Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Покажем, что из характеристик может быть образована искомая интегральная поверхность. уравнения се(х, у, г, р, д)=О. Прежде всего заметим, что вдоль интегральной кривой системы (5.50),функция Р сохраняет постоянное значение Г(х, у, г, р, д) =с, 2уо тпхвниння в члстных пяонзводных пеявого пояялкл /гл. а другими словами, функция Р(х, у, а, р, д) является первым интегра- лом системы (5.50), Действительно, влоль интегральной кривой системы (5.50) — Р(х, у, г, р,д)=Р—, +Є— +Р,— „+Р— +Р,— = = Р,Р +Р Р +Р,(РР +ч/Р ) — Р„(Р +РР,) — Р (Р,,+//Р,)=0, следовательно, вдоль интегральной кривой системы (5.50) Р (х, у, л, р. ч/) = с, гле с = Р (хо уо ло ро 'уо) Р(хо Уо ао Ро ч/о)=0.
Интегрируя систему (5.50) при начальных' значениях хо = х (г), Ус= Ус(з) до= до(з) Ро= Ро(з) //о=(/о(а) уловлетворяюших уравнению Р(х„, уо, го, ро, ч)о)=0, получим х=х(/, с), у=у(/, а), с=х(/ з) Р=Р(/, ю), //=-//(/, 8) При фиксированном з будем иметь одну из характеристик х=-к(/, ю), у=у(/, 8), а=а(/, 8), меняя з, получим некоторую поверхность. В каждой точке этой по. верхности при р= р(/, з), ч/=ч/(/, а) уравнение Р(х, у, а, р, //)=0 да удовлетворяется, но надо еще выяснить, булет ли прн этом р=— дх и ч/= —, или, что то же самое, будет ли да= р//х+//лчу, или да дт /дх дх ч /ду ду ч дд да /(г = р ~ — //г+ — ч//1+ ч/( — ачз+ — ///) = — //з -(- — ч//, ~ да д/ ) ( да д/ ) да д/ что эквивалентйо лвум условиям: дх ду да р — +д — — — =0, дс да да (5.52) дх ду да р —,+с — — — =0.
д/ д/ д/ (5.53) Второе из этих уравнений, очевидно, обрашается в тождество, так как при составлении системы (5.50) мы уже требовали, чтобы вдоль характеристики о(а= р/тх+ч///у. Впрочем, вэтом легко убедиться и непосредственно, если принять во внимание, что, в силу системы (5.50), — =Р. — =Р, — =РР +дР дх ду, дг д/ ж д/ а' д/ я Для того чтобы вдоль интегральных кривых системы (5.50) удовлетворялось уравнение Р (х, у, г. р, (/) = О, пало начальные значения хо(с), уо(з), ло(з), р„(з), //о(з) выбирать так, чтобы они удовлетворялии уравнению аи нелинейные яглвиения пеявого погадка Н( дх ду дг дх ду (в (5.50) вместо †, — , — мы писали — , — , — , так как д1' д1 ' д1 дг ' д1 ' д1 ' считали я фиксированным). Для того чтобы удовлетворялось уравнение (5.52), необходимо наложить еше некоторые ограничения на выбор начальных значений хо(я) уо(я) го(я) ре(я) де(я).
Лействительно, обозначим дх ду дг р — +д — — — =У дя дя дя (5.54) и докажем, что У = О, если начальное значение (У~, = О. откуда будет следовать, что если начальные функнии хз(з) уз(з) го(я) ро(я) до(я) выбрать так, что р (я) х' (я) + д (я) у'(я) — г„' (я) = О, то У = — 0 для всех 1.
..'о1фференцируя (5,54) по 1, получмм дУ др дх д'х дд ду дзу д'г — = — — +р — + — — +д — —— д1 д1 дз д1 дз д1 дз " дгдз д1дз и, принимая во внимание результат дифференцирования тождества (5.53) по я: др дх д'х дд ду д'у д'г — — +р —.+ — — +д — — — =о, дя д1 дзд1 дз д1 дзд1 дзд1 будем иметь дУ др дх дд ду др дх дд ду д1 д1 дя д1 дя дя д1 дз д1 или, в силу уравнений (5.50), дг(+р)дз(з+д«)лялдя дх ду дг др ' дя " дя ' дз ' дя (' дх ду дг З д — Р (р — +д — — — ~~= — — ~Р~ дз дз дз ~ дз так как Р = — О.
и слеловательно, полная частная производная д — (Р) = О. Из уразнеьчж дз — —.— — Р У (5 55) 272 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. $ -) г,л находим (7 = (уое а . Следовательно, если Оо = О, то (7 = — О, что, впрочем, следует и из единственности решения (7 = — 0 линейного уравнения (5.55), удовлетворяющего условию (7(, = О. Итак, прн интегрировании уравнения Р (х, у, », р, д) = 0 с начальными условиями хо — — хо(з), уо — †(в), хо = да(з) по л[етоду Коши надо из уравнений Р (хо (а)* Уо (л) хо (з) Ра (л) то (з)) = 0 и Ра(з) хо(з)+ [)о(з) Уо(з) — ао(з) = О определить функции ра — — ро(з) и йа — — (го(з) и затем интегрировать систему уравнений дх Лу д» др да с начальными условиями: при 1 = 0 х = хо (з) У = Уа (з) х = ла (з) Р = Ро (з) 4[ = Чо (з) Три функции х=х((, з), у=у(Г, з), г =-»(1, з) из решения системы (5.50) и дают в параметрическом виде уравнение искомой интегральной поверхности уравнения (5.45).
Все вышеизложенное легко обобщается на нелинейные уравнения в частных произволных с произвольным числом независимых переменных Р(хн хм ..., хо, », рн р, ..., Р„)=0, (5.55) где р,= — ([ =1, 2, ..., и). д» дх, Требуется определить интегральную и-мерную поверхность х = »(хн х,, ..., х„) уравнения (5.56), проходящукьчерез заданную (и — 1)-мерную поверхность. хло=х[о(зл зо ° °" з» [) (1=1,2, ....
и), (5.57) ао = хо (зл зз ° ° " з -[). Временно предположим, что нам известны начальные значения функций Р[а Р[о (ал га ' ' за л) (( 1, 2 и]1 (5'58) 275 НЕЛПНЕЯНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА тогда, интегрируя вспомогательную систему уравнений ихс Р, ихл ие и Х Рсуя с-1 — — л = асс (5 о9' ссрс 'сРл л с начальными условиями (5.57) и (5.58), получим Хс Хс (Г г1 гз' ' ' ' гп — 1)' е=е((, гп г,, ..., гл,), (1=1, 2, ..., и).
Рс=р;(г гс г2 " гл-с). (5.60) (5.61) а — а= чР, р,(Х, — хс). Характеристики вместе с плоскостями (5.61) образуют так называемые хараклсериеисические полосы. При изменении параметров ги г,, ..., гл, получаем (и — 1)-па. рачетрическое семейство характеристик ХС=ХС(Г, ги ..., гл,), Е=я(1, г,, ..., гл,), проходящих через заданную (а — 1)-мерную поверхность (5.57). Покажем, что при определенном выборе функций Рю=рз(гс гз " гл-1) (1=1, 2...„п1 точки.
лежащие на характеристиках семейства (5,60), образуют искомую и-мерную интегральную поверхность. Следовательно, надо будет доказать, что при определенном выборе функций Рсе(г! гз ° " гл-!) !) Р(Х1(С, ги ..., гл,), ..., Х„(С, ги .. °, гл !) е (Г, 21... °, ь'„1), рс(Г, гс, ° ° ° г„с) ° ° ° ° Р„(Г гс ° ° гп-1)) = 0 ие 2)Р,=~ (1=1, 2, ..., и), или, что то же самое, (я= ч;, р,.с(хи 1=! НЕтрудНО ПрОВЕрИтЬ, ЧтО фуиКцня Сч(Х,, Х,..., Хл, г, ри р...
„р ) является первым интегралом системы уравнений (5.59). Действительно, 16 л. в. Вльпсчлья При фиксированных го г,, ..., гл, уравнения (5.60) определяют В ПрОСтраНСтВЕ С КООрдниатаин ХР Х, ..., Хл, Е КРИВЫЕ, НаЗЫВавмые харакгаерисспииалмс, каждой точке которых отнесены еще числа Рс = Р; (Г гп гз, ..., гл,), опРеделающие напРавление некотоРых ПЛОСКОСссй 2т4 вялвивния в частных пгоизводных пеявого пояядкл 1гл. а вдоль интегральных кривых системы (5.59) л' Р(х!' хя' ' ' '' хл' В' Р!' Ря' ' ' '' Рл)= л Я у=! у=! л л й == ~Ы Рлурууу+Рг,~~~ РуРру ,'~я РЛ (Рху+ Рур г) у=! у=! и, следовательно, вдоль интегральных кривых системы (5.59) Г(хн ха, ..., х„, г, рн ря, .... Р„)=с, л-! й Я вЂ” ! — и+ ~~1 — луг) == г р ~ — 'Ж+ г — ' л'г ду дгу У ' ду ~Ы да) Уу' у=! у=! у=! Это тождество зквивалентно следующим: дх 'кт дху дт лй Р! дт (5.62) у=! — — ~„Ру — !=0 (У=1, 2, ..., и — 1).
(5,63) дл кч дх! у=! Справедливость тождества (5.62) становится очевидной, если принять яо внимание, что, в силу системы (5.59), ч дл Г~ дх! дт —— — гя.рура и дт — — Гр! (1=1, 2, ..., и) у=! ( дл дх! вместо — и — мы пишем частные производные, так кзк в систедт дт ме (5,59) все з, предполагались фиксированнымн). где с — постоянная, равная, Р(хнн хаа, ° х а ла Рю Рта ° ° Рла). Для того чтобы фую<ции (5.60) удовлетвьоря.ти уравнению (5.56) вдоль интегральных кривых системы (5.59), надо выбрать начальные значения р, (вп яа, ..., з„!) так, чтобы Р(хую(з!.", 3.,), ", х.а(з!."., з. !), с(зп "., с. !) Р,(зн ..., я„!), ..., Рл(зг, ..., з„,)) =О.
а Остается проверить, что с(з = ~ акр!у)ху или у=! аи нелинииныа кялвнвния пвивото пояядкл 275 Для доказательства тождеств (5.63), справедливых лишь при определенном выборе начальных значений рю(гм ая,,... а„,), обозначим: а У = — — т р — (/= 1, 2, ..., и — 1) дх хт дх! дз) Ла ! да) г=! и, лифференпируя (г, по 1, получим Я о дУ) дга ч-! очх др дх! гд дГ дз) л' я ' д! дзг к~а дт дог ' (5.64) г-о ! о Принимая зо внимание результат дифференпирования тождества (5.62) по з> а а дал ч,'а дахг 'к'а др, ох, дГ доГ а ' гм доГ л'е' да! Ш г=о можно переписать уравнение (5.64) з виде а дУ дрг дх! . -! др; дхг а г=а Воспользовавшись системой (5.59), получим о 1=1 ! ! а и = — '(р! — р и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
