Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 59
Текст из файла (страница 59)
к, Задачи к главе 8 Исследовать на зкстремум функционалы: 1. о[у(х)] = ~ (ху'+ у' )дх; у(0) =1; у(2) =О. о а 2. о[у(х)]= ~ (у" +2уу' — 1бу)дх а>0; у(0)=0; у(а) О. о 3. о [у(х)] = ~ у'(1+хту') дх; у( — 1) =1; у(2) =4. — ! 4. о[у(х)]= / у (1+ху')дх; у(1)=З; у(2) б. 5. о[у(х)]= ~ у'(1+хту')ах,' у( — 1)=у(2)=!. -1 4 6. о[у(х)]= (4у' — у' +8у)дх, у(0)= — 1; у1 — [=О. т4/ о 7. о[у(х)]= ( (х'у' +12ут)дх; у(1)=1; у(2) =8:.
задачи к главе в Зуп На зкстремаляк поля функционал о[у(х)] преврашается в функ- цию о(х, у), координат второй граничной точки В(х, у). Как было указано на стр. 370, до — = — О(х, у, а), дх ГЛАВА 9 ВАРИАЦИОННЪ|Е ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 5 1. Связи вида ф(х, у„у„..., у„) =0 Вариацноннымн задачами на условный экстремум называются задачи, в которых требуется найти экстремум функционала о, причем на функции.
от которых зависит функционал о, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал кч о(у!, у, ..., у 1= ~ Р(х, у, у, ..., у, у', у', ..., у') а!х ко при наличии условий ф!(х, ун уз, ..., у„) = 0 (1 = 1, 2..... нм л! < и). Вспомним, как решается аналогичная задача при исследовании на экстремум функции г = /(х!, х,, ..., х„), при наличии связей !р,(хн хз, ..., х„)=0 (1=1, 2, ..., лм т<п). Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы !р,(хн хм ..., х,)=0 (1=1, 2...., нг). уравнения которой мы будем считать независимыми, относительно каких-нибудь т переменных, например относительно хн хз, ..., хм: Х! х! (Хк!!- !' ем+2 ' ' ' Хк)1 хз х! (хк!! ! Хщ+а хк) х„=хм(хм+!, х,з, ..., х„), и подстановки найденных х,, хз, ..., х„з у'(х!, хв ..., х„).
При этом функция 1(х,, хм ..,. х„) становится функцией !Р(х +,, х„,+з, ..., х„) только а — гл переменных х,„+г, хм+а, ..., х,, бтб влвилцнонныв задачи нл ясловныи экствзмкм (гл, в которые уже независимы, и следовательно, задача свелась к исследованию функции СР на безусловный экстремум. Этим путем можно, конечно, решать и поставленную выше вариационную задачу. Разрешая систему <р,(х, ун уз, ..., у„) =0 (1=1, 2...., лт) относительно уо у, ..., у (или каких-нибудь других т функций у,) и подставляя их выражения в о1у,, ум ..., у,), мы получим функционал %'(у „, у,„,,, ..., у„), зависящий только от а — ш уже независимык аргументов, и, с.чедовательно, к функционалу У' применимы методы, изложенные в Э 3 главы 6.
Однако как для функцип, так и для функционалов обычно более удобен другой метод решения, называемый методом неопределенных множителей, сохраня!ощип полное равноправие переменных. Как известно, этот метод при исследовании на экстремум функции я = 1(хн хз, ..., х„) при наличии связей !р;(хн х,...., х,)=0 (1=1, 2, .... т) заключается в том. что составляется новая вспомогательная функция где Л! — некоторые постоянные множители, и функция х* исследуется уже на безусловный экстремум, т. е, составляется система уравдл' некий — =0 (у'=1, 2, ..., и), дополненная уравнениями связей дх~ гр',=0 (1=1, 2, ..., т), из которой определяются все л+ш неизвестных хн хя, ..., х„и Л!, Ля ..., Л . Совершенно аналогично может быть решена задача на успев!!ый экстремум и для функционалов, а именно: если я, о= ~ Г(х, ун у, ..., у, у,', у', ..., у')о!х к, Ф!(х, у!, уз ° " уя)=0 (1=1, 2...,.
ш), то составляют функционал х, о"= ~ г*г1х, где Р = Р+ ~~'.! Л! (х) (рр ! ! хп свЯзи виДл э(», е >-з который уже исследуется на безусловный экстремум, т. е. решают систему уравнений Эйлера Р— — Р =О (1'=1, 2...., и), у ех у) дополненную уравнениями связей ср~ — — О (1=1, 2, ..., т).
(9.1) Число уравнений т+ и, вообше говоря, достаточно для определения т + и неизвестных функций ун уа, ..., у„ и Лн Л,, ..., Л , а граничные условия у1(хе) = у;а и у;(х,) = уд (/= 1, 2, ..., п), которые не должны противоречить уравнениям связей, вообше говоря, далут возможность определить 2п произвольных постоянных в обшем решении системы уравнений Эйлера. Очевидно, что найденные этим путем кривые, на которых достигается минимум или максимум функционала и', будут решениями н исходной вариационной задачи. Действительно, при найденных из системы (9.1) функциях Л,(х) (1 = 1, 2, ..., т) и у) (/ = 1, 2...
„ п) все ~р, = О », о= ~ с(х ун уа ° ° ° °,у„. у1. уа ° ° ° у„)ах », при наличии условий ~р,(х, ун у,, ..., у„)=О (1=1, 2...,. т; т(п) удовлетворяют при соответствующем амбаре мнолсителей Л,(х) (1=1, 2, ..., т) ураенениям Эйлера, составленным для 25 л. э. иль»голля и, следовательно, о*=о, причем если при у) — — у>(х) (у = 1, 2, ..., и), опрелеленных из системы (9.!), достигается безусловный экстремум функционала и', т. е. экстремуи по отношению ко всем близким кривым, как удовлетворяюшим уравнениям связи, так и не удовлетворяюшим им. то, в частности, экстремум достигается и по отношению к более узкому классу кривых, удовлетворяющих уравнениям связей. Однако из этого рзссуждения отнюдь не следует, что все решения исходной задачи на условный экстремум будут давать безусловный экстремум функционалу и* и, следовательно, остается невыясненным, все ли решения могут быть найдены этим методом.
Мы ограничимся локазательством более слабого утверждения. Теорема. Функции ун у, ..., у„, реализующие экстремум функционала йтй влгнлционные злдлчн нл ксловныи экстгимгм функционала [ГЛ. 9 т ю о' = ~ ( Р + ~~У Л, (х) ф, 1 г[х = ~ Р' а[х. е !=1 / Функции Л[(х) и у[(х) ояределяютея из уравнений Эйлера Р— — Р = О ([ = 1. 2...., а) их г ф[ — — О ([=1, 2, ..., т). [[(фю фн "" фе) + О в(у„у,, ..., у„) Доказательство. Основное условие экстремума Ьо=О принимает в данном случае внд ю л ~~~~ ~Рг Ьу)+Р, Ьу') е[х = О. т С=[ Интегрируя по частям вторые слагаемые в каждой скобке и принимая во внимание, что (Ьу[)' =Ьу' и (Ьу[) = О; (Ьу[) = О, получим т л / ~~[~~~ (Рг — — „Р, ) Ьу [ йх = О.
[=[ Так как функции ун уа, ..., у„подчинены т независимым связям р,(», ун у„..., у.) =О ([=1, 2, ..., т), то вариации бу) не произвольны, и пока применять основной леммы нельзя. Вариации Ьуг должны удовлетворять следующим условиям, Уравнения ф[ — — О можно также считать уравнениями Эйлера для функционала о', если аргументами функционала считать не только функции ун ум ..., у„, но и Л,(х), Лт(х), .... Л (х). Уравнения ф~(х уг уа ° ° ° у )=О ([=! 2, ..., т) предполагаются невависимыми.
т. е. один из якобианов порядка т отличен от нуля. например 379 связи вида е(«, я,!-е йй полученным путем варьировании уравнений связей !р! = О: « ~~~ — ~! Ьу/ — — О (/=1, 2, ..., т)е), ду/ ! и следовательно, только и — ш из вариаций Ьу можно считать проиа- вольными, например Ьу ен Ьу +е, ..., Ьу„, а остальные опреде- ляются из цолученных уравнений. Умножая почленно каждое из этих уравнений на Х! (х) !/х и интегрируя в пределах от х до хо получим «, Л / Х!(х)~~> †. ' Ьу/с!х = О (/ = 1, 2, ..., т).
«о /=! Складывая почленно все этн ш уравнений, которым удовлетворяют допустимые вариации Ьу;, с уравнением «, „ ~ ~ (Є— — „Р )Ьу с/х=О, к~ /=! будем иметь «~ « «! ~ь~ луе ~ — + ~у Х!(х) — — — — Ьу/ах=О. ъ'! дР \ ! д~г! 4 дР лу/ л. йу/ 1 «! /=! ! 1 или, если ввести обозначение Р'=Р+ ~Х!(х)<р„ ! ! получим «~ и ~Р« — — Р )Ьу/а!х=О. «, / ! ') Точнее, применяя к разности !р!(х, у, + буь ..., у„+ бу„) — щс(х, у,, ..., У„) левых частей уравнений ~Р!(х, у!+Ьу! "° у«+Ьу«)' бич!!(х уь - ул) О формулу Тейлора, следовало бы писать а '~ й'г ьу ( щ О, ду/ ! где /7! имеют порядок выше первого относительно Ьу/(/ 1, 2, ..., и).
Однако, как нетрудно проверить, члены /7! не окажут существенного илия. ння на дальнейшие рассуждения, так квк прн вычислении вариаций функ» ционала нас интересуют лншь члены первого порядка отиоввтельио Ьу/ (/ 1, 2, ..., л). 25~ 33О ВАРиАционные зАдАчи нА услОВныЙ экстРемум 1гл. 9 И здесь пока нельзя применять основной леммы ввиду того, что вариации Ьу) не произвольны. Выберем .ш множителей Х, (х), Хз(х), ..., Х„,(х) так, чтобы они удовлетворялн ап уравнениям х Р или — + У ),(х) — ' — — — =О (./=1, 2, ..., Л~). дР %а дв; Л дР дУ) дУУ д.е дУ) Эти уравнения образуют линейную по отношению к Х, систему с определителем, отличным от нуля, В('Р'Юь " Фт)чьо; ~З (Уа Уа ° Уааа) следовательно, эта система имеет решение ~Ру — — „Р ° )Ьу а)х=О у=а аа ~Ру — — Р )Ьу.пах=О. .Та У=ива Так как для функций уп ую ..., у„, реализующих экстремум функционала о, это функциональное уравнение обращается в тождество уже при произвольном выборе ЬУУ(У'=из+1, и+2, ..., л), то теперь можно применить основную лемму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
