Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ЗО2 Уравнение Эйлера приобретает вид — Рз (х. у')=О и, следил лх вательно. имеет первый интеграл. Р ° (х, у')=С,, причем так как полученное уравнение первого порядка Рм (х, у') =С, не содержит у, то уравнение может быть проинтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования, или путем введения полколящим образом выбранного параметра (см.
стр. 69). П р и м е р 8. Функционал к, г(у(х))= / лх ' )М1+уы о (à — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у=у(х) из олной гГз точки в другую, если скорость движения е х, так как если — х, то лг х, лг= — и г= Лз /' )Г1+ у' лх . Первый интеграл уравнения Эйлера х ./ х хр Р, = С, имеет вид у = Сь Это уравнение проще всего инте- х T1+у'з грнруется, если ввести параметр, полагзя у' = 1п й тогда у х=— = — 51П Г С, тг1+ ж С, — 1 или х= С, з1пй где С, = — 1 С, ' лу — = 1п О Лу = гп Г Их = 1п Г С, соз г' лт = С, з1п Г гзг'; л.т интегрируя, получаем у = — С, соз г+ С,, Итак, х= С, з1пй у — Сз — — — С, созс или, исключая й получаем хз + (у — Сз) = Сг — семейство окружностей 2 2 с центрами нз оси ординат, б) Р зависит лишь от у и у'1 Р=Р(у у ). Уравнение Эйлера имеет вид: Рг — Р з у' — Р„блуа=О, так как Рхз — — О.
Если умножить почленно вто уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную — (Р УР ') УРАВНЕНИЕ ВИЛЕРА Действительно, (р у лу') = лгу + !ьу'у у лу' Руу'у лу'у'у у =У (РУ вЂ” РУУ'У РУ'У'У ) Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл г" — у'г" причем так иак вто уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проннтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра. Рис.
6.10. Пример 9. Задача о наименыпей поверхности вращения: определить яривую с заданными граничными точками, от вращения ноторой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рнс. 6.10). Ках известно, площадь поверхности вращения 5[у(х))=йл ~ у )' !+у'~ «х. к, Подынтегральная функция зюгнгнт лишь ог у я у' и, следовательно, первый интеграл уравнгння Эйлера будег иметь еид à — ут,.= С, нлн в данном случае у ! ! + у' — —.— Сг уу [' 1-г у' После упрощений получаем = Сг Проще всего зто уравне.
у ~У!+ у' нне интегрируется подстановкой у' = зЬ !, тогда у = С, сй г, а «х — — —,= ' = С,«й х С!!+Са. «у С, з!гк Г зй г 304 метод влинлиин в злдлчлх с неподвижными гплннплмн !гл, з Итак, искомая поверхнос~ь образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид х С,т+ См у= С,сй!. х — С, Исключая параметр й будем иметь у= С, сй — семейство цепных С, линий. от вращения которых образуются поверхности, называемые катенои- дами. Постоянные С, и Сз определяются из условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точек А н В может существовать одно, дза или ни одного решения).
При мер 10. Задача о брахистохроне (см стр. 28!): определить кривую, соединяющую заданные точки А и В, при движекии по которой материаль- ная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее время (трением н сопротивлением срелы пренебрегаем). Поместим начало координа~ в точку А, ось Ох направим горязонтально, ось Оу — вертикально вниз. Скорость движения материальной точки 6(з — = угу~ у.. откуда находим время, затрачиваемое на перемещение ~очка з'! из положения А(0, О) в полоитенне В(хь у,): м т(у(х)) =- ) лх; у(0) О, у(х,) = уь (' )'!+у" Так как этот функционал также принадлежит к простейшему виду н его подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Эйтлера имеет первый интеграл Р— у'г', = С, или в данном случае У' )г !+у Р'у У у(!+у") 1 рз откуда после упрощений будем иметь = С кли у (1 + у' ) = Ст.
уу О+ у") Введем параметр т, пола|ая у' = с!ет; тогда получим: у =, = С, з1п' т = — (1 — соз 2()! С, , С, 1+ с!як( 2 л'х ду 2С, з!и т соз ! т(т = 2С, з!п'! дт С, (1 — соз 2() дт! у' с!дт х С, (! — ) + Сз = — (2( — з!и 2!) + Сз. з!п 2( т С1 2 ) 2 Следовательно, з параметрической форме уравнение искомой линии имеет вид у = — (1 — соз 21). С, 2 !'.ель преобразовать. параметр подстановкой 2! Г! и принять во внимание, ЕУНКПИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА что Ск = О, тзк как при у = О, х О, то иы получим уравнение семейства ииклоид в обычной форме: С Х = —, (1~ — 51П 11), 1 2 С, т = — (1 — с05 Гс), 2 гле — — радиус катящегося круга, который определяется из условвя про- С, 2 хождения инклонды через точку В(хь у,).
Итак, брахистохроной является никлонда. ф 3. Функционалы вида .~ ~(Х' УИ УЮ ' ' ' Ул' УС' УЗ' ' ' ' ' Ул) 5~Х ))ля получения необходимых условий экстремума функпионала о более общего вида к, о)ун у, ..., у ) = ~ Р(х, уп уя, ..., Угп у,', у,', ..., У„)о(х к, при ааданных граничных знзчениях всех функннй уг(хо) =ую уо(хо) =ую ° " ул(хо) =уло уь (хь) = ун ут (хь) = ущ ° ° ° у» (хь) = ум будем варьировать лишь одну из функции у)(х) (2=1, 2, ..., и), оставляя все остальные функпии неизменными. При этом функционал о [ун уз, ° ° у,) превратится в функционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции, например от у;(х), (Ун У,.
" " У.) = (Уг) рассмотренного в й 2 вида, и, следовательно, функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера à — — Г =О. УГ ЛХ Так как это рассуждение применимо к любой функции у, (1=1, 2, ..., Л), то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка Р— — гч = О (1 = 1, 2, ..., и), 20 Л. Э, Эльсклльц З)6 метод вляилции в злдлчля с неподвижными гэлницлми 1гд. в определяющих, вообще говоря, 2и-параметрическое семейство интегральных кривых в пространстве х, ун уя; ..., у„— семейство экстремалей ланной вариационной задачи.
Если, в частности, функционал зависит лишь от двух функций у(х) и г(х): о(у(х), г(х)1 = ~ Р(х, у, г. у', г')Их; к, у (хо) = уо г (хо) = го у (х1) = у1 г (х1) = го т. е. определяется выбором пространственной кривой у = у(х), г=г(х) (рис. 6.11), то, варьируя только у(х) и фиксируя г(х), Ряс. 6.11.
Р— — Р ° =О г л'х и Р,— — Р, =О. лх П р и и е р !. Найти экстремали функционала л я о(у1х), л(х)1= [у' +л' +2ул)дх, у(О) О, у1 — ~1 1, 12/ о (О) О, (2/ мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости х0г не изменяется, т. е. кривая все .время остается на проектирующем цилиндре г = г(х) (рис.
6.12). Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя г(х), мы варьируем кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре у = у(х). При этом получаем систему двух уравнений Эйлера; $ з1 Функциоиллы Овшего видя Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид у" — х О, л" — у О. Исключая одну из неизвестнык функций, например л, получаем у1к — у = О. Рис. 6.12. Интегрируя зто линейное уравнение с постоянными коэффициентами, будем нметы у= С,ел+ С,е к+С, свах+С, з1пх; х = у"; х = Сгл + Сзе " — С, соз х — С, з1п х.
Используя граничные условия, находим: С~ — О, Се=О, Сз=0, С4=1; следовательно, у = з1п х, л —.— — з1п х. Пример 2. Найти зкстремали функционала е (у (х), х (х)) = / Р (у', л') пх. к, Система уравнений Эйлера имеет вид Р чху" + Ручка" 0; Ртсму" +Рм, х" = О, откуда, считая РтчРРл л — (Рт,л,) Р О, получим: у" = 0 и л" = 0 или у = С,х+ С„х С,х+ С, — семейство прямых линий в пространстве. П р и м е р 3. Найти дйфференциальные урзвнения линий распростра.
пения света в оптически неоднородной среде, в которой скорость распространения света равна о(х, у, х). ЗО8 метод влвнлцнн в злдячлк с нкподвнжнымн гялннцлми !гл. а Согласно принципу Ферми свет распространяется из одной гочки А (хм уе) в другую В (х, у,) по кривой, для которой время Т прохождения света будет наименьшим. Если уравнение искомой кривой у у(х) на = х (х), то ]Т1+ у' + ел „ о(х.
у, х) Система уравнений Эйлера для этого функционала дп ]Г 1+у +х' и' у' ду о нх ]/1 ] г ] 2 До М1+у' +л' Л ' О дх ся йх ]~ 1 ],2 ],Я и будет системой, определяющей линип распространенна света. ф 4. Функционалы, зависяпгне от производных более высокого порядка Исследуем на эистремум функционал к, п]у(х)]= ~ г" (х, у(х), у'(х), ..., Уон(х))г(х, х„ где функцию Г будем считать лчффсренцнруемой и+2 раза но всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия имеют вид У(ха)=уе У (хэ)=Ус ° ° эи" '(хе)=У1з" "' у(х1) = у1 у (х,) = у1 ° ° уы ~(х1) = у1," т. е.
в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее,производных до порядка и — 1 включительно. Предположим, что экстремум достигается на кривой у = у(х), дифференцируемой 2и раз, и пусть у = у(х) — уравнение некоторой кривой сравнения, также днфференцируемой 2н раз. Рассмотрим однопараметрическое семейство функций у(х, а)=у(х)+а]у(х) — у(х)] или у(х, а)=у(х)+абу. При а=О у(х, и)=у(х), при а=1 у(х, а)=у(х). Если рассматривать значение функционала о]у(х)] только на кривых семей.
ства у = у (х, а), то функционал превратится в функцию параметра а. достигающую экстремума ' при а = О; следовательно, л' — о]у(х, а)]] е = О. Эта производная в соответствии с й 1 !е а-е 309 ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ $ и называется вариацией функционцла о и обозначается Ьи: Ьо= — „~ Р(х, у(х, а), у'(х, а), .... уон(х, а))йх йа и к„ а=а к, = / (Рх бу + Р, бу' + Р„, бух+ ... + Р,,~м бу") а'х. к, Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз: к( »1 Рх ЬУ' дх = ]Рт ЬУ]»' — ~ — Рх ЬУ йх, третье слагаемое — два раза: к, к, Р, бу" йх = (Р; Ьу']»' — ~ — Р„бу| + / —, Рх Ьу лх, к„ »~ и т. д., последнее слагаемое — и раз: к, Р Робу» ах=(Р „:Ьу'"-"~»' — — Р,бу~"'-и + ..
» х, .г» 4О Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при х = ха и при х = х, вариации Ьу = Ьу' = Ьу" = ... =Ьуы и= О, окончательно получим к, й4 йл Ьо = / (Рх — — Р„+ —, Рх + ... + ( — 1)" — „Р ~»41 бу пх. Так как на кривой, реализующей зкстремум, имеем х, й4 ~л ЬО= ~(Р,— — „Р, + — „, Р;+ ... +( — 1)' и л Р...,~ЬУй =О х, при произвольном выборе функции Ьу и так как первый множитель под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же кривой у=у(х), то в силу основной леммы первый множитель тождественно равен нулю: й й4 ! ' — — Р, ° + —, Рх.+ "° +( — 1)" йхл Р,~я~в = ()* з)О мнтод влпилции в задачах с ннподвижными голницлми 1гл.а Итак, функция у=у(х), реализующая экстремум функционала о [у (х)] = ~ Р (х, у, у', у", °...
уг "1) с(х, «а должна быть решением уравнения и йэ йл Р'т — — Р; + — Р', + ... +( — 1) — ~ 1м Ю. и'х их« йхл т«в Это дифференциальное уравнение порядка 2п носит название уравнения Эйлера — Пуассона, а его интегральные кривые называ|отся экстрелгалями рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2а произвольных постоянных, которые иогут быть, вообще говоря, определены из 2и граничных условий; у(хо) =ус у (хо) = уо " у'" '(хо) = "" у (х,) =- уп у' (х,) .= у,', ..., у<"-И (х,) = у[л- и. П р н и е р 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
