Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если же все а!) постоянны, т. е. система стациоиарна в нервом приближении, то исслелованпе на устойчивость линейной системы (4.16) не представляет принципиальных аатруднений (см. стр, 212 †2). Теорема 4А. Если система уравнений (4.15) стаиионарна в первом приближении, все члены )с, в достаточно малой окрестности начала координат при ! )~ Т )~ гз, удовлетворяет ! ч ! — +а неравенствам ))сг(~(А( ~ ~, хг), где А( и о — постоянные, ~=! причем о) 0 (т. е., если А!! кв зависят от !', то их порядок ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ ггл.
1 г выше первого относительно ~гг лг х21) и все корни характе- р., 1 ристического уравнения ап — к аж ... а,„ а21 а22 ~ ' ' ' 112« «,1У) а„1 «2 Лля того чтобы дать представление о л1етодах доказательства таких теорем, мы приведем доказательство теоремы 4.4 в предположении, что все корни характеристического уравнения д1 действительны н различны аг < 0 (Г 1, 2, ..., и), д1 + ПТ прк 1 Ф р В векторных обозначениях система (4.15) и система (4.16) примут соответственно вид — АХ+ !т, ах йг (4.!51) — = АХ.
йХ йг (4.161) имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения х1=0((=1, 2, ..., и) системы уравнений (4.!5) и системы уравнений (4.16) асимптотически устойчивы, следовательно, в етом с гучае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема 4.5. Если система уравнений (4.15) стационарна в первом приближении, все функции !21 удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характерисп1ического уравнения (4.17) ил1еет положительную действительную часть, то точки покоя х;= — 0(1=1, 2, ..., и) системы (4.15) и системы (4.16) неустойчивы, следовательно, и в втолг случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Теоремы 4.4 и 4.5 в отношении ограничений, налагаемых на корни характеристического уравнения, не охватывают лишь так называемый критический случай: все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю.
В критическом случае на устойчивость тривиального решения системы (4.15) начинают влиять нелинейные члены )сг и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно. Показательство теорем 4,4 и 4.5 можно найти в книге И. Г. Малкина 121. 223 исследовании нл нптончивость где х, ап аы ... а2л 4 2! 22 пп ап, алт -" алп~ хп С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными козф- фициентами Х= В)', где )! У! (Ьп Ь„...
й,л! ! Ут и-~(еы г )~л! ~пт Впп) Ул преобразуем систему (4.!6 ) к виду  — =- АВ)' или — = В АВ)'. Подбеа)' а'У М !(! рем матрицу В так, чгобы 22атрица В ' АВ была диагональной: ! Л, О О ... О : О Л, О ... О В 'АВ=-16 О л ... О . 2 , О О О ... Л„! Прн атом система (4.16) преобразуется в — = Д2у! (! = 1, 2, ..., и), г(у! !(! а система (4.15) при том же преобразовании переходит в ау! — = Лгу!+%! (! У ° У2 .." Уп)((= 1, 2, ..., и), !т! (4.18) ! л — зп где (гг2( <тв ~ лз У!), !тг — постоянная величина, а > О, т> Т. 2=1 Юля системы (4.18) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является пщ у2 г=! Лействительно, 1) о(у,, у,, ..., Ул) >О, о(О, О, ..., О) = О; и и л л ,2) — =2 ~„у, — 2=2~ау;+2~ агу!В!~( ~» аут!(О ! ! (гл. а 224 ТЕОРИЯ УСТОИЧИВООТИ » при достаточно малых уь так как все Л! < О, а удвоенная сумма 2 ~Ч~', Л»у!И, »=1 при достаточно малых у! может быть сделана по модулю меньше сум» мы ~5~ А,у!.
»м» Наконец, вне окрестности начала координат ло — < — 5 с О. пг и'х — = х — у+х»+ у»з!пи Й= Фу ='х+у уд зг (4.19) Нелинейные члены удовлетворяют условиям сеорем 4А н 4.5. Исследуем на устойчивость точку покоя х —:= О, у = 0 сисгемы первого приближения лх — =- х — у. и'г пу (4.20) 1 — Л вЂ” 1 Характеристическое уравнение ~ 1 й ~ = О имеет корни Фк» 1 ~ 1, следовательно.
в силу теоремы 45 точка покоя систем И !ч, и (4.20) неустойчива. Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя х=О, у=О системы г(х нг — = 2х+8 з!п у. — = 2 — е» вЂ” Зу — соз у лу л г(г (4.21) Разлагая Мпу, е» и соз у по формуле Гейзер», представляем систему в виде нх лу и'г — = 2х+Зу+ )1ь — —— — х — Зу+ )(а, М где )1, и )т» удовлетворяют условиям теорем 4А и 4.5. !2 — Л 8 Характеристическое уравнение ~ ~ =- 0 для системы пер— 1 -3 — л! ного приближения лх лу — = 2х+ 8у. — = — х — Зу и'г ' лг (4.22) имеет корни с отрицательными действительаыии частями. Следовательно, точка покоя х О, у 0 систем (4.21) н (4.22) асимптотически устойчива.
П р и и е р 1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = О, у = 0 системы исслидовлнии нл кстоичивость Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, у=О системы лх 4 4)à — — 4у — х, (4.23) 4ГУ л —.= Зх — уй ег — а — 4 Характеристическое уравнение ( 3 ! = 0 для системы первого — а приближения имеет чисто мнимые корни — критический случай. Исследование по первому приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова о = Зх'+ 4у'. 1) о(х, у);в.О, в(0, 0) О; й'44 2) — = бх ( — 4у — х') + 8у (Зх — у') = — (бх4+ Зу4) ~ О, причем вне 411 ло некоторой окрестности начала координат — < — б < О, следовательно, гочка 411 покоя х = О, у = 0 по теореме предыдущего параграфа аснмптотическн устойчива.
Остановимся несколько подробнее на последнем примере. Система уравнений первого приближения — = — 4у, — =Зх 4ГУ сЫ ' 41Г (4.24) имела в начале координат центр. Наличие нелинейных членов в системе (4.23) превратило этот центр в устойчивый фокус. Аналогичная, но несколько более сложная геометрическая карт>ша наблюааегся и в оббтем случае. Пусть система первого приближения для системы Л'Х4 — = ннх4 + пихт + Й4 (хн хт). ах2 — = ных, + птахе+ Йа(хн х,) (4.25) 15 л. э. эльггольц имеет точку покои типа центра в начале координат.
Предположим, как и на стр. 221, что нелинейные члены Й,(х,, х,) и Й,(х,, хт) имеют порядок выше первого относительно )/хе+ха. Этн нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но все же. оии несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выхолящая из некоторой точки (хе, уе) траектория после обхода начала координат немного смещается по сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ [ГЛ. в и, вообще говоря, не попадает в точку (хе, уе) — траектория не замыкается.
Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к началу координат, то в начале координат возникает устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала координат, возникает неустойчивый фокус. В виде исключения возможен также случай, при котором все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным нало считать случай, при котором лишь некоторые (может быть, и ни Рис. 4.14. Рис.
4.15. одной) замкнутые кривые остаются замкнутымн, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами. Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающимися прн г — «Оо к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (рис. 4.14); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при à — «Оо, то предельный цикл называется неустойчивым; если же с одной стороны предельного цикла при à — «со спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 4.15), то предельный цикл называется полуустойчивым.
Итак, переход от системы первого приближения (4.16) к системе (4.25) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный р (случай р = 0 не исключается) предельными циклами. На стр. 154, исследуя периодические решения автономной квазиннвейной системы (4.26) х + а'х = [[У'(х, х, р). вы пяизнлки отяицлтельности двнствитяльных частим 227 мы уже встречались с аналогичным явлением. Действительно. заменяя (4.26) эквивалентной системой, получим х= у, у= — а'х+(ьг'(х, у, (ь). (4.27) Соответствующая линейная система: х=у, у = — азх имеет в начале координат точку покоя типа центра; добавление малых при малом р нелинейных членов превращает центр, вообще говоря, в фокус, окруженный несколькими предельными циклами, радиусы которых и определялись из уравнения (2.(28), стр, !56.
Различие между случаями (4.25) и (4.27) заключается лишь в том, что члены 22, и Йа малы лишь в достаточно малой окрестности начала координат, тогда как в случае (4.27) слагаемое (ьу'(х, у, р) может быть сделано малым при достаточно малом !ь не только в достаточно малой окрестности начала координат. В примере 2 (стр. !56) прн малом !ь в окрестности окружности радиуса 6 с центром в начале координат, являющейся траекторией порождающего уравнения, возникает предельный цикл. В приложениях устойчивым предельным цнклаи обычно соответствуют автоколебательные процессы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
