Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Изопериметрические задачи метут быть сведены к залачам на условный экстремум, рассмотренным в предыдущем параграфе, путем введения новых неизвестных функций. Обозначим ~Г,бах=я,(х) (1=1, 2... „лг), к, откуда х,(хз)=0 и из условия ~ Р,йх=1, имеем г,(х,)=1,. м Дифференцируя л, по х, будем иметь л,'(х) =Рг(х, ун у, ..., у„, у,', у,'... „у„') (1=1,2, ..., и). Тем самым интегральные, изопериметрические связи ~ г", лх = 1, ко ваменились связями дифференциальными: я,'=~,(х ун ум "" у„у1 у,' ".»„') (1=1, 2, ..., лг) и, следовательно, задача свелась к залаче, рассмотренной в преды.
душем параграфе. Применяя правило множителей, можно вместо исследования на к, условный экстремум функционала ю= ~ г'йх при наличии связей аз) изолввимвтгическив злдлчи 387 Р я' р (1 — 1, 2, ..., гв) исследовать на безусловный экстремум функционал к, и о*= ~ Р-1- ) Х,(»)(Р~ — я',) и»= ~ Р и» ! ! к, где Р*=Р+ Х Х,(х) (Р, — я,). !=1 Уравнения Эйлера лля функционала о* имеют вид Р .— — Р„'.=О ") л» т (у=1, 2, ..., л), (1=1, 2, ..., !в), или и и Рг + ~~~~ Л!Р! — — ~Р ' + г ХсР! ' ~ О 4х~ г;. Ла ! ! Г=! Из последних л! уравнений получаем, что все Х! постоянны, а первые и уравнений совпалают с уравнениями Эйлера для функционала Р,с(х=(! (1=1, 2, .... лг) надо составить вспомогательный к, функционал где Х! — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера.
Таким образом, мы получаем следуюпгее правило: для получения основного иеобколимого условия в изопернметрической задаче о иакох, ждении экстремума функционала о= ~ Рс(х прн наличии связей 388 ВАРиАциОнные 3АдАчи ИА услОВный экстРемум 1гл, о Произвольные постоянные С,, Со, ..., Со„в общем решении системы УРавиений ЭйлеРа и постоанные Х,, Ая, ..., Х опРеделаютса из граничных условий ут(хо)=у)о, у)(х,)=уд (1=1, 2, ..., и) и из изопериметрических условий Р, сКх = 1з (1 = 1, 2... „гл). Система уравнений Эйлера для функционала о** не изменяется, если о** умножить на некоторый постоянный множитель )ко и, следовательно, представить его в виде 1коо = ) ~,~ )о.к) Вх к, о=о где введены обозначения Го = к', р) — †),иго, у = 1, ..., лг. Теперь все функции Р, входят симметрично, поэтому экстремалн в исходной вариационной задаче и в задаче на нахождение экстремума функ- к, у(х) ционала ~ гог(х при наличии изо- к, периметрических условий к, Р' их =1 (1=0, 1.
2, ... ..., л — 1, э+1..... лг) совпадают при любом выборе э (г = О, !,..., и). Рис. 9.1. Это свойство носит название принципа азаимнослчи. Например, задача о максимуме площади, ограниченной замкнутой кривой заданной длины, и задача о минимуме д.чины замкнутой кривой, огра. ничнвающей заданную площадь, взаимны и имеют общие экстремали. Пример 1. Найти кривую у= у(х) заданной длины 1, для которой площадь 5 изображенной иа рис. 9.1 криволинейной трапеции САВО достигает максимума.
Исследуем иа экстремум функционал к~ В= ~ у их. у(хо) = уь к~ иэопеэимитпическии элцлчи % э1 у(хэ) = уо при нэопериметрическом условии ~ У'Г+у'~лх — Л Составляем сначала вспомогательный функционал «~ Я'* ~ (у+Л у«1+у'т) лх. «О Так как подынтегральная функция не содержит х, то уравнение Эйлера для 5'* имеет первый интеграл Р— у'Р, = С или, в данном случае, У+ Л ~Г1-(- У э -, = Си Лу" 1+ откуда Вводим параметр д ползгая у' = эц й тогда получим у — С~ — — — Л соа т; кривую АВ заданной длины й ограничивающую у = У(х) максимальную площадь, заштрилованную Пример 2. Найти вместе с зэданной кривой на рис. 9.2.
Требуется определить экстремум функционала «, 5= ~ (у — у(х))ях; «а у (хэ) = уэ у (х~) = у~ при наличии условии и'у иу лапглт — = фй откуда их= — = ох фг = ЛсозтсМ; х Лз!От+Се Итак, уравнение экстремален в параметрической форме имеет вид: х — Сэ — — Л з1пй т — С~ = — Лсоэт, или, исключая й получим (х — С,)э+(у — С,)'= Лэ — семейство окружно- стей. Постоянные Сь С, и Л определяются нз условий «, у (х.) = у, у (х~) = у н ~ Ч1 -'т- у" Л = г «О 390 вдвилционнып эдддчи нд ксловиыи экстгимкм (гл. з Составляем вспомогательный функционал «, Б" = ~ (у — у(х)+Х 'т1Г+у") дх Уравнение Эйлера для этого функционала не отличается от уравнения Эйлера в предыдущей задаче, и следовательно, в данной задаче максимум может достигаться лишь на дугах окружностей. При мер 3.
Найти форму абсолютно гибкого, нерастяжимого однородного каната длиной 1, подвешенного в точках А и В (рис. 9.3). У Рис. 9.2. Рис. 9.3. Так как в положении равновесия центр тяжести должен занимать наиболее низкое положение, то задача сводится к нахождению минимума статического момента Р относительно осн Ох, которая предполагается направлен«, ной горизонтально. Исследуем на экстремум функционал Р = ~ у («1+ у'«лх «О «, при условии ~ У 1+ у' лх 1. Состзвляем вспомогательный функционал «Ф 1""- ) (у+д) лх, для которого уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р— у Р, - С, или, в данном случае, +)) ~2 (У+д) У'Г+У'з — (У+')У =Сь 1+у откуда у+А С, у 1+у'з. Вводим параметр, полагая у' зн 1.
откуда 1+У' сйтиУ+Х С,сЫ; — ' зй1)лх* — С,кг)х С(+С„ Фз (у ., ду л» ай 1 изопияимвтяическив зАдАчи х — Сь или, исключая д получим у+А С, св — р,— — семейство цепных % ) линий. Указанное выше правило решения изопернметрическнх задач распространяется и на более сложные функционалы. Упомянем еше об одной задаче на условный экстремум — задаче об оптимальном управлении.
Рассмотрим дифференциальное уравнение — = у'(г, х (1), и (г) ) (9.6) с начальным условием х (Сь) = хв, Кроме неизвестной функции (или вектор-функции) х (1), вто уравнение содержит еше так называемую управляющую фуннцию (или вектор-функцию) и(г). Управляющую функцию и(~) надо выбрать так, чтобы заданный функционал о = ~ р(х(г), и(г)) гу достигал экстремума. Функция и(С), дающая решение поставленной задачи, называется оптимальной функцией или оптимальным управлением. Эту задачу можно рассматривать как задачу на условный экстре- мум функционала о с дифференциальными связями (9.6). Однако в практических аадачах оптимальные функции часто лежат на границе множества допустимых управляющих функций (например, если упра- вляющей функцией является включаемая мощность моторов.
то. оче- видно, эта мощность ограничена максимальной мощностью моторов, причем в решениях оптимальных задач нередко приходится включать моторы хотя бы на некоторых участках на полную мощность). Если хье оптимальная функция лежит на границе множества допу- стимых управляющих функций, то изложенная выше теория задач на условный экстремум, предполагавшая возможность двусторонних вариаций, неприменима. Поэтому для решении аадач оптимального регулирования обычно применяются иные методы, разработанные Л. С.
Понтрягиным (см.[8)) и Р. Беллманом (см. (9]). Прим ер. В системе дифференциальных уравнений ах ао — =о, — =и (Š— время), лг ' аг (9.7) описывающей движение точки в плоскости с координатами х, о, определить уиравляюшую функцию и (Е) так, чтобы точка А (х„оь) кереместнлась в точку В(0, О) зв наименьший промежуток времени, врйчем1и~4к1 (так аьх как и — , то и можно считать силой, действующей на точку с единичной счь ' массой). 392 влрилционнын задачи нл ксловныи экстрвмкм (гл.
э управляющая функция и(Г) кусочно непрерывна. Лля упрощения рассуждений предположим, что она имеет не более одной точки разрыва, однако окончательный результат верен н без этого предположения. Рис. 9А. Рис. 9.5. Почти очевидно, что на оптимальных траекториях и = х1, так как при этих значениях ~ — ~ и ~ — ~ достигают наибольших значений и, следова~нг ~ ~,(7 тельно, точка движется с наибольшей скоростью. Полаган в (9,7) и=1, получим Гэ о с+С,. х= — +С,Г+Сэ, 2 или и' 2(х — С), и аналогично при и= — 1; и и= — (+Со х — — + С~(+ Ст, оэ = — 2 (х — С).
2 На рис. 9А и 9.5 изображены эти семействз парабол, причем стрелки указывают направление движения прн возрастании д Если точна А(х,, е,) лежит на проходящих через начало координат дугах парабол — =У= (9.) (рнс. 9.6), то оптимальной траекторией является дуга одной из зтих парабол, соединяющая точку А с точкой В. Если же точка А не лежит на этих параболах, то оптимальной траекторией будет дуга параболы АС, проходящая через точку А, и дуга СВ одной из пара. Рнс 9.6 бол (9.8) (см. рис. 9.6, на котором указаны два возможных положения точек А и С). В этой задаче 'время Т перемещения точки нз положения А в положение В является функционалом, определяемым первым из уравнений (9,7), второе уравнение из (9.7) можно рассматривать как уравнение связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
