Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В этом последнем случае возникает новая ситуация: на частях границы области й возможны лишь односторонние вариации кривой С, так как внутрь области допустимые кривые заходить не могут. Части кривой С, лежащие вне границы области й, должны по-прежнему быть зкстремалями, так как если варьировать кривую С лишь на таком, допускающем двусторонние вариации. участке, Рис. 7.14. то наличие области й на вариации у влиять не будет, и выводы главы 6 остаются справедливыми.
Таким образом, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь на кривых, состоящих из дуг экстремален и частей границы области й. а следовательно, для построения искомой кривой, реализующей экстремум, надо получить условия в точках перехода экстремали на границу области й, дающие возможность определить эти точки. В случае, изображенном на рис. 7.16, необходимо получить условия в точках М, 7А4. Р и Я.
Получим, например. условие в точке М. Совершенно аналогично можно было бы получить условия и в других точках перехода экстремали на границу, области При вычислении вариации бп функционала к, к к, о= 1 г" (х, у, у')г)х = ~ х Ах, у, у') 41х+ ~ Г(х, у, у') с4х «ц к« к мы можем считать, что вариация вызывается лишь смещением точки Мгх, у) на кривой Ф1х. у)=0. т. е. можно считать, что при всяком положении точки М на крш;ой Ф1х, у)=0 дуга АМ является уже экстремалью, а участок М111РЯВ не варьируется.
ааа ВАРиАционные зАдАчи с подвижными гРАницлми игл. 7 Функционал о, = ~ Р (х, у, у') ах к, имеет подвижную граничную точку, перемещающуюся по границе области )с, уравнение которой Ф(х, у) = О, илн в разрешенном в окрестности точки Я относительно у виде: у=ф(х). Следовательно, согласно б 1 (стр. 331) +(ф у ) Г')х=к х, Функционал от= ~ Г(х, у, у')ох также имеет подвижную гра- х. ннчную точку (х, у), однако в окрестности этой точки кривая, на которой может достигаться экстремум у =ф(х), не варьируется. Рнс.
7.15. Следовательно, изменение функционала о, при перемещении точки (х, у) в положение (х+бх, у+бу) сводится лишь к изменению нижнего предела интегрирования и к, к, 7аие = ~ к (х, у, у') г(х — ~ к (х, у, у') Нх = х Ех к ххах хеах — с (х, у, у')~(х= — ~ Р(х, гр(х), ф'(х1) с(х, так как на интервале (х, х+бх) у=ф(х). Применяя теорему о среднем значении и пользуясь непрерывностью функции к, получим Ло,= — Р(х, ф(х), ф'(х))( -бх+3 бх.
где Р-+О при бх-+О. 349 элллчи к ГлАВе 7 Следовательно, Ьоа = — Р (х. ф (х), гр'(х))[, †, Ьх, до =до, +Ьот=[Р (х, у, у')+ +Ор' — у')Р„(х, у, у')[ -Ьх — Р(х, у, гр)[„=удх= = [Р(х, у, у') — Р(х, у, <р') — (у' — гр') Рт (х, у, у')] -Ьх, так как у (х) = ф (х). Необходимое условие экстремума Ьо= О ввиду произвольности Ьх принимает вид [Р(х, у, у') — Р(х, у, гр') — (у' — ~р')Р,:(х, у, у')[ „-=О, Применяя теорему о срелнсм аначении, получим (у — Ч') [Р ° (., у, о) — Р (х, у, у')[„2=0, где г) — значение, промежуточное между гр'(х) и у'(х).
Снова применяя теорему о среднем значении, будем иметь (у' — ~р')(о — у') Р;;(х, у, о)[„2=0, где д — значеняе, промежуточное между т и у' (х). Предположим, 'что Р т (х, у, д) + О. Это предположение является естественным для многих вариационнык задач (см.
главу 8). В этом случае условие в точке М имеет вид у'(х) = гр'(х) (д = у' только при у'(х) = <р'(х), так как д — значение, промежуточное между у'(х) н гр'(х)), Следовательно, в точке М экстремаль АМ и граничная кривая МИ имеют общую касательную (левую касательную для кривой у=у(х), правую — для кривой у=гр(х)). Итак. акстрелиль касается граница области )с е точке М. Задачи к главе 7 1.
Г1айти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала о[У(х)[= ~ (у 1р(у +1)'Лх; у(0) =0; у(4) =2. е л Существуют лн решения с угловыми точками в задаче об зкстремуме функционала к, о[у(х)[ = ~ (ум+ 2ху — у') Лх; у(х,) = уц, 'у(х1) ун 350 влрилционнын злдлчи с подвижными гилницлми 1гл. т 3. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала к, о[у(х)) = ~ (у" — бу'") их; у(0) =О; у(х,) =у,. о 4, Найти условие трансверсальности для функционала о[У(хЦ= / А(х. У)еюыст [Г1+ У" Лх, А(х, У) чьО.
г, б. Пользуясь основным необходимым условием экстремума Оо = О, найти функцию, на Которой может достигаться экстремум функционала о[у(х)) = ~ (у" — 2ху) ох; у(0) =у'(0) =0; о 1 у(1)= —; у'(1) — не задано. 120 ' б, Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала ю о[у(х)) = / у'~ йх; у(0) =0; у(10) =О. о при условии, что допустимые кривые не могут прохолить внутри круга, огра- ниченного окружностью (х — 5)'+ у' = 9. 7. Найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала л 4 о [у (х)) = ~ (уэ — у") Нх; у (О) = О. а если другая граничная точка может скользить по прямой х= —.
4' 8. Пользуясь лишь основным необходимым условием Ьп = О, найти «ривую. на которой может достигаться акстремум функционала о[у(х)[= / лх; у(0)=0. 1 у о если вторая грюпшная точка (х,. у,) может перемещаться по окружности (х — 9)'+ у'= 9. ГЛАВА 8 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ф 1. Поле экстремалей Если на плоскости (х, у) через каждую точку некоторой области Р проходит одна и только одна кривая семейства у = у(х. С), то говорят, что это семейство кривых в области Р обрззует поле.
или. точнее, собственное поле. Угловой коэффициент касательной р(х, у) к кривой семейства у =-у(х, С), проходяцгей через точку (х, у), называется ноклонол поля в точке (х. у). Например, внутри круга х' + у' ч.. ' параллельные прямые у = х + С образуют поле (рис.
8.1), причем наклон этого поля р (х. у) = 1. Напротив, семейство парабол у=(х — а)з — 1 (рис. 8.2) внутри того же круга поля не образует. так как внутри этого круга параболы рассматриваемого семейст- ва пересекаются. Рис. 8.1. Если все кривые семейства у = у(х, С) проходят через некоторую точку (х„, ув), т. е. образуют пучок кривых, то они завеломо не образуют 'собственного поля в области Р, если центр пучка принадлежит области Р. Однако если кривые пучка покрывают всю область Р и нигде не пересекаются в этой области.
кроме центра пучка, т. е. во всех точках, отличных от центра пучка, требования, налагаемые на поле, выполнены, то говорят, что семейство у = у(х, С) тоже образует поле, но в отличие от собственного поля'в рассматри. заемом случае поле называется центральным (рис. 8.3).
постлтОчиые услОВия экстоемумл 1гл. 3 Например, пучок синусоид у = С з!и х при О ( х ( а, а ( и образует центрзльное поле (рис. 8.4). Тот же пучок синусоид в / / / Рис. 8.2. достаточно малой окрестности отрезка оси абсцисс д ( х ( а, где д > ), а ( и, образует собственное поле (рис.
8.4). Тот же пучок синусоид в окрестности отрезка оси абсцисс О ( х ( аи а, ) и, поля не образует (рис. 8А). Если собственное или центральное поле образовано семейством зкстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экслгремалей. Понятие поля почти без изменения переносится н на случай пространства лю. бого числа измерений. Семейство у = = у, (х. Сг ..., С ) (1 = 1,2, ..., и) образует поле в области В пространства х, уь ..., у„, если через каждую точку области // проходит однз и только одна кривая семейства у = у,. (х, С,..., С„).
Функциями наклона поля р,(х, у, у, ..., у ) (1 = 1, 2, ..., л) называют частные производные от функций у (х, С, С, ..., С ) Г т' '"" и/ по х, вычисленные в точке (х, уи 'у,, .... у„); следовательно. для получения д р (х, уг у, ..., у„) надо взять — у (х. Сг С, .... С ) и заменить С, С,, ..., С„ик выражениями через координзты х, уг у,, ую Аналогично определяется и центральное поле. поле экстэемллеи 353 Пусть кривая у = у (х) является экстремалью вариационной задачи об экстремуме простейшего функционала к, (у(х)) = ) В(х, у, у')с(х, к, причем граничные точки А(хз, уз) и В(х„уг) закреплены. Говорят, что экстремаль у=у(х) включена в поле экстремалей, если найдено Рис. 8А, семейство экстремалей у=у(х, С), образующее поле, содержащее при некотором значении С = Сз экстремаль у = у(х), причем эта экстремаль у=у(х) не лежит на границе области г), в которой Рнс.
8Л. Рнс. 8.6. семейство у = у(х, С) образует поле (рис. 8.6). Если пучок экстремалей с центром в точке А (хз, уз) в окрестности экстремали у=у(х), проходящей через ту же точку, образует поле, то тем самым найдено центральное поле, включающее данную экстремаль ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 1гл. з у =у(х). За параметр семейства в данном случае можно взять угловои коэффициент касательной к кривым пучка в точке А(хе, уе) (рис. 8.6).
Пример 1. Дар функционал ч (у' — у') 4х; а требуется включить дугу экстремалн у = О, соединяющую точки (О, 0) и (л, 0), где 0 < а < я з центральное поле зкстремалей. Общее решение уравнения Эйлера у" +у =0 (см. стр. 298, пример 1) имеет внд у= С, соя х+ С, а1п х. Рис. 8.7. Из условия прохождения зкстремалей через точку (О, 0) получаем С, =О, у = С, мил, причем кривые этого пучка на отрезке 0 <л < а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
