Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 38
Текст из файла (страница 38)
дх Если начальная точка (ть х,) лежит в верхней полуплоскостн х > О, то интегральная кривая исходного уравнения при р -+ О приближается н графику решения х = Р + 1 вырожденного уравнения (рис. 4.23) и остается в его окрестности. Если же начальная точка лежит в нижней полуплоскости х < О, то !них (б р) = — оз прн Г > т, (рис.
4.23). к.ьо Вопрос о зависимости решения от малого коэффициента р при старшей производной возникает и для уравнений и-го порядка рХ(хд(т) =у(с. Х, Х, Х,,, ХЫ-И), и для систем дифференциальных уравнений. Уравнение и-го порядка может быть обычным способом (см. стр. 85) сведено к системе уравнений первого порядка, и слеловательно, основная задача заключается в исследовании систем уравнений первого порядка с одним или несколькими малыми коэффициентами при производных. Зта задача подробно исследована А. Н. Тихоновым (4) и А. Б. Васильевой.
й 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях Если исследуемая система уравнений дхг дс =Л(Т ХГ Хя ''' Хх) Хг((О) =Хне ((=1, 2, . „и) (4.30) подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему (4.30) на малом интервале изменения т, Га (С (Сс, следует заменить возмущенной системой дх; =,ур(С хи хя,, х )+ й~(С хц хя...,, х ), ~ (4.31) хгфо)=хг(го) ((=1, 2, ..., в). где все Й;(г, хц хт, ..., х„) малы по модулю, а затем при г')~(е возмущения прекращаются, и мы снова возвращаемся к системе(4.30), (гл. л ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ о(г, хн хг, ..., хл), УдовлетвоРЯюЩал в окРестности начала координат при г )~!а следующим условиям: 1) о(1, хп хг, ..., хл))~о!1(хн хг, ..., хл))~0, о(1, О, О, ..., 0)=0, где и!! — непрерывная функция, обращающаяся в нуль лишь в начале координат; до 2) производные — (в= 1, 2, ..., и) ограничены по модулю; дхл л ио до 'Е" до 3) производная — „= — + ~ — гл! < — тг(х1, хг, ..., хл) ~<0, 1 !=1 где непрерывная функция и!г(х1, хг, ....
хл) может обращаться в нуль лишь в начале координат, то тривиильное решение системы (4.30) устойчиво по отношени!о к постоянно действую- щим возмущениям. До к аз а те л ь с та о. Заметим, что в силу ограниченности произдо водных — (в = 1, 2, ..., и) функпия о равномерно по отношению дх, л к г при 1)~(е стремится к нулю при ~ хгг-+О, так как по тео1=1 л ты / Оо ! реме о среднем значении о(г, х,, хг, ..., хл) = т ! — ) хо где л'' Е ( дХ! ) 1=1 — ~ — производные, вычисленные для некоторых промежуточных 1 ) до ! дх! ~ между 0 и х, ((= 1, 2, ..., п) значений аргументов хн хг, ....
хл. Заметим также, что вне некоторой б-окрестностн начала координат < т. е. при ~г х',>бг > 0 и прн ()~(е в силу условий 2) н 3) 1=1 проиаводная л л ио до жч до Ът до — = — + т,— Л+ т,— Я,< — й<О дг дг ЛЬ дх; ' А дх! прн достаточно малых по молулю гс! (1= 1, 2, ..., и). Зададим е > 0 и выберем какую-ннбуль поверхность уровня (или одну из ее компонент) э! =1, 1> О, великом лежашую в г-окрестности начала координат. Подвижная при переменном г ге поверхность уровня о(1, хп х, ..., хл)= 1, в силу условия !), лежит внутри поверхности уровня !в, =1 и в то же время, в силу равномерного по Ф л стремления к нулю функпин о при ~ хг — ь О.
лежит вне 1=! некоторой дг-окрестности начала координат, в которой о < 1, и, Устойчивость пои постоянно двпствоющих возмоп!вниях 28г следовательно, на поверхности уровня о(1, хо хя, ..., х„)=1 при любом 1)~ 1е производная И И до до ст до сч до — = — + у, — У, + у, — )1, < — й < О. дг дг Два дх! ! Л~ дх! ! ! ! ! а если,Я Й) (Ь|, Ь! ) О, где Ь, достаточно мало. Траектория, опре1=1 делаемая начальной точкой х;(1е)=хде (1=1, 2, ..., и), лежащей в указанной выше Ьв-окрестности начала коорлинат, не может при 1) 1р выйти за пределы е-окрестности начала координат, так как, в силу выбора Ь, о(гш хю, х,е, ..., х„е) <1 и следовательно, если бы при 1)~1е траектория выходила за пределы е-окрестиостн начала координат илп хотя бы за пределы поверхности уровня го, =1, то она должна была бы при некотором значении 1= Т первый раз пересечь поверхность уровня о(1„хо х,, ..., х„)=1, причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функция о должна была бы возрастать, что противоречит условию до дг — < — а ( О вдоль траектории з точках поверхности уровня о(1, хо хш ..., х,) =1.
Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (см. замечание па стр. 218), увидим, что они почти совпадают; допплнительным в теореме Малкина является лишь требование ограниченности производных — (а =1, 2, ..., п), тзк что асимптотическая устойчивость и устойдо дхг чивость по отношению к постоянно действующим возмущениям являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами.
Пример !. Устойчиво лн по отношению к постоянно действующим возмущениям тривиальное решение х= О. у =О системы уравнений дх — = а'у — х', дг — = — ах — у. ду дг где а н Ь вЂ” настоянные. Функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина, является о = Ь'хе+ агуя Следовательно, точка покоя х = О, у = О устойчива ао отношению к постоянно действующим возмущениям. П р и и е р 2. Устойчива ли точка покоя х,~б (1 1, 2, ..., а) системы — = у ац)х)+1!!(г, хь х,, .... ха) (1 1, 2, ..., л) (4.32) дх! . %ч дг .Уя г 1 твория устоичиности Задачи н главе 4 1.
Исследовать на устойчивость точку покоя х = О, у = 0 системы их — = — 2х — Зу+ х', лт — =х+у — у'. пт 2. Исслеловать на устойчивость точку системы пх — =х — у — х, 3( покоя х=О, у=О. в=Π— = х — 5у — Ое г)т При каких значениях а точка покоя х=б, у=О, а=О системы л'у гтл их — у, — -=ау — л, — =໠— х устойчива? лт ' Н При каких значениях а система 3. пх лт 4. с(х — = у+ах — х', ггт г(у — = — х — уь и'1 имеет устойчивую точку покоя х= О, у =0? 5. К какому пределу стремится решение тифференциального уравнения и — =(х'+та — 4)(х'+И вЂ” 9), х(1) 1 пт при р-+О, р>0, Ф>1? 6.
К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения и'х р — =Х вЂ” 1+5, Х(2)=5 ври р-э.О, р>0, Ф>2'? т(1 по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все аИ вЂ” постоянные, а )?~ удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр. 221. т. е у л ту+а ) Яг) ( й)~ ~'хт ~ , а > О, )У вЂ” постоянная, и все корни характеристичен=з ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны. На стр. 223 после замены переменньш, приводившей линейные части уравнения (4.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова и = ~ ут, удовлетворяющая всем условиям теоремы Малкина, следо! ! вательно, точка покоя х,= 0 (1 = 1, 2, ..., и) устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям.
Тот же результзт можно получить, предположив. что действительные части всех корней кзрактернстического уравнения, среди которых могут быть и кратные, отрицательны, но только в атом случае подбор функции Ляпунова значительно усложняется. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4 239 7. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, у 0 системь уравнений з(х — х+ля — соз у, а — Зх — у — а(п у.
зту сгт 8. Устойчиво ли по отношению к постоянно Аействующич возмущениям решение х =О, у= 0 системы уравнений лх — = — 2у — хз, М вЂ” = 5х — узу нт ~Ы 9. Устойчиво ли решенае хьмО уравнения х+ 5х + 2х+ 20 = 07 10. Устойчиво ли репзеиие х О уравнения х+ 5х+ бх+ х = 07 11. Какого типа точку покоя х = О, у = О имеет система уравнений их лу — = х+ Зу, — = 5х — уу з(т * пг 12. Определить периодическое решение уравнения х +2х+ 2х =з1пт и исследовать его на устойчивость.
13. х+ 2х+ йх+Зх= саз й Устойчиво ли периодическзк решение этого уравнения. И. Исследовать на устойчивость точку покоя Х~О, у =О шлемы уз+ тз у хз+уз 15. Исследовать на устойчивость рсшения системы уравнений х = Зу — 2х+а'. у = 5х — 4у+2.
16. Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения х+2х+Зх+узй х=О. 17. Исследовать иа устойчивость тривиальное решение уравнения х+(а — 1) х+(4 — аз) х =-О. где и — параметр. !8. Устойчиво ли решение х О, у 0 системы х = Зу — х', у — 4х — Зу' яри постоянно действующик возмущениях 240 ТЕОРИЯ ГОТОИЧИВОСТИ !ГЛ. 4 !9. Устойчиво ли тривиальное решение системы Х(т) АХ(т), где Х(!) — вектор в трехмерном пространстве, а А О 1 1 20.
Исследовать на устойчивость решения уравнения х+ 4х+бх = т 2!. Исследовать на устойчивость решения уравнения х+9х= в!пд 22, х+х= соей Найти периодическое решение и исследовать его на устойчивость. 23. Найти область устойчивости х+ ах+(1 — и) х =-О. 24. х+ х+ а'х+ бах= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
