Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Так как в точке отражения разрывна лишь производная у', то в первом случае надо взять в угловой точке левую пропзводную, а во втором случае — правую производную. Условие бв = 0 принимает вид [Р+ (кр у ) Рх[к=к-обх1 [Р+(Ф вЂ” у ) Рк[к=к здх, =0 или, так как Ьх, изменяется произвольно, то [Р+(ф' — у')Р [, „е=[Р+(ф' — у')Р;[„„„, или Р(х,, ум у'(х, — 0))+(кр'(х,)— — у'(х, — 0))Рт (хн ун у'(х, — 0))=Р(хн ун у'(х,+О))+ +(ср'(х,) — у'(х,+0))Р„(хн ун у'(х, + 0)). Это условие отраженна приобретает особенно простой вид для функ- ционалов типа к, о= ~ А(х, У) ~[к [ [..уккк(х, а именно к ~ . кК ~ ~' ~ .К кн* ~- ",', ' ", [ к + у )к=к,-о к -к ен, кК[Кк~Ч.к К-" + т [ к=к,+О или, упрощая и сокращая на А(хн у,) в предположении, что '"(хк Ук) чь О, получим 1+ч'у' [ (+ту ~'(+у !.
„,, ~'(+у ~ Обозначив угол между касательной к кривой у=<р(х) и осью абсцисс буквой а, а углы наклона к оси абсцисс левой и правой ь з! ЭКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ касательных к зкстремали в точке отражения С. соответственно ()! и рз (рис. 7.8), получим У'(х, — О) = !8()ь, у'(х! +-О) =!Уй гр'(х ) — !Ра Условие в точке отражения приобретает вид 1+ !па !8 Р, !+ !иа !У()ь — зес Р, зес рь или после упрощения и умножения на сова: — соя(а — 9!) = соя(о — рт). Отсюда следует равенство угла падения и угла отражения.
Рнс. 7.8. Если точка движется в некоторой среде со скоростью о(х, у), то время (, затрачиваемое на перемещение точки из положения А(х,, уз) в положение В(хн у ), равно интег- к, д(х.,уа! у.ер(х( ралу / с!х, который принад- ,/ Р(х. У) С(тьу,( лежит к рассматриваемому виду функци- Я(х„у,( М х опалов ~ А(х, у) гг1+ у' с(х, и сле- р Рис. 7.9. довательно, при любом законе изменения скорости о(х, у) в точке отражения угол падения равен углу отражения.
Если бы точки А, В и С были располоькены иначе, например так как они расположены на рис. 7.9, то лля получения того же условия в точке отражения из-за двузначности функции у = у(х) удобнее было бы провалить исследование в параметрической форме. 23 Л. Э. Элььгольи 3ая ВАРиАциОнныа ВАдАчи с подвижными ГРАницАми 1ГЛ. г П р е л о м л е н и е э к с т р ем а л е й. Предположим. что полынтегю ральная функция функционала о= ~ В(х, у, у')Их в рассматри- ваемой области имеет линию разрыва у=у(х), а граничные точки А я В расположены по разные стороны линии разрыва (рис.
7.10). Представим функционзл о в виде к, о= ~ Р,(х, у, у')дх+ ~ Р~(х, у, у')с(х, М е где Г',(х, у, у') = Г'(х, у, у') с одной стороны линии разрыва, а Рз(х, у, у')= Г (х, у, у') с другой стороны линии разрыва. Рис. 7.1! Предположим, что Рг и Вз трижды днфференцируемы. В точке С пересечения искомой кривой с линией разрыва естественно ожидать наличия угловой точки. Дуги АС и СВ, очевидно, являются экстре- малями (это опять следует из того, что, фиксируя одну иэ этих дуг н варьируя лишь другую, мы получим задачу с закрепленными гра- ничными точками).
Поэтому можно брать в качестве кривых сравне- ния лишь ломаные, состоящие из двух дуг экстремалей, и тогда вариация ввиду подвижности граничной точки С (хо у,), перемещаю- щейся по кривой у=ф(х), принимает следующий вид (см. стр. 331): к, к Ьп=б ~ Г1(х, у, у )ох+3 ~ Вз(х, у, у)пх= к к, — (~г+(ф у)~.).,ЬХ (Рз+(ф у)~з.).,„ЬХ,, и основное необходимое условие экстремума Ьп = 0 сводится к ра- венству =, з вкстпвмлли с кгловыми точкдмм Так как в точке преломления может быть разрывна лишь у', то это условие преломления можно записать и в следующем виде: Р,(хп ун у'(х, — О))-(- +(гр'(х,) — у'(х, — О)) г".1г (хн ун у'(х, — О))= = Рз(хн ун у'(х, + О) )+ +(гр'(х,) — у'(х,+О)) Гз, (хн уп у'(х, + О)). Это условие преломления вместе с уравнением у,=гр(х,) дает возможность определить координаты точки С.
Если, з частности, функиионал о равен Л, ~ А(х, у) 11+ у' дх= о а1п ~ — — (а — Р,)1 или 2 .42 (Хь У~) з1п ~ —, — (а — Р,)1 Гп 1 А,(хь у) ' 12 соз (а — 31) Ае (хь у~) соз (а — рг) А (х1 у1) что является обобщением известного закона преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления рави отношению скоростей 1 1 ог(х, У)= А и оз(х, У)= А (ср. стр. 341) А,(х, у) А,(х, у) в средах, на граниие которых происходит преломление.
Не следует думать, что экстремали с угловыми точками появляются лишь в задачах на отражение или преломление экстремалей. Экстремум может достигаться на экстремалях с угловыми точками даж~ к, в аадачах на экстремум функпионала о = ~ Р (х, у, у') г(х, где функм пня Р трижды дифференпнруема, н допустимые кривые должны про.
ходить через граничные точки А и В без каких бы то ни быль зополнительных условий. = ~ А,(х, у) Ф 1+ у' г(х+ ~ А,(х;у) Р 1+у' сГх, Х к, то условие преломления приобретает вид А,(х, у) + У ~ = Аз(х, у) + ~ У или, сохраняя обозначения стр. 340 †3, у'(.'с, — О) = гп ()н у (х,+О) =(к ()з, чг~(х,) = (йа, после упрощений и умножения на сова будем иметь: члл влянлинонныз злдлчн с подвижными гвлннцлми Исследуем, например, функционал о = ~ у' (1 — у')' с(х.
у (0) = 0; у (2) = 1. !гл. т Так как подынтегральная функция положительна, то о ) О, и следовательно, если на какой-нибудь кривой функиионал о=О, то на этой кривой заведомо реализуется абсолютный минимум функционала о, т. е. наименьшее значение функционала на допустимых кривых. Нетрудно видеть. что на ломаной у = х при 0 .-' х .-' 1 и у = 1 при 1 ( х < 2 (рис. 7.11) функционал у о = О, так как на этой ломаной подынтегра1ьная функция тожлественно у=! 72 ] равна нулю. Следовательно, на этой ломаной реализуется абсолютный минимум функционала.
Абсолютный минимум функционала: а о = О, достигается также и на лома- ных, изображенных на рис. 7.13. Рис. 7.11. С другой стороны, легко видеть, что на глалких кривых значения функционала строго больше нуля, хотя и могут быть сделаны сколь уголки близкими к нулю. Действительно, подынтегральная функция обращается в нуль только при у = х + С, или прн у = Са, но линии, составленные из отрезков прямых этих семейств, прохоляшие через точки А (О, 0) и В(2, 1), могут быть лишь ломаными. Однако, сглаживая точки излома путем соответствующего изменения функции в сколь угодно малой окрестности этих точек, мы можем получить глалкую кривую, значение функционала на которой сколь уголно мало отличается от значений функционала на ломаной.
Таким образом, о = 0 является ~очной нижней гранью значений функционала о на гладких кривых, но эта точная нижняя грань на глалких кривых не достигается, з достигается на кусочно- гладких кривых. Найдем условия, которым должны удовлетворять решекия с угловыми точками аалачи об экстремуме функпиопала о [у (х)] = .г, = 1 Р(х, у. у')с(х. Очевидно, что отдельные гладкие дуги, из кото- КО рых составлена ломаная экстремаль, должны быть интегральными кривыми уравнения Эйлера.
Это следует из того, что если зафиксировать все звенья ломаной, кроме одного, и варьировать лишь это одно звено, то аалача сводится к простейшей залаче с закрепленными граниидми н, следовательно, это звено должно быть дугой экстремали. вкствямали о кгловыми точками Считая для упрощения ааписи, что ломаная экстремаль имеет лишь одну угловую точку е), найдем условия, которые должны удовлетворяться в угловой точке: и о= ~ Р(х, у, у')Их= ~ В(х, у, у')г(х+ ~ Р(х, у, у')г(х. где х, — абсцисса угловой точки (рис.
7.12), Считая, что кривые ЛС и СВ являются интегральными кривыми уравнения Эйлера Рис. 7.12 и что точка С может произнольно перемещаться, получим согласно ч ! . стр 331: бо = ( — у Вж ) ~„„е бх1 + + г"„), бу, — ( — у'Гт)(„,„~дх1 — Ря (, „,ебу,=О, откуда ( — у'Р„ )(„ , бх~ + Р„ (, „ Ьу, = = ( — у'В„) („Ьх, + Р„1, „, буи или, так как Ьх, и Ьу, независимы, имеем ( — у'Р )1„„,,=(Р— у'~ ))„.„, Р 1 =В У ~я=и-е У !к=х,4 О' Эти условия вместе с условиями непрерывности искомой экстремали позволяют определить координаты угловой точки. «) Бели угловыя точек несколько, то к каждой из ния применимо то же самое Рассуждение 340 влвнлцнонньш задачи с подвнжныьгн гплннцлмн ггл.т Пример 1. Найти ломаные экстремали (если они существуют) функ.
э ционала о= ~ (у' — ух) лхс Напишем второе из условий, которые должны о выполняться в точке перелома, )хх,) = Рх,1, нли в данном слу'1=, о' чае 2у'(х, — О) = 2у'(х, +О), откуда у' (х1 — О) = у' (х, + О), т. е. произволная у' в точке к, непрерывна, и хоч/ кн перелома иет. Следовательно, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь иа гладких кривых. Пример 2. Найти ломаные экстремам ли функционала о= ) у' (1 — у')'лхс Так как подывтегральиая функция зависит Рнс. 7.13. лишь от у', то экстремалямн являются прямые линии у = Сх+ С (см. стр.
301). Условия в точке перелома в данном случае принимают вил — У" (1 — У Н1 — зу )~„. , = У х 11 У )(1 3У )~. . . 2У (1 У )(1 2У )~ =л-о=2У (1 У )(1 2У )1л=юэо' Эхэ условия, не считая тривиальной возможности у'(л, — О) у'(л,+О), у' (х, — О) = 0 у (л,+0)=1 у'(л, — 0) 1 у'(х, +О) = О. удовлетворяюхся при или Следовательно, ломаные экстремали могут состоять только из отрезков прямых, принадлежащих семействам у = С, и у л+ С, (рис. 7,13).
й 4. Односторонние вариации В некоторых вариационных задачах об экстремуме фуикпионала о[у(х)) на класс допустимых кривых может быть наложено ограничение, запрещающее им проходить через точки некоторой области Я, ограниченной кривой Ф(х, у)=0 (рис. 7.14). В этих аадачах кривая С, реализующая экстремум, или проходит целиком вне границы области )х, и тогда она должна быть экстремалью, так как'в этом случае наличие запрещенной области й совершенно не влияет на свойства функционала и его вариации в окрестности кри- ОдностОРОнние ВАРНАнии $41 вой С, и рассуждения главы 6 остаются справедливыми, или кривая С состоит из дуг, лежащих вне границы й, и из частей границы области й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
