сводятся к системе уравнений первого порядка (см. стр. 35). 1. Метод последовательных приближений. Как было указано на стр. 51, метод последовательных приближений применим к системам уравнений лу. †„ ' = 7;(х у1 у ° " ук) « = 1. 2, ..., и) (3,37) с начальными условиями у;(хэ)=ую (1=1, 2, ..., и), если функции Л непрерывны по всем аргументам и удовлетворяют условиям Липшица по всем аргументам, начиная со второго. Нулевое приближение у1,(х) (1=1, 2, ..., а) может быть выбрано произвольно, лишь бы удовлетворялись начальные условия, а дальнейшие приближения вычисляются по формуле У1,лэ1(х)=уго+ ~ 71(х У1э Уел ° °" Укл)ггх (1=1 2 ° ° ° и) к, Так же как и для одного уравнения первого порядка, этот метод репко применяется в практике приближенных вычислений ввиду сравнительно медленной сходимости приближений и сложности и не- однотипности вычислений.
2. М е т од Э й л е р а. Интегральная кривая системы дифференциальных уравнений =71(х Уг Уэ "Ук) (1=1 2 и) определяемая начальными условиями у,(хэ)=ую (1= 1, 2, ..., и). заменяется ломаной, касающейся в одной из граничных точек каждого звена проходящей через ту же точку интегральной кривой (и. рис, 3.2 изображена ломаная Эйлера и ее проекция только системы лиФФеРенциАльных уРАВнении [Гл. 3 плоскость ху,). Отрезок 'хз < х <Ь, на котором надо вычислить решение, разбиваетсв на части длиной 12, и вычисление проводится по формулам у,(х,)=у,(х )+Ьу,'(х„) (1 =' 1, 2, '..., Л).
Сходимость ломаных Эйлера к интегральной кривой при Ь-э0 доказывается так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр. 43). Для повышения точности можно ф применить итерации (уравнивание). Щу. У 3. Разложение по формуле ТейухФУ ° л о р а. Предполагая, что правые части снелл 19 йе' темы уравнений (3.37) дифференцируемы й раз (для того чтобы обеспечить дифференцируемость решений й +! раз). заменяют искомые решения несколькими первыми членами их тейлоровских разложений: /гу7у Уг (х) — у (х )+ у (хе)(х — х )+ +у( ) Рис. 3.2. (1=1, 2, ..., и). Оценка погрешности может быть осуществлена путем оценки остаточного члена в формуле Тейлора ~а+1 Этот метод дает хорошие результаты лишь а малой окрестности точки хе, 4 Метод Штер мера.
Отрезок хз <х <Ь разбивается на части длиной Ь, и вычисление решения системы (3.37) проводится по одной из формул: 1 У, А~2 =-Уса+ Чи + 2 ЛЧЕ а-1 (3.38) 1 5 Уь А+1=У~А+Чга+ 2 ЛЧЕ А-1+ 12 Л Чг А 2, (3 39) 1 5 2 3 У Аш=углт%а+ 2 ЛЧ~ А ~+ 12 Л % А 2+ 8 ЛЧЕА-з (3.40) где ' (1'= 1, 2...., и), у, = у,(ха), х = х + йд, Ч, = у,'(х„) /г, ЛЧА А-1 =Чы Чь а-1 Чь 2-2 = ЛЧА А-2 ЛЧЛ А-2 Л2 ЛзЧ, а-з= Л Чь А-2 Л Чь А-з.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ З Формулы (3.38), (3.39) н (3.40) могут быть получены совершенно так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр, 63). Порядок погрешности При применении этих формул остается таким же, как и для одного уравнения. Для начала вычисления по формуле Штермера необходимо анать несколько первых значений у,(х ), которые могут быть найдены путем разложения по формуле Тейлора или методом Эйлера с уменьшенным шагом, причем, так же как и для одного уравнении, для повышения точности можно применять итерапии (см, стр. 61 — 62), или методом Рунге. 5. Метод Рунге.
Вычисляются числа тп — — Г1(х», уы. Уя», ..., у, ), Л 11т и Лпг„«1пп, ) «+ ' )1«+ 2 ' Уз» 2 '''" Уп»+ 2 )' Л, Л»п1» Лт„«тп» 1 ты =Л '(х«+ 2 Уы 1 ч У«»+ 2 ° ° Уп«+ т14 — Л (х«+ Л У1«+ Лгпи Ут«+ Лттз ° ° ° Уп«+ Лтпз) зная которые, находим у, «41 по формуле Л У1, «+1= У1»+ и (тп+2т1«'+2т1з+т14) (1=1, 2, ..., 11).
Порядок погрешности такой же, как и для одного уравнения. Грубо ориентировочно шаг Л в зависимости от требуемой точности результата выбирается с учетом порядка погрешностей в применяемых формулах и уточняется путем пробных вычислений с ша- Л Л гом Л и — . Надежнее всего проводить вычисления с шагом Л и— 2 ' 2 всех требуемых значений у,(х„), и если при сравнении результатов все они в пределах заданной точности совпадают, то шаг Л считают обеспечивающим заданную точность вычислений, в противном случае Л Л снова уменьшают шаг и проводят вычисления с шагом — и— 2 4 и т.
д. При правильном выборе шага Л разности Лп1«, Лзд1«, ... должны меняться плавно, а последние разности в формулах Штермера должны влиять лишь на запасные знаки. Задачи и главе 3 1. — =у, — = — х, х(0) =О, у(0) = 1. и'л лу ~И ' |й ~1»х, ппхп А — '= х„мп =- хь л1(0) =2, х1(0)= 2, хп (О) = 2, лп (О) = 2.' СИСТЕМЫ ЛИФФЕРЕИИИАЛЬИЫХ УРАВНЕНИЙ 3. — +5х+у г.
— — х — Зу е . с(х ау а зт ат ах „ ау Зг 4. н, — г, .е зт " а( ' а( Зк ау у' 6. — =у, г(т ' «т х" ах Зу ах ау 6. — + — — х+ у+3. — — — х+у -3, а( а( а( ат ау г г(г 7. — = —,— — ху ах х' ах ах ау 8,— г — у х г у х* а'х Зу аг 9. — = — х+у+г, — х — у+г, — х+у — г, «1 а( ат 10. т — +у-О, т — +х-О. ак ау а'( ' а( ак ау 1 И. — =у+1, — — х+ —, «т ' аг в(пт' Зх у а'у х 12. — = —, х — у' а( х — у' 13. х+у= совд у+х в(пт. 14. х+Зх — у=О, у — За+у О, х(0) 1, у(0) 4. ая8 и 68 И. — +в(п8=0 при ( О, 8= —, — =0 аи Зб' ат Определять 8(1) с точностью до 0,001. 16. х (т) = ах — у, у (г) = к+ ау; а — постоянная. 17.
х+ Зх+ 4у = О, у+ 2х+ 5у = О. 18. х — 5х — 2у у = х — 7у. 19. х=у — г, у=- х+у, г=к+г. 20. х — у+к=О, у — х — у= Е г — х — г Е ах г(у Зг ' х(у — г) у(г — х) г(х — у)' ах ау аг х ()а — г'] у (г' — х') г (»' — ут) 23, Х АХ, где Х=(! ((, а А ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ В 1. Основные понятия Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать эго явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные.
При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно лн выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные нли даже качественные характеристики. В конечном счете этот вопрос решается практикой — соответствием полученных зы. водов с опытными данными, но все же во многих случаях можно указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо невозможны. Если некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений ) ( = 1, 2.
.., л) (4.1) с начальными условиями у; (Г„) = уш (1 = 1, 2, ..., и). которые обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение. Если окажется. что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить .решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и лаже приближенно не может описывать, изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, прн которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения. теОРия устойчивости <гл. а Если 1 изменяется на конечном отрезке гс <1 <Т, то ответ на этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (см. стр. 54). Если же С может принимать сколь угодно большие значения, то втим вопросом занимается теория устойчивости. Решение ф>(1) (1 = 1, 2, ..., и) системы (4.!) называется устойчивым, или, точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любого е > О можно подобрать Ь(е) > О такое, что для всякого решения у, (Г) (<=1, 2, ..., и) той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам 1у (<о) ф>(Со)~ (б(е) (<=1, 2, ..., п).
для всех Г)~се справедливы неранено~за !у,(Г) — >р>(г)( < е (<=1, 2, ..., и), (4.2) т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Г)~(е. 3 а м е ч а н и е. Если система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений, то в опрелелении устойчивости вместо г )~ ге можно писать Г ) Т >ге, так как в силу этой теоремы на отрезке Гс (С (Т решения остаются близкими при достаточно близких начальных значениях. Если при сколь уголно малом б ) О хотя бы для одного решения у>(Г) (<=1, 2, ..., и) неравенства (4.2) не выполняются, то решение >р,(с) называется неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
