Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 37
Текст из файла (страница 37)
периодические процессы, а которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний. й 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочленв В предыдущем параграфе вопрос об устойчивости тривиального решения широкого класса систем дифференциальных уравнений был сведен к исследованию знаков действительных частей корней характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет высокую степень, то его решение представляет аначительные трудности, поэтому большов значение имеют методы, позволяющие, не решая уравнения, установить, будут ли все его корни иметь отрицательную вещественную часть или нет. Теорема 4.б (теорема Гурвица в)). Необходимым и дотааточным условием отрицательности действительны» частей всех корней мнозочлвна ) ~.. . *.
„.„ пр,... , ° ь* ° .ур. ... ь алгебры, например в <Курсе высшей алгебрыв А Р. К!!роша. 228 [ГЛ. 4 ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 'а, 1 из из иь и4 ~и, 1 0 0 0 0 ... 0 а, 1 ... 0 аз аз и5 444 0 0 ...а„ По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффициенты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации, начиная с а, до а„. Столбцы состоят поочередно нз коэффициентов только с нечетными илн точько с четнымн индексами, включая и коэффициенг аз = 1, следовательно, элемент матрицы 145 — — а„ „. Все недостающие коэффициенты, т. е.
коэффициенты с индексами, большими а или меньшими О, заменяются нулями. Обозначим главные диагональные миноры матрицы Гурвица: а, 1 0 аз аз а, 455 ' и4 453 а, ! Л =~~~~ Лз = из и, а, 1 0 ... 0 аз аз а, иь и4 000...а„ Заметим, что так как Л„=Л„,а„, то последнее из условий Гур. ница Л, ) О, Л, > О, ..., Л„> 0 может быть заменено требованием а„> 0 4).
Применим теорему Гурвица к многочленам второй, третьей н четвертой степени. а) аз+а,а+аз. Условия Гурвица сводятся к а, > О, а, ) О. Эти неравенства в пространстве коэффициентов а, и аз определяют первую четверть (рис. 4.16). На рис. 4.16 изображена область асимптотической устойчивости тривиального решения некоторой системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющей условиям теоремы 4.1, если гз+а,в+аз является ее характеристическим многочленом.
*) Заметим. что нз условий Гурвица следует, что все аз > О, однако положительность всех коэффициентов недостаточна для того, чтобы действительные части всех корней были бы отрицательнымн. с действительными ' ноэр)фициентами является положительность всех главных диагональных лзинорое матрицы Гуреица $ З) ПРИЗНАКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ 220 б) дз + а,л' + ага + аз.
Условия Гурвица сводятся к а, > О. а,аг — а, > О, аз > О. Область, определяемая этим неравенством в пространстве.коэффициентов, изображена на рис. 4.17. в) л~+ аза'+ агля+ азл+ а„. Условия Гурвипа сводятся к а, > О, азат — аз > О, (а,аг — аз) аз — азаз > О, аз > 0 Для рассмотренных многочленоз условия Гурвица очень удобны и легко проверяемы, однако с возрастанием степени многочлена условия Гурвнца быстро усложняются и часто вместо них удобнее прн- Рис. 4.17. Рис.
4.16. менять другие признаки отрицательности действительных частей корней многочлена. П р им е р. При каких значениях параметра а тривиальное решение х, = О, х, = О, х, = 0 системы дифференциальных уравнений ахз згхз ахз — =х,, — = — Зхь — =ах, +2х,— х, — з асимптотически устойчиво? Характеристическое уравнение имеет вид ! — а 0 1 — 3 — А 0 =О или аз+аз — ах+6=0. а 2 — 1 — а По признаку Гурвица условиями асимптотической устойчивости будут а, > О. а,аз — аз > О, а, > О.
Эти Условна в данном слУчае своДЯтсЯ к — а — 6 > О. откуда а < -6. Егл. л ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ й 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра (см. стр. 54) утверждает, что решение дифференциального уравнения х(Е) =у (Е, х(Е), р) непрерывно зависит от параметра р, если в рассматриваемой замкнутой области изменения Е, х и р функция у' непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшицз по х: !е (Е, х, р) — Е(Е, х, ц)) (Ле)х — х), р — „Е =У'(Е, х), лх (4. 28) где р — малый параметр.
Задача заключается в том, чтобы выяснить, лх можно ли прн малых значениях )р! пренебречь членом р —, т. е. ле л'х приближенно заменить решение уравнения р — „=у'(Е, х) решением ле так называемого вырожденного уравнения у' (Е, х) = О. (4.29) Мы не можем здесь воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости решения от параметра, так как правая часть уравнения — = — у(Е, х) еЕх ! Е> (4. 28,) разрывна при И=О. Предположим пока для упрощения.
что вырожденное уравнение (4.29) имеет лишь одно решение х= 9>(Е), предположим также для определенности, что ' р ) О. Прн стремлении параметра р к нулю дх цх 1 производная — решений уравнения — = — /(Е, х) в каждой точке, ле ЛЕ н в которой у(Е, х)+О, будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, имея знак, совпадающий со знаком функции у(Е, х). Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках, в которых г" (Е, х) чь О, стремятся прн р — ьО к направлению.
параллельному оси Ох, причем если Е(Е, х) ) О, то решение х(Е, р) лх уравнения (4.28,) возрастает с возрастанием Е, так как — ) О, а если лЕ где Ж не зависит от Е, х и р, В задачах физики и механики условия этой теоремы обычно выполнены, однако один случай разрывной зависимости правой части от параметра, изучению которого и посвящается этот параграф, встречается в приложениях сравнительно часто.
Рассмотрим уравнение случАЙ мАлОГО коэФФицивнтА 231 Е (Е. х) С О, то решение х(Е, )г) убывает с возрастанием Е, так как >Ех — < О. >ЕЕ Рассмотрим изображенный на рис. 4.18 случай а), при котором знак функции Е(Е, х) с возрастанием х при фиксированном Е меняется при переходе через график решения х=ф(Е) вырожденного уравнения с + на — . Стрелками показано поле направлений касательных к интегральным кривым при достаточно малом (г.
Поле направлений устремлено к графику корня вырожденного уравнения. Поэтому каковы бы ни ЕГХ ГЕ а>т а>х Гж Е> эха Рнс, 4,!9. Рнс. 4.1Ы. были начальные значения х(Еа)=х. интегральная кривая, определяемая этими начальными значениями, будучи почти параллельной оси Ох, устремляется к графику корня вырожденного уравнения и при возрастании Е уже не может покинуть окрестность этого графика.
Следовательно, в этом случае при Е)~Е> ) Еа при достаточно малом )> можно приближенно заменять решение х(Е, )>) уравнения (4.28) решением вырожденного уравнения, В рассмотренном случае решение х=ф(Е) вырожденного уравнения называется устойчивым. Рассмотрим случай б) — знак функции Е(Е, х) при переходе через график решения х=ф(Е) вырожденного уравнения с возрастанием х при фиксированном Е изменяется с — на +. На рис.
4.19 изображено поле направлений, касательных и интегральным кривым при достаточно малом р. В этом случае очевидно, что каковы бы ни были, начальные значения х(Еэ) = хс, удовлетворяющие лишь условию Е(Ез, х )+О, интегральная кривая, определяемая этими значениями, при достаточно малом )г, имея почти параллельную оси Ох касательную, удаляется от графика решения х=гр(Е) вырожденного уравнения. В этом случае решение х=9>(Е) уравнения (4.29) называется неустойчивым.
В неустойчивом случае нельзя заменять решение х = х (Е, )А) исходного уравнения решением вырожденного 232 ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ [Гл, ч Нх уравнения, другими словами, нельзя пренебречь членом (ь — в уравне- лт лх нии р — = г'((, х), как бы мало )г ни было. лг Возможен еще третий, так называемый полуустойчивый, случай в): анак функции у (1, х) при переходе через график решения вырожденного уравнения не изменяется. На рнс.
4.20 изображено поле направлений в случае полуустойчивого решения х= ф(г). В полуустойчивом случае, как правило, тоже нельзя приближенно заменять решение исходного уравнения х = х (г, )г) решением вырожденного уравнения, так как, во-первых, интегральные кривые, определяемые начальными э~~, значениями, лежащими с одной ( эйч. стороны от графика решения х=гр(1), удаляются от этого графика, во-вторых, интеграль. > ) 1 ~ э ~ ) ные кривые, приближающиеся ~~1 1 ) 1 1 ' к графику решения х = гр(г), могут перейти через него 0 .02 на неустойчивую сторону (рис. 4.20) и после этого удаРнс.
4.20. литься от графика решения х =гр(1). Наконец, если даже интегральная кривая х = х(1, р) остается в окрестности графика решения с его устойчивой стороны, то неизбежные в практических задачах возмущения могут перебросить график решения х=х(Г, (г) на неустойчивую сторону графика решения вырожденного уравнения. после чего интегральная кривая х = х(1, (ь) удалится от графика решения х = ф (г). Заметим, что если на графике решения вырожденного уравнения — ( О.
то завеломо решение х=<р(Г) устойчиво; если же — ) О, д/ дг' дх дх то решение х = ~р(г) неустойчиво, так как в первом случае в окрест. ности кривой х=гр(1) функция г" убывает с возрастанием х и, следовательно, меняет знак с + на †, а во втором случае возрастает с возрастанием х и, значит, при переходе через график решения х =ф(() функция у меняет знак с — на + . Если вырожденное уравнение имеет несколько решений х = ф,(1), то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость.
причем в зависимости от выбора начальных значений интегральные кривые исходного уравнения могут вести себя при 1ь -ь 0 различно. Например, в иаображенном на рис. 4.21 случае трех решений х = ю,(1) (1= 1, 2, 3) вырожденного уравнения, графики которых не пересекаются, решения х = х (г, (г), р ) О, исходного уравнения, опреде- случАИ ИАлОГО коэФФициентА $ 5] ляемые начальными точками, лежащими выше графика функции х~]рт(1), стремятся при 1 > 15 и ]5-ьО к устойчивому решению вырожденного уравнения х=]р](1), а решения х=х(1, р), определяемые начальными точками, лежащими ни- у(О же графика функции х = грт(1). стремятся при „ ( ! ( )( ((! ! 1 г!! и р — ь О к устойчи- вомУ Решению х=]Ра(1) ]1! (( ! (11(т (1 о вырожденного уравнения (рнс.
4.21). х=еуггl Пример 1. Выяснить, (() ( у(л" (((т( т() ) ! стремится ли решение х = х (1, и) уравнения И вЂ” = х — й р > О, удовдх дт ,(.»л летворяющее начальным условиям х(1,) = х, к реше- ! ! ) ' ' 1 =5)г'l нию вырожденного уравнення х — 1=0 при ! > !5 и р-э О. Рис. 4.21. Решение х = х (1, р) не стремится к решению вырожденного уравнения х=й так как решение вырожденного уравнения д (х — !) неустойчиво, потому что — = 1 > О (рнс, 4.22).
дх Рнс. 4.22. Рнс. 4.23. Пример 2. Тот же вопрос дли уравнения дх н — = 5]п ! — Зл дг Решение вырожденного уравнения х = 2!п]5!пг) — !пз устойчиво, так д (5! п'1 — Зе') как ' ' = — Зал<0. Следовательно, решение исходного уравнения дх [гл. ч ТЕОРИЯ КСТОИЧИВОСТИ х = х(б р) стремится к решению вырожденного уравнения для с > ть при р-+О. Пример 3. Тот же вопрос для решения уравнения р — = х (р — х+ 1), ц > О, х ((ч) = ха дх и( . Из двух решений х = О и х = Р+ 1 вырожденного уравнения дх(Р— х+1) ~ х (Р— х + 1) О первое неустойчиво, так ьак 1х=е дх (Р— х+ 1) ~ =И+1 > О, а второе устойчиво, так как ! = — à — 1<0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
