Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 53
Текст из файла (страница 53)
достигается максимальное или минимальное значение о по сравнению со значениями о на всех близких допустимых кривых, среди которых находятся как кривые, имеющие общие граничные точки с кривой С, реализующей экстре- мум, так и кривые, у которых граничные точки не совпадают с гра- ничными точками кривой С, то тогда подавно на кривой С дости- гается экстремум по отношению к более узкому классу близких кривых, имеющих общие грзничиые точки с кривой С. Слеловательно, на кривой С должны удовлетворяться необходи- мые условия экстремума задачи с неполвижными,граничными точками, н.
в частности, кривая С должна быть интегральной кривой системы уравнений Эйлера. Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки А(хз, уз, гз), которую мы считаем нецолвижной, можно, вообще говоря, исключить две произвольные постоянные. Для определения двух других произвольных постоянных необхо- димо иметь еще два уравнения, которые будут получены из условия бо=О, причем при вычислении вариации мы уже будем считать, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера, так как только на них может достигаться экстремум. При этом функционал о превращается в функцию гр(хо уи г,) координат хн у,, г, точки В(х,, у,, г,), и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции ").
ч) Функция Ф буде~ однозначной, если экстремали пучка с центром з точке А ие пересекаютса, так как тогда точка В (хи уп г1) однозначно пределяет экстремалы злдлчл с подвижными ГРАяипАми Вычисление вариации о может быть проведено совершенно так же, как на стр.
328 — 331: х,+Ех, Ьо ~ Р[х, у+Ьу. г+Ьг, у +Ьу, г +ба)ИХ— — ~ Р(х, у, г. у', г')дх= Ь х,+ах, Р (х, у + Ьу, г + Ьг. у'+ Ьу', г' + Ьг') с~х + х,. + [ [Р[х, у+ду, г+Ьг, у'+Ьу', г'+Ьг')— — Р(х, у, г, у', г')[сух. Применим теорему о среднем знзченин к первому интегралу и вос- пользуемся непрерывностью функции Р, а во втором интеграле выделим главную линейную часть с помощью формулы Тейлора.
После этих преобразований получим х, Ьо=Р[х дх,+ ~ [РуЬу+Р,бг+Р бу'+Р;бг'[Их. х, Интегрируя по частям два послелннх слагаемых, стоящих под знаком интеграла, будем иметь: Ьо=Р[„бх,+[Ру Ьу[, я+[Р, бг[х х+ х, + ~ ЦР— — Р;)бу+(Р,— — „" Р;1бг'1» . х, Так как значения о вычисляются лишь на экстремалях, то Ру — — Ру — О; Р,— — Рх ижО лх ' ' Нх и, следовательно.
Ьо Р [ и Ьх1 + [Ру бу[ + [Р Ьг[ Рассуждая так же, как и на стр. ЗЗО, получим Ьу [ = Ьу,' — у'[х,)бх, н Ьг [ =бг, — г'[х,)бхн и. следовательно. бо=[Р— у'Ру — г'Р;[х бх,+Ру [ бу,+Р;[Х„ЬХ,=О. зйб влуилционныв злдлчи с подвижными гвлницлми ггл. у Если вариации Ьхн Ьу,, Ьг, независимы. то из условия Ьп=О получаем 1Р— у'Ру — х'Р 1 „=О,' Ру 1 =О и Р 1» =О. Если граничная точка В(х,, уп х,) может перемещаться по некоторой кривой у,=ф(х,); г=ф(х ). то Ьу, =ф'(х )Ьх,, в Ьз, = =ф'(х,)бх, и условие Ьп=О или У Ру' — л Р»'1 Ьхг + Ру' ! ЬУ1 + Р»' 1 Ьзг О переходит в условие 1Р+(ф' — у') Ру +(ф' — а')Р'1» „Ьх| =О откуда в силу произвольности Ьх, получим 1Р+ (ф — у ) Ру'+ (ф з ) Р»'1к-к = О Это условие носит название условия трансвврсальности в задаче об исследовании на экстремум функционала к, о= ) Р(х, у, з, у'.
л')а'х. Условие трансверсальности совместно с уравнениями у,=ф(х) г, =ф(х,) дает недостающие уравнения для определения произвольных постоянных з общем решении системы уравнений Эйлера. Если граничная точка В(хп ун г,) может перемешаться по некоторой поверхности х,=ф(х,, у,), то Ьг,=ф„'Ьх,+ф Ьуи причем вариации Ьх, н Ьу, произвольны. Следовательно, условие Ьо =О или, в развернутом виде, 1Р у Ру а Р»'1»=к Ьх1+ Ру' 1»-» Ьу1+ Рк 1»» Ьз, =О преобразуется в условие 1Р— У'Р, — з'Рк +ф„'Р,,1 Ьх, +1Р + Р,,р'1 Ьу, = О. Отсюда в силу независимости Ьх, и Ьу, получим 1Р— у'Р„, + (ф„' — г')Р,.) =О, 1Р, + Р,,р'1 =О.
Эти два условия вместе с уравнением з,=ф(хи у,), вообще говоря, лают возможность опрелелить две произвольные постоянные а общем решении системы уравнений Эйлера. Если подвижной является граничная точка А(хр, ур, гр), то тем же методом в этой точке получим совершенно аналогичные условна. ЗАДАЧА 6 ПОД8ИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Если рассмотреть функционал к, о= ~ Г (х. ун у,, ....
у„, у,', у,', .... у„')г(х. к~ то без изменения метода доказательства получим, что в случае подвижной точки В(хн уц, уш, ..., у„,) в этой точке Р— ~ У,'Е' Ьх, + ~~.", Рк, ЬУП вЂ” — О. Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала о= ~ А(х, у, к) У 1+у" +к" ех, если к, ф(хи у~). Условия трансверсальиостн (г' — У Гг +(н — )Рк,) =О и (Г +Г,,фД О в данном случае имеют вид 1+ Ю г = О и у + ф к О при х = х| или — — = — при х = хь т. е. являются условием параллельности вектора %„ Чт — 1 касательной г'(1, у', к') к искомой зкстреиали в точке (хи уь кП и вектора нормали Аг(~р, р, — 1) к поверкности к= ф(х, у) в той же точке.
Следовательно, условие трансверсальностн становится в В данном случае условием ортогональности знстремали к поверхности л = е(х, у). Пример 2. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностями к= ф(х, у) и к = ф(х, у). Иначе говоря, найти экстремум интеграла к, ~ 37 1+ у' +к' лх нри условии, что коорди- к, наты одной из граничныл гочек (хм у,, кь) удовлетворяют уравнению ль ф(х, ур), а координаты другой граничной точки (х, уь л,) удовлетворяю~ уравнению к, ф (хь у~), Так как подынтегральная функция занисит лишь от у' и к', то зкстремалями являются прямые линии (см. пример 2,стр. 307) Так как функционаа к, У'1+ уз+ за Нх является частным случаем рассмотренного в преды- к, душем примере функционала ~ А(х, у, к) )/1+у' +г" ех, то условия 668 влвнлннонныв злдлчн с подвижными гплннцлмн ~гл.
т трансверсальностн как в точке (ха, у„г,), так и в точке (хь уь г,) переходят в условия ортогоиальности. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на прямых, ортогональных как к поверхности г= ф(х, у) в точке (хм ум гь), так и к поверхности г = ф(х, у) в точке (хь уь «,) (рис. 7.6). Йример 3. Исследовать на экстремум функционал г, о ~ ~ (у' + г' + 2уг) Кх, причем у (0) =0; г (0) =О, а точка (х,лун г,) может перемещаться по плоскости х=хе Система уравнений Эйлера имеет вид г" — у = 0; у — г = О, откуда уж — у = 0; у = С, ей х+ С,зй х+ С,сов х+ +С„з~пх, г= у"; г= С, си«+ Сваях — С,созх — С, з1йх. Йз условий у (0) = 0 и г (0) = 0 получаем; С1 + Ст = 0 н С, — Ст = О, откуда С1 = Сь О.
Условие в подвижной граничной точке (Р— у Рт — г Гг ) Ь«1+Рт ~ Ьу1+Р~ ~ Ь«1 = 0 переходит з условия Ру ~ 0 и Рг ! 0 так как Ьх, =О, а Ьу, и Ьг, произвольны. В рассматриваемом примере Р„= 2у', Рг = 2«', следовательно у' (х,) = 0 и «'(х,) = 0 С,спх,(-С,созх,=О н Сгсвх,—.С,созх,=О. Если созх, ныл, то С,= С,=О н экстремум может достигаться лишь на и прямой у=О; «=0. Если же созх, О, т. е. х,= — +лп, где и — целое 2 чнсло,то С, О, С,— произвольная постоянная, у= С„з~пх, г= — С,мпх. Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом С, функционал о = О. В 3.
Экстремали с угловыми точками До сик пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция у=у(х) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее требование является неестественным, более того, в некоторых классах вариациоиных задач решение, как правило, достигается на экстремаляк, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат, например, аадачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением соответствующих задач на отражение и преломление света. Задача об отражении экстре малей. Найти кривую, реа- «1 лизуюшую экстремумфункционала о= ~ Р(х.у.у')Их н проходящую ю через заданные точки А(х, уе) и В(хт, уа), причем кривая должна зкстякмлли с кгловымн точклмн попасть в точку В лишь после отражения от заданной линии у = ~р(х) (рис.
7.7). Естественно считать, что в точке отражения С(хп у,), может быть угломапточка искомой экстремали и, следовательно, в этой точке левая произволная у'(х, — О) и правая производная у'(х, + О), вообще говоря, различны. Поэтому удобнее функционал о(у(х)) предста- Л(х,у,! . У У(х! вить в виде Х, сФ уг! о(у(х)) = ~ Р(х, у, у')г(х+ к л и + ~ Р (х, у, у')с(х, ч причем на каждом из интервалов хе ~(х (х, и х, ~(х ~(хе производная у'(х) предполагается непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше результатами. Основное необходимое условие экстремума Ьо = 0 принимает вид к, к, бр=д 1 Р(х, у, у')лх-)-д ~ Р(х, у, у')Их=О. к, о Так как точка (хп у,) может перемещаться по кривой у=ф(х), то к, ю при вычислении вариаций б ~ Р(х, у, у')с(х и д ~ Р(х, у, у')Их к, ю мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точкой, движущейся по заданной кривой, и можем использовать результаты ! (стр.
327). Очевилно, что кривые АС и СВ являются экстремалями. Лействительно, на этик участках у = у(х) является решением уравнения Эйлера, так как если считать одну из этих кривых уже найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к пало- к, ю .« .р. у фу. ° ° ° ! г ш ~. ° ! г ~ ~ ° с закрепленными'граничными точками. Поэтому, вычисляя вариацию функционала, булем уже считать, что функционал рассматривается лишь на экстремаляк, имеющих угловую точку С. Тогда я, Ь ~ Р (х, у, у') с(х = (Р -)- (гр' — у') Рт )„„е Ьх, ю 340 влгнлцнонныа злдлчн с подвижными гплннцлмн ~гл. т Ь~ Р(х, у, у')г(х= — [Р+(ф' — у')Рт [ Ьх, к, (см. стр. 331), где знаки х=х, — 0 и х=х,+О означают, что берется предельное значение величины, стоящей в скобках пр ~ приближении к точке х, в первом случае слева (со стороны значений х, меньших х,) и во втором случае справа (со стороны значений х, больших х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
