Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 34
Текст из файла (страница 34)
4.7 пределы е-окрестности начала координат или, что то же самое, можно подобрать столь малые с, и с,, что решения х = с, соз де+ с,з!и л1, у=с,созл(+с з!пцС будут уловлетворять неравенству хз(!) + уз(Е) ( зт. Заметим, однако, что асимптотической устойчивости в рассматривае- мом случае нет, так как х(т) и у(С) в (4.11) не стремятся к нулю п р и С -ь оо . в) Корни кратны л,=!за. 1) л1=ля с: О Общее решение имеет вид х (С) = (с,а, + сз!),г) е", У (с) = (с,аз + с,рзт) е~ ', причем не исключена возможность того, что Р,=!)а=О, но тогда а, и аз будут произвольными постоянными. Из-аа наличия быстро стремящегося к нулю множителя елк при С-ьсо произведение (с,а,+сер!С)е~к (1=1, 2) стремится к нулю при (-ьос, причем при достаточно большом С все точки любой Ь-окрестности начала координат попадают в заданную е-окрестность 211 ПРОСТЕПП1ИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ начала координат н, следовательно, точка покоя асимптотически устойчива.
На рис. 4.7 изображена точка покоя рассматриваемого вида, так же как и в случае а) 1), называемая устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а) 1) и фокусом б) 1), так как при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов оц, аж, ого огг он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а) 1), потому что прн сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексных сопряженных корней, так н в пару действительных различных корней. Если ()1=из=0, то тоже получаем устойчивый узел (так называемый дикритичесхий узел), изображенный на рис. 4.8. 2) Если Аг=й,) О, то замена Г на — Г приводит к предыдущему случаю.
Следовательно, траектории не отличаются от траегшорий предыдущего случая, изображенных на рис. 4.7 и 4.8, но дгшжение по ннм происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя называется, так же как н в случае а) 2), неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны все возможности, так как случай Аг= 0 (или йз = 0) исключен условием ! 11 1г иг, огг Замечание !. Если ! оц о„ =О, им ощ то характеристическое уравчение имеет нулевой корень йг = О.
Предположим, что йг = О, но Аг ч'= О. Тогда общее решение системы (4.6) имеет вид х = с,а, + сгрге~ ', у = с,а, + сг()ге~к. Исключая 1. получим семейство параллельных прямых 81(у — с,аг)= =()г(х — с,а,). При сг= О получаем однопараметрическое семейство точек покоЯ, Расположенных на пРЯмой агр =агх. Если Аг < О, то ПРИ Г -и сс на КаждОй траектсрии точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя х= с,ао у=с,аг (рис. 4.9). Точка покоя х = — О, у = — 0 устойчива.
но асимптотической устойчивости нет. !4' ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ !ГЛ. 4 212 х=с1+сг. ) =с,+сб где с' и с" — линейные комбннашш произвольных постоянных с, 1 н сз. Точка покоя х с а О, у = О неустойчива. 3 з м е ч а н и е 2. Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек (см. стр. 57 — 59).
Действительно. в рассматриваемом случае система дх — = ацх+ ажУ 1)Г !4.6) — = аз,х+ а„у, л,у где ! 11 12 ам "ж Рис. 4.9. путем исключения С могла бы быть сведена к уравнению Лу а„х+аму !4.12) Лх а„х+ аму интегральные кривые которого совпадают с траекториями двигкения системы (4.6). При этом точка покоя х=О, у=О системы !4.6) является особой точкой уравнения (4.12). Заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть )случаи а) 1); б) !); в) !)), то точка покоя асимптотически устойчива. Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть [случаи а) 2); а) 3); б) 2); в) 2)), то точка покоя неустойчива.
Аналогичные утверждения справедливы и для системы а линейных однородных уравйений с постоянными коэффициентами — а,х) (1=1, 2, .... а). 4ГХ1 жз / 1 (4.13) Если же )42.Р О, то траектории расположены так же, но движение точен на траекториях происходит в противоположном направлении — точка покоя х = — О, у = О неустойчива. Если же ~1 = )22 = О, то возможны два случая: 1. Общее решение системы (4.6) имеет вид х=со у=аз — все точки являются точками покоя, все решения устойчивы. 2. Общее решение имеет вид 213 ПРОГТЕЙ!ПИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ $2! Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (4.13) отрицательны.
то тривиальное решение х,=О (1= 1, 2, ..., и) асимптотически устойчиво. 2(ействительно, частные решения, соответствующие некоторому корню й, характеристичесного уравнения, имеют вид (стр. 193 и 196) х,.=ае (1=1, 2, ..., и), А! если к, действительны, ху = е "р (31 сов с) 2 + у1 ей п с(,1), если сс, = р, + д,д н, наконец, в случае кратных корней решения такого же вида, но еще умноженные на некоторые многочлены Р) (Г). Очевилно, что все решения такого вида, если действительные части корней отрицательны (р, с. О, нли если и, действительно, то и, ( О), стремятся к нулю при 1-; со не медленнее, чем се ', где с — по- стоянный множитель, а — ги < О и больше наибольшей действитель- ной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом Г точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой Ь-окрестности начала координат, попа- дают в сколь угодно малую е-окрестность начала координат и при Г -ь ОО неограниченно приближасотся к началу координат — точка покоя х, =— О (1 = 1, 2, ..., и) асимптотически устойчива.
Если же действительная часть хотя бы одного корня характери- стического уравнения положительна, )се й! = р, ) О, то соответ- ствующее этому корню решение вида х! — — са е ', или в случае ком- зсС 1 плексного сг! его действительная (или мнимая) часть сел! фссозсг,.г+ +у)з!Прсг)(/=1, 2, ..., и) при сколь уголно малых по модулю значениях с неограниченно возрастает по модулю прн возрастании 1, и, следовательно, точки, расположенные в начальный момент на этих траекториях в сколь угодно малой б-окрестности начала координат. покидают при возрастании 1 любую заданную е-окрестность началз коорлинат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного корня характеристичешсого уравнения положительна, то точка покоя х;=— О (у =1, 2...
и) системы (4.13) неустойчива. П р н м е р 1. Какого типа точку покоя имеет система уравнений лх — =- к — у сгг — = 2х+зу) иу ссг Характеристическое уравнение иля 1ГЛ. 4 214 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ имеет корни Ь,л — 2 х- 1, следовательно, точка покоя х = 0 у = 0 является неустойчивым фокусом. П р н мер 2. х = — агх — 2Ьх — уравнение упругих колебании с учетом трения или сопротивления среды (при Ь > 0).
Переходя к эквивалентной системе уравнений, получим х=у, у =- — а'х — 2Ьу. Характеристическое уравнение имеет вид — Ь 1 =0 или Ьг+2ЬЬ+аг=О, — аг — 2Ь вЂ” /г откуда Ььг = — Ь Ю ) Ьг — "г. Рассмотрим следующие случаи: 1) Ь = О, т е, сопротивления среды не учгпываются. Все движения периодические. Точка покоя в начале координат является пентром. 2) Ь' — аг < О, Ь > О. Точка покоя является устойчивым фокусом.
Колебании затухают. 3) Ьг — а' йьО, Ь > О. Точка покоя является устойчивым узлолг. Все решения затухающие, исколеблющиеся. Этот случай наступает, если сопротивление среды велико (Ь > а), 4) Ь < 0 (случай отрицательного трения), Ь' — а' < О. Точка покоя является неустойчивым фокусом. 5) Ь < О, Ь' — а' > 0 (случай большого отрицательного трения).
Точка покои является неустойчивым узлом, Пример 3. Исследовать иа устойчивость точку покои системы уравнений и'х — =2у — ж 4(à — = Зх — 2». гту нт гтх — = 5х — 4у. ггт Характеристическое уравнение имеет ввд — А 2 — 1 3 — Ь вЂ” 2 =0 5 — 4 — Ь или Л' — Од+а=0. Определить корни кубического уравнения в общем случае довольно трудно, однако в данном случае один корень Ь, = 1 легко подбирается, и так как зтот корень имеет положительную действительную часть, то можно утверждать, что точка покоя х = О, у = О, х = О неустойчива. 211 ВТОРОЙ МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА В 3. Второй метод А. М.
Ляпунова Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце Х1Х века разработал весьма обший метод исследования на устойчивость решений системы дифференциальных уравнений — „' =У'<(Г, хо х,, .... х„) (1=1, 2, ..., п). (4,14) получивший название второго метода Ляпунова. Теорема 4.1 (теорема Ляпунова оо устойчивости). Если существует дифференцируемая функция о(х,, х, ..., х„), на- зываемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в о<срест- ности начала координат следующим условиям: 1) о(хи хг...,, х„) )~О, причем О=О лишь при х, =О (1=1, 2, ..., п), т. е. функция о имеет строгий минимул< в начале координат; о до ъ< до 2) — „= 1 у<(г, хо ..., х„) (О при г)~<е.
то точка дг Е дх; <=1 покоя х,=О (1=1, 2, ..., и) устойчива, до Производная — в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, д< т. е. онз вычислена в предположении, что аргументы х< (< = 1, 2, ... ..., и) функции о(хо х,, ..., х,) заменены решением х,(1) (<= = 1, 2, ..., и) системы дифференциальных уравнений (4.14). и до КЧ до дх; Действительно, в этом предположении — = ~ — ' или заде Л1 дх; т дх< меняя — правыми частями системы (4.! 4), окончательно получим дс до ъ< до дс ЛВ д Доказзтельство теоремы Ляпунова об устойчив о с т и. В окрестности начала координат, как и в окрестности всякой точки строгого минимума (рис. 4.10), поверхности уровня о(х,, хг, ..., х„)=с функции о(х,, хг, ..., х„) являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума — начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
