Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эйлера (!707 †17 г.), которого с полным основанием можно считать создателем вариационного исчисления. Вол~шов влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три залачи: Залача о брзхистохроне. В 1696 голу Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската — брахиеплохроне.
В этой задаче требуется опрелелить линию, соединяющую две заланные точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А в точку В в кратчайшее время (рис. Б). 282 вввдвнив Легко видеть. что линией быстрейшего ската не будет прямая, соединяющая точки А и В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точками А и В, так как при лвижении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем кривую, более круто спускающуюся около точки А вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с большей скоростью.
Решение задачи о брахнстохроне было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида (см. стр. 304 — 305). Задача о геодезическ их линиях. Требуется определить линию наименьшей длины, соединвощую две заданные точки на некоторой поверхности е (х, у, г) = О (рнс. В). Такие кратчайшие линии называются геодезическими.
Мы имеем типичную вариационную задачу на так называемый связанный или условный экстремум. Необходимо найти минимум функционала причем функции у(х) н д(х) Рис. В. должны быть подчинены ус- ловию ф(х. у, г) =О. Эта задача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан лишь в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.
Изо не р иметр ическая задача. Требуется найти замкнутую линию заданной длины г, ограничивающую максимальную площадь В. Такой линией, как было известно еще в древней Греции, является окружность. В втой задаче требуется определить экстремум функционала 5 при наличии своеобразного дополнительного условия — длина кривой должна быть постоянна, т.
е. функционал ~-) г чтт4яд а ! сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называются нзопериметрическими. Общие методы решения задач с изопериметрическими условиями были разработаны Л. Эйлером. ВВЕДЕНИЕ Ниже излагаются методы решения различных вариационных задач. причем в основном исследуются на экстремум следующие часто встре- чающиеся в приложениях функционалы: к, ~ Р(х. у(х), у'(х))а~х. к, х, ~ Г(х, у(х). у'(х), ..., уоо(х))дх, о ~ Р(х, у|(х), ..., у„(х), у((х)...., у,(х)) дх.
/ ' да дл ~ ~ Г(х, у, х(х, у),—, — ')их.ду. 'дх' ду,) и в которых функции Г заданы, а функции у (х), у,(х) ... у„(г), г (х, у) являются аргументами функционалов. ГЛАВА 6 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ В 1. Вариация и ее свойства Методы решения вариационных зздач, т. е. задач на исследование функционалов на максимум и минимум, весьма сходны с метолами исследования на максимум и минимум функций.
Поэтому целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций н параллельно ввести аналогичные понятия и доказать сходные теоремы лля функционалов. 2. Приращением илн вариацией Ьу аргумента у(х) функционала о(у(х)] называется разность между двумя функциями Ьу = = у(х) — у,(х). При атом предпо- 2. Приращением Лх аргумента х функции у (х) называется разность между лвумя аначениями этой переменной Лх = х — хп Если х — независимое перемен- 1, Переменная величина з называется функцией переменной величины х, что обозначается так: з = у (х), если каждому значению х из некоторой области изменения х соответствует значение л, т.
е. имеет место соответствие: числу х соответствует число х. Аналогично определяются и функции нескольких переменных. 1. Переменная величина о называется функционалом, зависящим от функции у(х), что обозначается так: о = о (у (х)], если кажлой функции у(х) из некоторого класса функций у (х) соответствует значение о, т. е. имеет место соответствие: функции у(х) соответствует число о. Аналогично определяются и функционалы, зависящие от нескольких функций, и функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. вп влонлцня и вв своиствл иое, то дифференциал х совпа- дает с приращением ах=Ах. лагается, что у(х) меняется произвольно в некотором классе функций.
3. Функционал о]у(х)] называется непрерывным, если малому изменениюу(х) соответствует малое изменение функционала о (у (х)]. 3. Функция у'(х) называется непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции у'(х). Последнее определение нуждается в уточнении и разъяснении, так как сейчас же возникает вопрос, какие изменения функции у(х), являющейся зргументом функционала, называются малыми или, что то же самое, какие кривые у=у(х) н у=у,(х) считаются мало отличающимися или близкими. Можно считать близкими функции у(х) и у,(х) в том случае, если модуль их разности у(х) — у,(х) мал для всех значений х, аля которь|х задаются функции у(х) и у,(х), т. е.
считать близкими кривые, близкие по ординатам. Однако при таком определении близости кривых часто встречающиеся в приложениях функционалы вида о]у(х)] = ] Р(х, у, у') ах к, » (х) — у, (х), у' (х) — у,' (х), у" (х) — у",(х), ..., урн(х) — у]ю(х). В связи с этим приходится ввести следующие определения близости кривых у=у(х) и у=у,(х).
Кривые у = у(х) и у = у, (х) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности у(х) — у,(х) мал. из-за наличия в подынтегральной функции аргумента у' лишь в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответствующих точках, т. е. требовать, чтобы для близких кривых не только модуль разности у(х) — у,(х) был бы мал, но, кроме того, был бы мал и модуль разности у'(х) — у',(х). Иногда же оказывается необходимым считать близкими только те функции, для которых малы модули каждой из разностей: 266 метод в»вн»пни в злд»ч»х в неподвижными гв»нин»ми ]гл. в Кривые у=у(х) и у=у,(х) близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей у (х) — у, (х) и у'(х) — у,'(х) малы.
Кривые у=у(х) и у=у,(х) близки в смысле близоспги й-го порядка, если модули разностей у(х) — у, ]х), у' (х) — у,' (х). у'» (х) — у',» (х) ма гы. На рис. 6.1 иаображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, Рис. 8,2.
Рнс. 6.1. так как ординаты у них близки, а направления касательных не близки. На рис. 6.2 изображены кривые, близкие в смысле близости первого порядка. Из зтнх определения следует, что если кривые близки в смысле близости )г-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка. Теперь мы можем уточнить понятие непрерывности функпнонала.
3'. Функпия у (х) непрерывна при х = х„, если для любого положительного в можно подобрать Ь) (( такое, что ]~(х)— — /(хе)~ к.е при ]х — х ] к,б. 3'. Функ пионал о ]у (х)] непрерывен при ' у = уа(х) в смысле близости к-го порядка, если аля любого положительно~о е можно подобрать Ь > 0 такое, что ] о]у(х)] — о]ур(х)! ] (в Вп вляилция и ее свойства 287 При этом подразумевается, что при х принимает значения, в которых 1 у(х) — УО(х)1 ( б функция г(х) определена.
о( )1 ~ [у'ы(х) -- у!хцх)[с, б, Можно было бы определить понятие расстояния р(уп у,) между кривыми у = у,(х) и у = У (х) (хе ~~~ х: 'х,), и тогда близкими кривыми считать кривые, расстояние между которыми мало. Если считать р(уп уч)= вах [у,(х) — Ут(х)1, к <хкх, т. е. ввести метрику пространства Са (см. стр. 50), то мы приходим к понятию близости нулевого порядка. Если считать р(уп У,)= ».' вак [УФю(х) — у',ю(х)1 |.к,жк сх, (предполагается, что у, и у, ииеют непрерывные производные до порядка )е включительно), то близость кривых понимается в смысле близости й-го порядка. Линейная функция одной переменной имеет вид Примером линейного функционала является к, ((х) =йх, С[у(х)[= [ (р(х)у+о(х)у') йх, где к — постоянная, хк 4.
Линейной функциеи называется функция ((х), удовлетворяющая следующим условиям: ( (сх) = с( (х), гле с — произвольная постоянная, н ((х, + ха) =((х,)+((хя). Прп этом подразумевается, что функция у(х) берется из класса функций, на котором функционал о [у(х)1 определен. 4. Линейным функционалом называется функционал (. [У(х)1, удовлетворяющий следующим условиям: к. [су (х)[ = ек. [У(х)[, где с — произвольная постоянная и с [У,(х) + Ут(х)1 = = к'. [у, (х)1+ й [у, (х)[.
ей3 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ гГЛ. 6 б. Если приращение функцио- нала Ло = о [у (х) + Ьу) — О [у (х)[ Итак, вариация функционала — вто главная, линейная но отношению х Ьу, масть лрирагцения функционала. При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций. Можно лать и лругое, почти эквивалентное, опрелеление лифференциала функции и вариации функционала.
Рассмотрим значение функции 1 (х+аЛх) прн фиксированном х и Лх н изменяющихся значениях параметра и. При и = [ получим приращенное значение функции,((х+ Лх), при а= 0 получим нсхолное зна !ение функции у (х). Нетрудно проверить, что производная от у (х + и Лх) по а прн а= 0 равна лифференциалу функции у'(х) В точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
