Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции д (х+Я Лх)[и — в )' (х+пЛх)ЛА [и в ! (х)Лх йг (х) Точно тан же для функции нескольких переменных в=у(х1, Х2...., х„) можно получить дифференциал путем дифференцирования у'(хг+аЛхн х, + ОЛхе.. хе+ аЛх„) по а, полагая затем и = О. Действительно, е —,г (хг -[- а ЛХ1, ха+ а Лха,..., Хь + а Лх,) [и=о = т — ' — Лх! = сгу', %ч дУ 1=1 И для функционалов вила О[у(х)] или более сложных, зависящих о! нескольких неизвестных функций или от функций нескольких 5. Если приращение функции Лу= г'(х+Лх) — у(х) могкет быть представлено в виде ЛУ= А(х) Лх+Р(х, Лх) Лх, 1'де А (х) не зависит от Лх, а Р(х, Лх) — РО прн Лх — ьО, то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к Лх часть приращенитг — А(х) Лх называется дифференциалом функции н обозначается сг,г.
Разделив на Лх и переходя к пределу при Лх -ь О, получим, что А (х) = = у'(х), и, следовательно, йу= г'(х)Лх. можно представить в виде Ло= с[у(х), Ьу[+ + [) (у (х), Ьу) игах [ Ьу [, тле Ь [у (х), Ьу[ — линейный по отношению к Ьу функцнопал, !пах [ Ьу [ — максима.тьное значеш!е [Ьу[ и б(у(х), Ьу)-1.0 при шах [бу[ — ьО, то линейная по отношению к Ьу часть приращения функционала, т. е. Ь [у (х) Ьу[ называется вариацией функцио.
нала и обозначается Ьп. 289 ввинлггия н ве свойства переменных, можно определить вариацию как производную от функционала о [у (х)+ абу] по а при а=О. Действительно, если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения, то его приращение имеет вид Ло =о[у(х)+абу) — о)у(х)] =В(у.абу)+[)(у, абу))а) !пах)бу[. Производная от о[у+ а бу) по а прн а=О равна гЪо . бо б(у, а бу)+ [)[у(х), а бу))а! гиах)бу[ ла.эо ба анно а а->о а б (у, а бу) 1, 1) [у (х), а бу] ) а[ !пах ) бу ) а,во " а-во а так как в силу линейности В(у. абу)=ай(у, бу), а [) [у (х), а бу) ) а ! гиах) бу ) 1ггп У ' У ' = )!!и[![у(х),абу) шах)бу)=0, а-ьо а амо 6.
Лифференциал функции 7'(х) равен д — у'(х+ а Лх) ).=о 6. Вариация функционала о)у(х)] равна д — о[у(*)+ абу1) Оиределение. Функционал о1у(х)] достигает на кривой у = уо(х) максимума, если значения функционала о [у(х)) на любой близкой к у =уз(х) кривой не больше, чем о[уз(х)], то есть Ли= о [у(х)) — о[уз(х)] (О. Если Ло О, причем Ло= 0 только ири у(х) = уо(х), то говорят, что на кривойу = у,(х) достигается строгий максимум. Лналогично определяется кривая у = уо(х), на которой реализуется минимум. В этом случае Ло)~0 для всех кривых, близких к кривой у =уо(х). 7. Теорема. Если функционал о[у(х)], имеющий вариацию, достигает максимума 7.
Теорема. Если дифференцируемая функция 7(х) достигает максимума или 19 л, э. эльагальц потому что [)[у(х), абу)-вО прн а-ь О. Итак, если существует вариация в смысле главной линейной части приращения функционала, то существует н вариация в смысле производной по параметру при начальном значении параметра, и оба эти определения эквивалентны. Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.
29О мвтод влиилцнп в задачах с нвподвнжными гплницлми ~гл.ь или минимума лри у=уз(х). зде у(х) — внутренняя точка области определения функционала, то ари у=уз(х), Ьо = О. минимума во внутренней точке х = х, области определения функции. то в втой точ- ке ') а может принимать в окрестности точки а О как положительные, так и отрицательные значения, так как уь(х) †внутренн точка области определения функционала. Доказательство теоремы для функционалов. При фиксированных уэ(х) и Ьу о)уэ(х)+цЬу) =ф(ц) является функцией а, которая при а = О, по предположению, достигает максимума или минимулга, следовательно, производная гр'(О)=О'), нли — о(уэ(х)+абу]! =О, ди О !а=о т, е.
Ьо=б. Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю. Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря о максимуме или минимуме, точнее, об относительном максимуме или минимуме, мы имели в виду наибольшее нли наименьшее значение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых. Но, как было указано выше, близость кривых может быть понимаема различно, поэтому в определении максимума илн минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду.
Если функционал о(у(х)) достигает на кривой у=уз(х) максимума нлн минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности у(х) — уэ(х) мал, т. е. по отношению к кривым, близким к у=уз(х) в смысле близости пулевого порядка, то максимум или минимум называется сильным. Если же функционал о(у(х)] достигает на кривой у=ус(х) максимума или минимума лишь по отношению к кривым у=у(х), близким к у=у,(х) в смысле близости первого порядка, т. е. по отношению к кривым, близким к у=уз(х) не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым. Очевидно, что если на кривой у=у„(х) достигается сильный максимум (или минимум), то подавно достигается и слабый, так как если кривая близка и у=уз(х) в смысле близости первого порядка, то она близка и в смысле близости нулевого порядка.
Однако возможно, что на кривой у =у„(х) достигается слабый максимум (минимум) и в то же время не достигается сильный максимум (минимум). т. е. среди кривых у=у(х), близких к у=у,(х) как по ординатам, так и по направлению касательных, может не быть таких, для ко- ВАРИАЦИЯ И Вв СВОЙСТВА 291 тоРых О[У(х)[)о[Уз(х)( (в слУчае минимУма о[У(х)) <о[Уз(х)() а среди кривых у=у(х), близких только по ординатам, но уже не близких по направлению касательных, могут найтись и такие, для котоРых О (У (х)) > о [Уо (х)) (в слУчае минимУма и [У (х)[ ( о [Уо (х)[ ). Различие между сильным и слабым экстремумом не будет иметь существенного значения при выводе основного необходимого условна экстремума, но оно будет весьма существенно в главе 8 при изучении достаточных условий экстремума. Заметим еше, что если на кривой у = уо(х) достигается экстремум, д ! д то нетолько — о(у,(х)+аду(! =О.
но и — о(у(х, а))! =О, да о !а=о да !о=о где у(х, а) — любое семейство допустимых кривых, причем при а = О и при ц = 1 функции у(х, а) должна соответственно превращаться в уо(х) и уо(х) (- бу. Действительно, о (у (х, а)) является функцией а, так как задание ц определяет кривую семейства у=у(х, а), а значит, определяет и значение функционала о(у(х, ц)(. Эта функция, по предположению, достигает экстремума при а = О, следовательно, производная этой функции обращается в нуль прн а=ба).
д Итак, — о (у(х, а)( ! = О, однако эта производная, вообще да !а=о говоря, уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет, как показано выше, обращаться в нуль' одновременно с бо на кривых, реализующих экстремум функционала. Все определения этого параграфа и основная теорема (стр. 289) почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций о(у,(х), у,(х), ..., у„(х)) или зависящие от одной или нескольких функций многих переменных О[л(хп хя, .... х„)[, О (Л1 (Х1 Хт Хо) Вя (ХР Хя Хо) Лм (Х1 Хя Хл)) Например, вариация Ьо функционала о[я(х, у)) может быть определена нли как главная линейная по отношению к Ья часть приращения Лп =-о [я(х У)+ бл( — о(х(х, УН илн как производная по параметру при начальном значении ") Прелнолагаеосн, что а может принимать любые близкие к а= О знадо (у(х, а)[ ! чсния н ' ! существует.
292 метОд ЕАРНАцип в 3АдАчАх с неподвижными гРАницАми (гл. ь параметра — ю (г(х, у)-1- пбл)~ да а=з причем если при л = г (х, у) функционал о достигает экстремума, то прв г=я(х, у) вариация бе=О, так как о(г(х, у)+абл) является функцией а, которая при а = О, по предположению, достигает экстремума и, слелователыю, производная от этой функции по а при а=О обращается в нуль, —.-О(л(х, у)+цбг) ~ = О да !ааа или до=О. 5 2. Уравнение Эйлера Исследуем на экстремум функционал к, о (у(х)1 = ~ г' (х, у(х) у (х))лкх.
(6.1) пРичем гРаничные точки лопУстимых кРивых закРеплены: У(х ) = Уз и у(х,) = у, (рис. 6.3). Функцию !"'(х, у, у') будем считать трижды лифференцируемой. Мы уже знаем, что необходимым условием экстремума является обращение в нуль вариации функционала. Покажем теперь, иак применяется эта основная теорема к у рассматриваемому функционалу, В причем мы еще раз повторим предыдущее рассуждение применительл но к функционалу (6.1). Прелположим, что экстремум постигается на дважды лифференцируемой кривой у = у(х) (требуя лишь сушествования производных первого а х! порядка у допустимых кривых, можно иным методом показать, что у кривой, реализующей экстреРис.
6.3. мум, существует и вторая производная). Возьмем какую-нибудь близкую к у = у(х) допустимую кривую у = у (х) и включим кривые у = у(х) и у = у (х) в однопараметрическое семейство кривых у(х. а) = у(х)+а(у(х) — у(х)); при п=О получим кривую у=у(х), при а=1 имеем у=у(х) УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА 293 (рис. 6.4). Как мы уже знаем, разность у(х) — у(х) называется вариацией функции у(х) и обозначается Ьу. Вариация Ьу в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли прирашения независимого переменного гьх в задачах на исследование экстремумов функций у'(х). Вариация функции Ьу=у(х)-у (х) является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один или несколько раз, причем (Ьу)' = у'(х) — у'(х) =Ьу', г.
е. производная вариации равна вариации производной, и аналогично (Ьу)" = у" (х) — у" (х) = Ьу", (Ьу)Г ' = умо (х) — у'"'(х) = Ьу<~>. Итак, рассмотрим селгейство у=у(х, а), где у(х, а)=у(х)+ + аЬу, содержащее при а=О кривую, па которой достигается экстремум. а при а = 1 — некоторую близкую допустимую кривую — так называемую кривую сравнения. Если рассматривать аначения функционала о(у(х)) = ~ гч(х, у, у')г(х к х только на кривых семейства у =у(х, а), то функционал превращается в функцию а: о(у(х, а)!=гр(а), Рис.
6.4. р'(О) = О. Так как к, ф(а) = / гч(х, у(х, а), у„'(х, а)) г(х, так как значение параметра а определяет кривую семейства у = у(х, а) и тем самым определяет и значение функционала о(у(х. а)). Эта функция ср(а) достигает своего экстремума при а=О, так как при а = О получаем у = у(х), и функционал, по предположению, достигает экстремума по сравнению с любой близкой аопустимой кривой и, в частности, по отношению к близким кривым семейства у = у (х, и). Необходимым условием Экстремума функции ф (а) при а = О, как известно, является обращение в нуль ее производной при а=О: 294 метод вАРиАции В зАдАНАх с неподвижными гРАницАми [Гл.
а то ф (а) = / ~РТ вЂ” у(х, а)+ Ру' д„у (х, а)1 дх. д д ко где д Р (х, у(х, а), у'(х, а)). †, Р (х, у(х, а), у'(х, а)), ду' или, так как да у (х, а) = да [у (х) + абу[ = Ьу д д — „у'(х, а)= — [у'(х)+абу'[=Ьу', получим к, гр'(а) = ~ [Р (х, у(х, а), у'(х, а)) Ьу+ + Рг (х, у(х, и). у'(х, а))Ьу'[дх; ф' (О) = / [Р „(х, у (х), у' (х) ) Ьу + Р ° (х, у (х), у' (х) ) Ьу'[ дх к, Как мы уже знаем, ф'(0) называется вариацией функционала и обозначается Ьо. Необходимое условие экстремума функцвонала о заключается в обращении в нуль его вариации: Ьо=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
