Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найти экстремаль функционала 1 в [у (х)] = ~ (1 + у" ) пх; о у(о)=О, у (О)=П у(И=1, у (И=1. Д« Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид — (2у")=О или уш=о; его йх' общим решениеи является у= С~ха+Сох'+С,х+С,. Используя грюшчные условия, нолучаеи: С~=О Ст=О, Сз 1, С =О. Итак, экстремум может достигаться лишь иа прямой у = х, П р и и е р 2. Определить экстромаль функционала з о [у (х)] = ~ (у"' — у'-[-х') йх, о удовлетворяющую условиям у(О)=1, у'(О)=О, у[ — "[=О, у [']= (2! Уравнение Эйлера — Пуассона имеет внд упу — у О; его общим решением является у = С,о«+ С,е «+ С, соэ х+ С, з1пх.
Используя граничные условна, получаем С, = О, Ст= О, С,=1, С,= О. Итак, экстремум может достигаться лишь на кривой у= сов х. Пример 3. Определить экстремаль функционала и [у (х)] = ~ ( — ру"'+ ру) йх, ЗП окнкционллы от старших производных удовлетворяющую граничным условиям: у( — 1)= О, у'( — 1) О, у(1) =О, у'(1) = О. К втой вариационной задаче сводится нахождение оси изогнутой упругой цилиндрической балки, заделанной на концах.
Если балка однородна, то р н р постояннм и уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид г(2 Р р+ — (ру") = О или у!Ч = — —, л»' р откуда рх' у = — — + С1» + Са» + Са» + Се ййр Используя граничные условия, окончательно находим у —, р (х' — 21а»'+!') или у = — р (»а — 1')'. 24р 24р Если функционал о имеет вид к, о(у(х),'з(х)]= ~ г" (х. у, у', ..., у1ю, х, л', ..., в1 ))а~х, кО то. варьируя только у(х) и считая л(х) фиксированным, мы находим, что функции у(х) и г(х), реализующие экстремум, должны удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона Лл гу — — „р' + ... +( — ()" —,~„1ю=о, а варьируя г(х) и считая у(х) фиксированным, получим, что те же функции должны удовлетворять уравнению Лт г,— — р;+ ... +( — ))" — р',,=о. Итак, функции х(х) н у(х) должны удовлетворять системе двух уравнений Н «к у„— — „~;+ ... (-( — ))" — „.
г,,„,=о. г г'+ ° ° ° +( 1) л т Р (т)=О. т Точно так же иожно рассуждать и при исследовании' на экстремум функционала, зависящего от любого числа функций: о!уг уа ук)— к, = ~ Р(Х. Ур У,', ..., У1«Л, У,, У,', ..., У<«11.... «а .... ут, у„, .... у<"т))ИХ. 312 метОд ЕАРиАции В зАдАНАх с неподвижными ГРАницАми [Гл. 6 Варьируя какую-нибудь одну функцию у,(х) и сохраняя остальные неизменными, получим основное необходимое условие экстремума в виде и Ря Р '+ ° ° ° +( !) —,Р гвВ=О ([=1 2 ° гп).
дх г[ дх ' й Б. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных Исследуем на экстремум функционал о!г(х, у)!= ) / Р(х, у, г, —, — [с[ха'у, дг дг 1 дх' ду) и причем на границе С области Е> значения функции г(х, у) заданы, т. е. задан пространственный контур С, через когорый должны Рис. 6.13.
проходить все допустлмые поверхности (рис. б.!3). Для сокрашения дг дг записи обозначим: — = р, — = д. Функцию Р будем считать дх ' ду трижды дифференцируемой. Поверхность г = г(х, у), на которой реализуется экстремум, будем предполагать дважды дифференцируемой. Рассмотрим опять однопараметрическое семейство поверхностей г=а(х, у, а)=г(х, у)+абг, где бг =я(х, у) — г(х, у), включающее при а = О поверхность г = г (х, у), на которой реалиауется экстремум, а при а = 1 — некоторую допустимую поверхность г =г(х, у). На функциях семейства г(х, у, а) функционал о пре- 314 метОд ВАРиАцип В ВАЛАНАх с неподВижными ТРАницАми !Гл. з получим / ) д )Рр Ьг) + д )Рч Ьл)~с[х с[У = / (Рр аУ вЂ” Р с[х)Ьл = О.
О~. ГГ д д ,/ )дх ду г Р о' с Последний, интеграл равен нулю, так как на контуре С вариация Ьг = О. потому что все допустимые поверхности проходят через один и тот же пространственный контур С. Следовательно, ~ ~]Р бр+ Р Ьд]ах[[у — ] ] ~ — )Р ) + )Р ))Ьг с[хду, и и и необходимое условие экстремума У ~(Р,Ьл+ Р,Ьр+ Р,бр) дхау =О о принимает вил / (Р,— д )Рр) — д )Рг))бгг[хау=О. /'. о Так как вариация Ьл произвольна (на Ьг наложены лишь ограничения общего характера. касающиеся непрерывности и дифференцируемости, обращения в нуль на контуре С и т.
д.), а первый множитель непрерывен, то по основной лемме (стр. 296) на поверхности л=я(х, у), реализующей экстремум, — — )Р,) — —,)Р,) = — О. д д дх Р ду Следовательно, л(х, у) является решением уравнения Р,— — )Р ) — )Р ) =О. д д Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которому должна удовлетворять функция л(х, у), реализующая экстремуи, носит название уравнения Остроградского по имени выдающегося русского математика [г(.
[3. Остроградского, который в 1834 году впервые получил это уравнение, однако для прямоугольных областей О оно встречалось уже в работах Л. Эйлера, Пример 1 е]л(х, у)] = ~ / ~( — ) + ( — ) 1 ах ау, и э э) Функционллы От Функции нескОльких пеРеменных 315 на границе С области ьг значения функции г заданы: а =у(х, у).
Уравне- ние Остроградского в данном случае имеет вид д'г д'г — + — =О. дхэ ду' или в краткой записи б =О, т. е. является известным уравнением Лапласа, причем надо найти непрерывное в В решение этого уравнения, принимающее заданные значения на границе области В. Это — одна из основных задач математической физики, называемая задачей Дирихле. Пример 2. о]г(х, у)] = / / ~( —.) +( — ) +2гУ(х, у)1 дхму, 'о' на границе области В функция г задана. Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид дтг дэг д + д ° =У(" У) нлн в краткой записи бг = У (х, у). Это уравнение, называемое уравнгнием Пуассона, также весьма часто встречается в задачах математической физики.
Пример 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на данный контур С, сводится к исследованию на минимум функционала 5]г(х, у)]= ] / ~тг 1+( — ) +( — ) ахну. Уравневие Остроградского в данном случае имеет вид 1+— 1=0 д ~ Г!.гг~-г ] т ~ $ ггт'гг ~ нли т. е. средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки,' натянутые на заданный контур С. Для функционала О]г(ХИ ХЭ, ..., Хл)]= '~ Р(хи хз,....
х„. г, Ри Р,, ..., Р„)с(х, г(хэ... г(х„, 0 З16 мвтод вляилцин в задачах с ивподвижными галициями (гл, з где р, = — , из основного необходимого условия экстремумз дг дх~ ' Ьо= 0 совершенно аналогично получим следующее уравнение Остроградского: которому должна удовлетворять функция г=г(хп хз...., х„), реализующая экстремум функционала о. Например, для функционала уравнение Остроградского имеет вид д'и д'и д'и — + — + — = О. дхз ду' дг' Если подынтегральная функция функционала о зависит от производных более высокого порядка, то, применяя несколько раз преобразования, использованные при выводе урзвпения Остроградского, в качестве необходимого условия экстремума получаем, что функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению. аналогичному уравнению Эйлера — Пуассона (стр.
310). Например, для функционалз дг дг д'г д'г д'г 1 п(г(х. у)) =~ ~ гт(х, у, г, —; —... —, — 1 дхду дх ' ду ' дх' ' дхду' ду') о получим уравнение дзг дзг д2г г= —, .л= дх' ' ' дхду ' ду' ' Этому уравнению четвертого порядка в частных производных должна удовлетворять функция, реализующая экстремум функционала о. Например, для функционала О= / / 1(д з) +(~Э з) +2 ~д д ) 1НхаУ о дх~ Р) ду( «)+ д д где дг дг р= —, и= —, дх' ду ' дз д' д' дхт ( ")+дхд ( ')+д з !О=0 5 з) ВАРиАциОнные зАЕАчи В НАРАметРическОИ ФОРме 817 функция х, реализующая экстремум, должна удовлетворять так нааываемому бизармоничесиому уравнению дчк д'х д'к — +2 —, + — =О, дхч дхг ду2 ду4 которое обычно кратко записывается так: ЛЬЕ =О.
Для функционала о= / / ~( —,) +(д,) +2 ~дс, ) — 2ау'(х, у)1бхг(у функция х (х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению 1т1(л = Г" (х, У). К бигармоническому уравнению приводят также задачи на экстремум функционала или функционала более общего вида о= ~ ~~(д з+дк) — 2(1 — (А)~ .г з (д д )~~ ихбУ о где (с — параметр. Я 6.
Варнационные задачи в параметрической форме Во многих вариационных задачах решение удобнее искать в параметрическом виде. Например, в изопернметрической задаче (см. стр. 282) о нахождении замкнутой кривой заданной длины 1, ограничивавшей максимальную плошадь 5', неудобно искзть решение в виде у — у(х) так как по самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис. 6.14), поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно искать решение з параметрической форме, х= х(1), у= у(1), Следовательно, в данном случае надо искать экстремум функционала г 1 Б[х(1) У(0)- — 1 (ху — ух) иг 2 ) о г при наличии условия 1 ~ Р ха+ у' иг, где 1 — постоянная. е Пусть при исследовании на экстремум некоторого функционала к, о[у(х)) = ~ р (х, у, у') их кч 618 митод влннлцни в задачах с нвподвнжнымн гплннндмн Егл.
а оказалось более целесообразным искать решение а параметрической форме х — х(Е), у у(Е); тогда функционал преобразуется к следующему виду: о [х (Е), у (Е)) = / Г [х (Е), у (Е), †. [ х (Е) гЕЕ. у (Е)1 ° х (Е) Заметим, что полученная после преобразования иереиеиных подынтеграль- ная функция Р ~х (Е), у (Е), †.
) х (Е) у (Е) 1 . х (Е) ие содержит Е явно и является по отношению к переменным х и у однородной функцией первой степени однородности. Таким образом, функционал о [х (Е), у(Е)[ является не произвольным. функционалом вида ь ~ Ф (Е, х (Е), у (Е), х (Е), у (Е) ) ай зависящим от двух функций х(Е) и у(Е), а лишь весьма частным случаем такого функционала, так как его подынтегральиая функция не содержит явно Е и однородна первой степени однородности по отношению к переменным х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
