Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 40
Текст из файла (страница 40)
у, «) 1(ля того чтобы характеристики проходили через заданную кривую, ищем решение систелоы (5.5,), удовлетворяющее при Г=О (нли (=го) начальным условиям: х = ло (з), у = уо (з), « = «о (з) При таких начальных условиях при фиксированном з получим характеристику, проходящую через фиксированную точку кривой (Б). При перемен. ном з получим семейство характеристик х=х(й з), т=у(д з), «=«(й э), (в) проходящих через точки заданной кривой (Б) (при этом предполагается, что задзнная кривая (Б) не является характеристикой). Множество точек, лежащих на этом семействе характеристик (В), и образует искомую интегральную поверхность.
Пример 4. д» д« вЂ” — — =1 дх ду Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую хо з, уо=э «о=з о о Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид дх= — ну = д«= аЧ. Ее общее решение х=т+сь у — (+со, «=(+со. Пользуясь начальными условиями, определяем прооювольные постоянные и окончательно получаем Г+з у о+ко «(+Во, рай кглвнвния в члстных пяоизводных пиявого полянка (гл.а Перейдем теперь к случаю л независимых переменных.
Естественно ожидать, что указанная выше для трехмерного случая схема решения может быть распространена и на (л+ !)-мерный случай. Начнем с исследования однородного линейного уравнения дл дл Х,(хп хз, ..., х„) — +Ха(хн хт, ..., х„) — + ... дх, дхр + Хм (х1 хз ° ° °, хл) д — — О. (5.8) дл х» где непрерывные функции Х~(хн хт, ..., х„) не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке рассматриваемой области и имеют в той же области ограниченные частные производные.
Составляем вспомогательную систему уравнений (5 9) Х,(х„хь ..., х,) Х,(хь х„..., хл) Х„(хмх,, ...,х„)' которая при указанных выше ограничениях удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Находим и — 1 независимый первый интеграл системы (5.9): ф,(хп хм ..., х„)=сп фз(хп хм ..., х,)=ем ф„,(хн хт, ..., х„)=с„н дф =У, дх,=О. с.Г дх, ! 1 (5. ! 0) Но вдоль интегральной кривой системы (5.9) дифференциалы Их, пропорциональны функциям Хн следовательно, в силу однородности относительно Их, левой части тождества 7 — дх,= — О, %'1 дф дх~ г ) В пространстве с координатами х,, ха, ..., х„эта система интегралов определяет (а — !)-параметрическое сеиейство линий, называемых ха рахтеристимами уравнения (5.8).
Докажем, что левая часть любого первого интеграла ф(хн х,, ..., х„)=с системы (5.9) является решением исходного линейного однородного уравнения' в частных производных (5.8). Действительно. вдоль любой интегральной кривой системы (5.9) функция ф=с. Следовательно, вдоль любой интегральной кривой 249 ЛИНЕПНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Э 21 дифференциалы дх, могут быть заменены пропорциональными нм величинами Хо при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (5.9) л Х, = О.
(5.11) г*г Интегральные кривые системы (5.9) прохолят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных хн хм ..., Х„и левая часть тождества (5,1!) не зависит от постоянных си с,, ..., с„ н, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (5.11) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваеиой области изменения переменных хн хш ..., х„, а это и означает. что функция ф является решением исходного уравнения Очевидно, что Ф(фи фм ..., ф„,)=с, где Ф вЂ” произвольная функция, является первым интегралом системы (5.9), так как вдоль интегральной кривой системы (5.9) все функции фи фм ..., ф„ обращаются в постоянные, следовательно, и Ф(фР ф, ..., ф„,) обращается в постоянную вдоль интегральной кривой.
системы (5.9), Значит, х=Ф(фи ф,, .... фв,), где Ф вЂ” произвольная дифференпнруемая функция. является решением линейного однородного уравнения (5.8). Докажем, что Х=Ф(ф1(Х1 " Х.) фг(ХР °, Хч), . фв,(ХР ..., Х„)) является общим решением уравнения (5.8). Теорема 6.3. х=Ф(фи фг, ..., ф„,), где Ф вЂ” лроизвольная функция, является общим решением уравнения Х де Хг(хи ха, ..., х„) — „=О, ! (5.8) т. е. решением, содержащим все без иснлючения решения етого уравнения. Доказательство. Допустим, что х=ф(х,, х,, ....
Х„) является некоторым решением уравнения (5.8), и докажем, что существует функция Ф такая. что ф=Ф(фн фз, ..., ф„,). 25О УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. З Так как ф и фз, фя, ..., фл, являются решениями уравнения (5.8), то л "~', л,,~' = — о. 1=! (5.12) Рассматривая систему (5.12) как линейную однородную систему л уравнений относительно Х! (! = 1, 2, ..., В) и замечая, что эта одно- РОДНаЯ СИСтЕМа В КажДОй ТОЧКЕ ХР ХМ ..., Хл РаССМатРИВаЕМОВ области имеет нетривиальное решенке, так как Х!(х!, хз, ..., хл), по предположению, не обращаются в нуль одновременно, приходим к выводу, что определитель этой системы дфл-! дфл-! д!ул ! дх, дх! ' '' дх„ тождественно равен нулю в рассматриваемой области.
Но тождественное обращение в нуль якобиана функпий ф фг, фз, ..., фл, указывает на наличие функпиональной зависимости между этими функциями: Р (ф, РР ф,, ..., Рл ,) = О. (5.1 3) В СИЛУ НвэаВИСИМОСтн ПЕРВЫХ ИНтЕГРаЛОВ ф,(ХН ХЗ...., Хл) = С, (1 = 1, 2, ..., и — 1) системы (5.9) по крайней мере один из миноров (н — 1)-го порядка якобиана Е!(Ф, ц', рл, ", фл !) Аз(хь хл, хв ..., хл) д$ д!Р дх, дх, д!Р! дт! дх, дх, дйв дф! дх, дх! д!Р дхл дт! дх'л дФ дхл ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251 $2) вила ~ рр! ф2 Фл) отличен от нуля. Следовательно, уравнение (5.13) можно представить в виде ф=Ф(ф ф " ф.— ).
П р и и е р 5. Проинтегрировать уравнение л Х дг х,— =О. дх! г=! (5.14) Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вил д к! ~х! дхл х, х! ''' хл Независимыми первыми интегралами этой системы будут: х, х, хп — =СР— =СЬ ..., ==СЛ хп ' хп ' ''' Хл Общее решение исходного уравнения где — + О. ди дх Действительно, считая, что функция г=г(хн хз, . ° ., х.) определена из уравнения (5.16), и дифференцируя тождество и(хн хз хл х(хн хю хл)) О является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности. Теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что однородные функции нулевой степени однородности удовлетворяют рассматриваемому уравнению (554); теперь мы доказали, что только однородные функции нулевой степени однородности обладают этим свойством. Неодноролнде линейное уравнение первого порядка дл б ) Х! (х), х,, ..., хп, х) д — Е (х), хгл ..., хп х) (5 15) !=1 тле все Х, н х — непрерывно дифференцируемые функции, не обращающиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных хп х2, ..., х„ г, интегрируется путем сведения к линейному однородному урзвнению.
Для этой цели, так же как и в случае трех переменных. достаточно искать решение г уравнения (5.15) в неявном виде: и(х,, хз, .... хп, г) =О, (5.16) 252 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОго пОРяДКА 1ГЛ. а по х,, получим ди ди да — + — — =О. дхг да дх~ откуда ди дг дх~ ох~ ди дг ди на — — и перенося да однородное линейное Подставляя найденное — В (5.15), умножая дг дх1 все члены в левую часть уравнения, получим уравнение и ~Л~М ' * '''' "' дх~ ди Х,(хп хз, ..., х„, г)дх +с(хп хз хч, «) — = О, (5.17) ди и(х,, хм ..., хю В) =О. Найдем вначале функции и, обращающие уравнение (5.!7) в тождество при независимо меняющихся х„х,, ..., х„, х.
Все такие функции а являются решениями однородного уравнения (5.17) и могут быть найдены уже известным нам способом: составляем систему уравнений, опрелеляющую характеристики дх1 дх, Х~ (х1 ха хл л) Ха (х1 х2 хч л) Х„(хнх,, ...,х, ) г(хьхь ...,х„, )1 (5.18) находим л независимых первых интегралов этой системы: ф,(хп хм ..., х„, г) =сп фз(хп ха... х„, х) =ем фч(ХР Ха, ..., Х„, г)=С„; тогда общее решение уравнения (5.17) имеет виа и =Ф(фп фа, ...;- ф„), где Ф вЂ” произвольная функция, которому должна удовлетворять функция и, однако лишь в предположении, что х является функцией хп ха, ..., х„, определяемой уравнением и(х,, хм ..., хю я) =О.
Итак, надо найти функции и, обращающие линейное однородное уравнение (5.17) в тождество в силу уравнения ЛИНЕЙНЪ|Е И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАЕНЕНИЯ 253 Решение г уравнения (5.15), зависящее от произвольной функции, определяется из уравнения и(хм хя, ..., х„, г)=0 илн Ф(ф1, фз, ..., ф„)=0.
Но, кроме найденных этим способом решений, могут быть решения г, которые определяются из уравнений и(х,, хз,..., х„. г)=0, где функция и не является решением уравнения (5.17), а обращает это уравнение в тождество лишь в силу уравнения и(хн х, ... ..., х„, г)=0. Такие решения называются специальными. Специальных решений в некотором смысле не очень много, они не могут образовывать даже однопараметрических семейств. Действительно, если бы специальные решения образовали одно- параметрическое семейство и определялнсь уравнением и(хн х,, ..., х„, г)=с, (5.19) где с -- |шраметр, г„(с (с|, то уравнение (5.1?) должно было бы обра|цаться в тождество в силу уравнения (5.19) при любом с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
