Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 58
Текст из файла (страница 58)
у, р, у'): Е(х, у, р, у') = —, — — + — (у' — р) = У У 2У У(У вЂ” Р) (2У'+ Р) У Рт ' Р У Р Так как множитель (2у'+ р) не сохраняет знака при прпизвольных у'. то на основании замечания на стр. 360 можно утверждать. что сильный минимум на дуге Е, не достигается. Изложенная теория без значительных изменений переносится и на функциовалы вида х, (У1' У2''''' Ул) ~ тх У1 У2 ''' Ул Ун Ут ''' Ул)лт х, У1(хо) =.Уго у1(х1) = ум ((=1, 2,..., л).
Функция Е принимает вид Е = Р (х Ув Уз ° ° ° Ул Уг Уз..., У„) — Р (х, У1, Уз,..., У„, рн р ... „ Рл)— — Х (У1-Р1) Р,,(х, У, У, "., У„. Рг Р,, ..., Р„), г=1 где р — функции наклонз полн, на которое наложены некоторые ограничеиия (при этих огрзничениях поле называется специальным). Условие Лежандра Р ,, Р О заменяется следующими условнямгс Р Р, ... Р, «1«1 «1«2 «1«л Р,, Р 1«1 1«2 Р, «2«1 «2«2 Р,, Р,,...Р, «2«1 "2«2 «2Ул )~ О. Р ° ° ~0, «1У1 >О, "л"1 "л"2 «л"л На дуге АВ одной из иих (Е,) лежит гочка А', сопряженная с точкой А, на другой же (Е,) сопряженной точки нет, и следовательно, на дуге Ез условие Якоби выполнено и на втой луге параболы может реализоваться экстремум, В окрестности исследуемой зкстремали Р,, = †, > 0 для пробу У У'У' невольных у', однако на атом основании нельзя утверждать, что на дуге Е, реализуется сильный минимуы, так как функция Р(х.
у, у') = —, не может У У быть представлена в ниле Фш минкина е(, л.ж ач 8ВТ ((остаточные условия слабого минимума как в простейшей задаче, так и в более сложных, можно получить иным методом, основанным из изучении знака второй вариации. По формуле Тейлора преобразуем приращение функционала в простей- шей задаче к следующему виду: «, бо —.— ~ [Р(х, у+ Ьу, у'+ Ьу) — Р(х, у, у')] ох « «, «, = / (Р ЬУ + Р„, ЬУ ) 4х + — / [Рт ЬУ' + 2Р „ЬУ ЬУ'+ Р .„Ьт ~! ~Ух -[- )З, «о где Л имеет порядок выше второго относительно Ьу и Ьу'.
При исследовании на слабый экстреиум Ьу и Ьу' достаточно малы, и в этом случае знак при- ращения Ьв определяется знаком члена, стоящего в правой чзсти и содер- жащего наиболее низкие степени Ьу и Ьу'. На экстремали первая вариация «, '[ (Р Ьу+Р„, Ьу') дх 0 «, и, следовательно, знак приращения Ьш вообще говоря. совпадает со знаком второй вариации Ь'о= ~ (РтгЬУ'+2Ргг, ЬУЬУ'+Р „, ЬУ'г)с(х Условие Лежандра в соединении с условием Якоби и являются условиями, обеспечивающиии постеянство знака второй вариации, а вместе с тем н по- стоянство знака приращения Ье в задаче о слабом экстремуме.
«(ействительно. рассмотрим интеграл А ~ [ю'(х) Ьу«+2ы(х) бубу']Лх, (8.2) «, где в(х) — произвольная дифференцируемая функция. Этот интеграл равен нулю: «, «~ [ы'(х) Ьут+2ы(х) Ьу Ьу'] Их ~ «((ыбу') Фх = [а(х) Ьу«[,.'= 0 «, «, (так иак Ьу],=бу] =0). Прибавляя интеграл (8.2) ко второй вариации, получим «, "=УКР„+-)Ьу+ „+-» +,, "|х «е Выбираем функцию е(х) так, чтобы подынтегральная функция, с точ- ностью до множителя. преврзтилась в ~очный квадрат„для чего функ- ция м(х) должна удовлетворять уравнению Р, (Р„„+ ы') — (Р„+ ы)' = О. достаточные половин вкствимкмд (гл.
з При таком выборе функции в втораи вариация принимает вид .т, бто а ( Р„,, (бу'+ Р бу) «х т'т' хе и, следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком Р ... у'т'. Однако такое преобразование возможно лишь з предположении, что дифференциальное уравнение Р,, (в'+Р ) — (Р„,+в)т О имеет на отрезке (ха, х,) дифференцируемое решение в(х). Преобразовав зто уравнение к новым переменным подстановкой и' в — Р ° — Р уу ух ° где и — новая неизвестная функция, получим ( « Р— — Р,)и — — (Р, и') О гт «х тт 1 «х Рт" — уравнение Якоби (см. стр, 356).
Если существует не обращающееся з нуль при х, < х<х, решение етого уравнения, т. е. выполнено условие Якоби, то существует для тех же значений х непрерывное н дифференцируемое решение и в(х) — Р „— Р,,— У'У' и уравнения Р„. (Р +в') — (Р, +в)' =О. Итак, условие Лежандра и условие Якоби гарантируют сохранение знака второй вариации и, следовательно. являются достаточными условиями для слабого минимума (Р„,„, > О) или максимума (Р„,„, < 0). 8. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду Систему и уравнений Эйлера (см. стр. 305) Рт, — — Р ° = 0 (1 = 1, 2...., и) (8.3) можно заменить системой 2п уравнений первого порядка.
Полагая в (8.3) Р = д (й = 1, 2, ..., л), (8.4) т„а получим йу «Р — — (й= 1, 2, ..., и). «х стул (8.5) Ф пэеовэлзовлние тэавненни эилеэа Разрешаем систему уравнений (8.4) относительно у„' (для возмож- ности такого разрешения предположим, что .0(Р, Р,..., Р ° ) Ф 0), ~ ! (У! у2 ул) у =«! (х, )!, !)), (8.б) где юл(х У М=ыа(х У! У2 ° ° Ул О! %2 !Тл) н подставляем (8.6) в (8.8,).,При этом получим систему 2п уравне- ний первого порядка в нормальной форме: лу„ — =ма(х Ул Чл) (8.7) Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают, что в скобках вместо У' подставлены ыл(х, У,, 4!,), С помощью функции Н(х, у,, л,)= ~~'., ы!!)! — (Р) ! 1 система (8.7) может быть записана в каноническом виде: Иу„дН де де„' дл .дН (л = 1, 2, ..., и).
(8.8) лх ду также не содержит х явно и, следовательно, дН ЙН ду дЛ д!7 2! ' !! Заметим, что если функция Р(уп у, ..., Ул, у,', у'...., у„') не зависит явно от х, то система (8.8) имеет первыд интеграл Н= С. Действительно, в этом случае л Н=,Х ыд)! — Л ДОСТАТОЧИЪ|Е УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [гл. з В силу уравнений (8.8) получим — =О, Н=С вдоль внтегральных кривых системы (8.8). Для простейшей задачи этот первый интеграл уже был получен на стр. ЗОЗ.
Пример Е Закон сохранения энергии. Функциа Н = ~~'„ю.и — (Р) 1 для функционала ~(Т вЂ” У) дй Т =- '«~,. (',.+ у',. +,',.), где сохранены обозначения примера ! стр. 320 (Т вЂ” кинетическая энергия системы материальных точек, У вЂ” потенциальная энергия), имеет следующий вид: э Н- Ч', тс(хэс+ Утс+ 'тс) (Т У) Т+ У 1=1 — полная энергия системы. Применим принцип стационарного действия. Если потенциальная энергия У не зависит явно от С, т.
е. система консервас, гиена, то уравнения Эйлера для функционала ~ (Т вЂ” У)иг имеют первый сю интег ал Н .—— С, Т+ У= С. так, полная энергия консервативной системы остается прн движении постоянной. Интегрирование канвнической системы (8.8) равносильно интегрированию дифференциального уравнения в частных производных (8.9) — + Н~х, у„— ) =О, где Уравнение (8.9) называется уравнением Гамильтона — Якоби, Если известно однопараметрическое семейство его решений до о(х, у„а). то известен и первый интеграл — =8 системы (8.8), ди () — произвольная постоянная.
Действительно, д ! до 1 д'о жч дсо дуС дсо ч-1 дэо дН вЂ” ( — ~= — + У,— — '= — + У, —. (ЗИО) их (да ! дхда 2э' ду да дх дхда ссй ду да дсу с'=1 /1 йз! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА 371 Дифференцируя тождество до(х УР а) ~! до(х, уз, а)1 а Уз получим дзо Сз дгт' дзо дх да Л1 до ду, да я=1 (8.11) и, подставляя (8.1!) в (8.10), получим в правой части (8.!О) тожде- ственный нуль.
Итак, откуда Следовательно, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби о = о(х У1 Уз ° ° ° ° У~ ао аз ° ° ° ал) то известно и л первых интегралов системы (8.8): до — (1=1, 2, ..., и). да! Если якобиан системы (8.12) отличен от нуля !д ",1=' то система (8.12) определяет у, как функции остальных аргументов: у,=у,(к, ан аз, ..., а„, бо бз, ..., 8„) (8.13) (!=1, 2, ..., л). (8. 12) Тем самым получено 2л-параметрическое семейство экстремалей. Можно доказать, что (8.13) является общим решением системы уравнений Эйлера, а функции у,(х, ап ..., а„, йп ..., р„) и ду, являются общим решением системы (8.8). Пример. Найти уравнение геодезических линий на поверхности, нз которой элемент дливы кривой имеет внд лз' (р, (х)+<рз(у)) (дхз+Фуз), (гл.
а ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА т. е, найти зкстремали функционала х, 8,~ ~У[ф, (х)+ф (у)) (1+у'а) дх. Так как и- г" '"'+""~ -г~д*~~.,у>.гаваи ['1+ у" у аУ ',а ' Н'+да=ф~(х)+фа(У), '„1+ у то уравнение Гамильтона — Якоби имеет внд ( — ) +( — ) =ф, (х)+фа(у) ( — ) — фа (х) = фа(у) — ( — ) . Для уравнений такого типа (уравнений с разделенными переменными) Е,(х, д') =(В,(у, ф) или легко находится первый интеграл. Полагая ( ) д» 1а ( д»1 — ) — фа(х) =а н фа(у) — ( — )=а дх [ 'тду) нлн — =) ф, (х)+а д» дх д» вЂ” )' фа(у) — а, ду наладим » = ( )гфа(х) + а дх + ~ )' фа(у) — а ду, д» следовательно, уравнение геодезическнк линий — р в данном случае да имеет вид ах )' ду )/ф, (х)+а ( р'фа(у) — а . 3 а и е ч а н и е.
К уравнению Гамильтона — Якоби можно прийти и из иных соображений. Рассмотрим центральное поле зкстремалей с центром в точке А(хз, уз) для функционала х, о [у(х)[=~ Р(х, у, у')а(х. до ду Исключая о, получим до / до 1 — = — Ч~]х, у, — (. дх 1, ' ' ду (' Итак, функция о(х, у) является решением уравнения Рамиль- тона — Якоби. Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для функционала ~ Р[х, ун у,, ..., у,, у,', у,', ..., у,'(т(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
