Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Неустойчивые решения лишь в редких случаях представляют интерес в практических аадачах, Если решение ф,(г) (< = 1, 2, ..., и) не только устойчиво, но, нроме того, удовлетворяет условию <пп ) у,(г) — >р,(Г)! =О, (4.3) если <у>(<е) — ф>((е)) < Ьи Ь> ) О. то решение ф>(г) ((=1, 2...,, п) называется асимптотичесни устойчивым. Заметим. что из одного условия (4.3) еще не следует устойчи. вость решения ф>(Г) (>=1, 2, ..., и).
П р и м е р <. Исследовать на устойчивость решение дифференциального УРавнениЯ вЂ” = — а У, а + О. опРеделЯемое начальным Условием У (Ге) Уе. йу ис Решение асимптотически устойчиво, так как <у,е " " "— у е е >' "'1 е е < >ч) у — у 1 < е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ при Е~Е„если )у,— уо1< ее " ' и йше "" "')у,— у,)= О. о -о П р и м е р 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения — = лу а'Е = а'у, а -„ь О, определяемое условием у(Е,) = у,. Решение у =- у,ео П ~о~ неустойчиво, так как нельзя подобрать столь малое Ь > О, чтобы из неравенства 1у,— у,1< 6(е) следовало бы 1уво и оо~ уооо и о~)<о о ' 1уо — уо1< о или при всех Е> Е,.
Исследование на устойчивость некоторого решения у,=у,(Е) (Е=1, 2, ..., н) системы уравнений + = Ф, (Е, у,, у, ..., ух) (Е = 1, 2, ..., и) (4. 1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения — точки покоя, расположенной в начале координат. Лействительно, преобразуем систему уравнений (4.1) к новым переменным, полагая х, = у, — у, (Е) (Е = 1, 2..., л).
(4.4) Новыми неизвестными функциями х, являются отклонения уо — у,(Е) прежних неизвестных функций от функций у,(Е), определяющих исследуемое на устойчивость решение. В силу (4.4) в новых переменных система (4.!) принимает вид — = — — +Ф,(Е, «, +у,(Е), хз.+уз(Е), ..., х„-+у„(Е)) (Е=1, 2, ..., и). (4.5) Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению у, = у, (Е) (Е= 1, 2, ..., п) системы (4.1), в силу зависимости х, =у, — у,(Е), соответствует тривиальное решение х, = О (Е = 1, 2, .... н) системы (4.5), причем исследование иа устойчивость решения у, = у,(Е) (Е = 1, 2, ..., а) системы (4.1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (4.5). Поэтому в лальнейшем беа ограничения общности можно считать, что нз устойчивость исследуется тривиальное решение или.
что одно н то же, расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений (гл, ! ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ Сформулируем условия устойчивости в применении к ~очке покоя х,= — О (1= ?, 2, ..., а). Точка покоя х,=О (1=1, 2, ..., и) системы (4.6) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е ) О можно подобрать Ь(е) Р О такое, что на неравенства /хг(ГВ)? <Ь(в) (1=1, 2, .... и? следует )х,(1)! ч. е (1= 1, 2, ..., а) при Г)»Т )»Те. Илн несколько иначе: точка покоя х,= — О (1=1, 2...., а) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е> О можно подобрать Ь,(е)» О такое, что иэ неравенства ~! х! (Те) ( б!(В) 1=1 слелует в ( 1 ) ( при Г )» Т, т. е. траектория. начальная точка которой находится в Ь,-окрестности начала координат при Г)~Т не выходит аа прелелы е-окрестностн начала координат. 9 2. Простейшие типы точек покоя Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = О, у = О системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами: лх — = ацх+ аму, (4.6) лу — = амх+ ашу, где Ищем решение в виде х=п,е, у=иве (см.
стр. !93). Для ы ы определения й получаем характеристическое уравнение !ли Фа — (ац + аш) и + (а па„— аа, а„) = О, пгостзишия типы точек покоя и, и аг с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравненийл (ап — !г) а, + а,гаг — — О, ама, +(ат — )г)а =О. Рассмотрим следующие случаи: а) Корни характеристического уравнения й, и !гг действительна и различны. Общее решение имеет вид Фи ак х = е,а,е ' + ег!),е (4.8) у = с1иге + сфге где а, и 8, — постоянные, определяемые из уравнений (4.7) соответ. ственно при Й = Ф, и при !г = яг, а с, и сг — произвольные постоянные.
Прн этом возможны следующие случаи: !) Если я, СО и яг(О, то точка покоя я=О, у=О асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей е ' и в ' ак ьм Рис. 4.2. Рнс. 4.1. в (4.8) все точки, находящиеся в начальный момент 1=1з в любой 6-окрестности начала координат, при достаточно большом 1 переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой е-окрестности начала координат, а при 1 — ьоо стремятся к началу координат.
На рис. 4.! изображено расположение траекторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой уетодчивылг узлом, причем стрелками указано направление движения по траекториям прн возрастании г. 2) Пусть )г, ) О, )гг) О. Этот случай переходит в предыдущий при замене 1 на — 1. Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но только точка по .траекториям движется в противоположном направлении (рис.
4.2). Очевидно. ТЕОРИЯ УСТОПЧИВОСТИ (гл. е что с возрастанием 1 точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Точка покоя рассматриваемого типа называется пеуслгойчивым узлом. 3) Если а,) О, Аг(0, то точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории еа ве х = с,а,е ', у = с,аге ' (4.9) точка прн сколь угодно малых значениях с, с возрастанием 1 выходит из е-окрестности начала координат.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно: х сгр еге У = сгпгег '. При различных значениях сг получаем различные движения по одной и той же прямой у= — 'х. При возрастании г точки на этой пря- 13~ мой движутся по направлению к началу координат (рис. 4.3). Заметим также, что точки траектории (4.9) движутся с возрастанием 1 по прямой а, (у У = — х, удаляясь от на- а, чала координат. Если же с1~0 и сгэьО, то как при Р .
4.3. ис. 1 — ьсо, так и при г — ь — со траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис, 4.3) потому, что расположение траекторий з окрестности такой точки напоминает расположение линий уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности г = у'(х, у). б) Корни хараклгерисгпическога уравнения комплексии: Д,а = р <- 91, д+ О.
Общее решение рассматриваемой системы можно представить в виде (см. стр. 196) х =' ее' (с, соз аг+ с з(п ф), ,="1; -:..:...Э) где с, и ся — произвольнме постоянные. а с, и с — некоторые линейные комбинании этих постоянных. ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ При этом вбзможны следующие случаи: 1) Аьг — Р + 41, Р ( О, д Ф О. Множитель ел'. р й. О, стремится к нулю с возрастанием з', а второй — периодический множитель в уравнениях (4.10) остается ограниченным. Если бы р = О, то траекториями были бы, в силу периодичности вторых множителей в правой части уравнений (4.10), замкнутые Рис. 4.4. Рис.
4.5. кривые, окружающие точку покоя х=О, у=О (рис. 4.4). Налнчие стремящегося к нулю с возрастанием г множителя ел', р ( О, превращает замкнутые кривые з спирали, асимптотически приближающиеся при г-ь эо к началу координат (рис. 4.5), причем при достаточно большом 1 точки, находившиеся при 1 = 1„ в любой 6-окрестности начала координат, попадают в заданную е-окрестность точки покоя х = О, у = О, а при дальнейшем возрастании Г стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива — она называется устойчивым фокусом.
Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определенному пределу при прибли. женин точки касания к точке покоя. 2) й, = р + ц(, р ) О, 4 ~ О. Этот случай переходит в предыдущий при ззмене г на — Г. Следовательно. траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая. но движение по ним происходит при возрастании 1 в противоположном направлении (рис. 4.6). Из-за наличия возрастающего множителя елв точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием й удаляются из е-оирестности начала координат — точка покоя неустойчива. Она носит название неустойчивого фокуса.
14 л. э. эльсгольц 210 теогия кстопчивости !гл. е З) й,л = + с(, д+ О. Как уже отмечалось выше, в силу периодичности решений, траекториями являются замкнутые кривые. содержащие внутри себя точку покоя (рис. 4.4), называемую в зтом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, так как для заланного з ) О можно подобрать б ) О такое, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в б-окрестности начала координат, не выходят за Рис. 4.8. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
