Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 43
Текст из файла (страница 43)
где а — произвольная постоянная, и разрешая, если это возможно, относительно р и <у, получим р = ф,(х, а), <) = ф,(у, а), йг= рах +<гйу=ф<(х, а)йх+фя(у, а) йу. г = ~ ф, (х, а) йх+ ~ фа(у, а) йу + Ь' — полны» интеграл. ч е1 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 263 3) Если уравнение (5.28) имеет вид Р(г; р, а)=0, то, полагая х = х (и), где и = ах+ у, получим Р'(г, а, — „, — „) =О. Интегрируя это обыкновенное уравнение, получим г =Ф(и, а, Ь), где Ь вЂ” произвольная постоянная, нли г = Ф (ах + у, а. Ь) — полный интеграл. 4) Если уравнение (5.28) имеет вид, напоминающий уравнение Клеро: х = рх + ау + ~р (р, а), то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным интегралом является л =ах+Ьу+гр(а, Ь). Пример 1.
Найти полный интеграл уравнения р= Зф. у=а, р=За', ах=За'ах+аау, е = За'х+ ау + Ь. Пример 2. Найти полный интеграл уравнения ру= 2ху. р 2у 2у 2у — — =а, р=ах, у= —, ах ахйх+ — ау, х д ' ' а ' а ах' у' г — + — + Ь. 2 а П р и мер 3. Найти полный интеграл уравнения а'= ру'. ах ах х= л(и), где и= ах+у, р= а —, у аи ' аи ' 1 У ах1э л' а1 — ) или — =а,л, где а, а аи аи 1п1е1= а,и+1ЕЬ, л Ье '", "( а+У) е Ье П р н и е р 4. Найти полный интеграл уравнения е = рх+ ау+ ре+4К Полным интегралом является +Ьу+а'+Ь. В более сложных случаях применяется один из общих методов нахождения полного интеграла уравнения Р(».
у, х,,о, а) =О. 264 твлвнення в члстнык ппонзволнык ивяного попинал игл. а Наиболее простая идея лежи г ь основе хеагода ~7агранхса и Шариа. По атому методу к уравнению Р(х, у, г, р, д)=0 (5.28) полбирают уравнение У(х, у, г. р, д)=а (5.31) так, чтобы определяемые из системы уравнений (5.28) и (5.31) функции р=р(х. у, г, а) и 7 =4(х, у, г, а) прияолнлн бы к интегрирующемуся олним соотношением уравнению Пфаффа ганг = р(х, у, г, а) гХх + г)(х, у, г, а)ду (5 32) (Г го1Г)=0, где Г=р(х, у, г, а)!-1-4(х, у, г, а)1 — й, т.
е. в развернутом виде из уравнения дй др ор дд р — — д — — —,+ — =О. дг дг ду дх Произволные —, —, —, — вычисляются лнфференцированием дд др др дя дх ' ду ' дг ' дг тождеств (5.33) Г (х, у, г, р, ф) = О, У (х. у, г, р, 4) = а, (5.34) в которых р и д рассматриваются как функции х, у и г, опреле- ляемые системой (5.34).
Дифференцируя по х, получаем др др др др ду — + — — + — — =О, дх др дх дд дх дУ дУ др дУ дй — + — — + — = — О, дх др дх дд дх откуда (з(р, и) дй В(р. х) дх В(Р, У) ' ~~(р ч) Аналогично, дифференцируя (5.34) по у и определяя —, получим др ду ' в(р, и) др Е~(у 4) ду = В(Р. и) ))(р И Тогда интеграл уравнения Пфаффа Ф(х у, г, а, д) = О, тле д — произвольная постоянная. появляющаяся при интегрировании уравне. ния (5.32), будет полным интегралом уравнения (5.28).
Функция Еl определяется из условия ннтегрируемостн уравнения (5.32) одним соотношением нелинейные УРАВнения пеРВОГО пОРядка 265 % 4! 4(ифференшуруя (5.3ч) но» и разрешая относительно —, —, будем др д~у д»' д»' иметь УУ (Р др У) (» д» УУ (Р уу (р УУ (Р дУ4у О (р У) а) У) д» УУ (Р У(у Подставляя вычисленные произволные в условие ннтегрируемости (5.33; н умножая на определитель, ', который мы считаем О(Р, У) 0(р а) отличньш от нуля, получим (др дУ др ОУ1 Удр дУ дР дУ1 Р~ — —- — '+а' — — — — — — '+ (д» др др д») )д» дл д4у д» ) +(дР дУ дР дУ)+Удр дУ др дУ) О (ду да ду ду ) (дх др др дх/ или др дУ др дУ У дР дР1 дУ вЂ” — + — — + Р— +4) — —— др дх дл ду (, др да ) д» Для определения функаии У мы получили однородное линейное уравнение (5.35), которое интегрируется методом, указанным в 3 2 этой главы: составляется уравнение характеристик дх ду д» др дР дР дР дР дР дР дР дР— — Р— +4У— др дд др д4) дх д» ду д» вЂ” +Р— — +а— находится хотя бы один первый интеграл системы (5.36) У,(х, у, », р, 4у)=а, н если функпии Р и У, независимы по отношению к р и д, т.
е. УУ (Р, У~) еа О, то первый интеграл У,(х, у, », р, у) и будет нско- О(р, я) мым решением уравнения (5.35). Следовательно, определяя р = р (х, у, ». а) и (у = гу(х у » а) из сисГеьгы уравнений Р (х. у, », р, (у) = О, У (х, у, », р, 4у) = а получим интегрируемое одним соотношением уравнение Пфаффа, решая которое, находим полный интеграл исходного уравнения Ф(х, у, х, а, Ь) =О. П р н м е р 5. Найти полный интеграл уравнения у р — 4=О. Система (5.36) имеет зид (5.31) дх дз др др 2руз 2рзуз,у урз — зрз („урка Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего дз др отношения и получаем интегрируемую комбинацию — = — — , откуда рзуз рзу Р= (5.38) з' а а'у Из уравнений (5.31) и (5.38) находим р= —.
з =- —, откуда дз = з ' з а а'у =- — ах+ — ду. Умножая на 2з и интегрируя, находим полный интеграл з и исходного уравнения з' 2ах+ а'у' + Ь. Зная полный интеграл Ф (х, у, х, а, Ь) = О уравнения РГ(х, у, х. р, д) = О, можно, вообще говоря, решить основную начальную задачу (см. стр. 242) или даже более общую задачу об определении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую, х =х(Г), у =у(Г). х =х(Г). (5.39) Определим функцию Ь=Ь(а) так, чтобы огибающая однопараметрического семейства Ф(х, у, х, а, Ь (а)) =О, (5.
40) определяемая уравнениями (5.40) и дбз дбз — + — Ь'(а)=0, да дЬ (5.41) проходила бы через заданную кривую (5.39). 255 уРАВнения В ЧАстных произВОдных пеРВОГО пОРядкА (Гл. а и подставляя в з(х= р(х. у, х. а)з(х+д(х, у, х, а) а~у, % 41 НЕЛННЕИИЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА т В точках заданной кривой оба уравнения (5АО) и (5.41) по Ь обращаются в тождествз: с(з(х(Ь), у(Ь), г(Ы, а, Ь(а))=0 (5.42) и дФ(х(Г), у(г), л(т), а. Ь(а)) дФ(х(т), у(Г), л(т), а, Ь(а)) да дЬ (5. 43) Однако определить из этих уравнений функцию Ь=Ь(а) было бы довольно сложно. Значительно проще можно определить эту функцию из системы уравнений (5.42) и — х (()-(- — у (Г)-+ — г (Г) =О.
дФ , дФ , дФ (5.44) или в краткой записи (Р) 1)=0, где т — вектор касательной к заданной кривой х=х(Г), у=у(Г), х=х(Ь), (5. 39) а Р) — вектор нормали к поверхности Ф = О, а следовательно, и к искомой огибающей в соответствующих точках. Условие (5.44) геометрически очевидно, так как искомая поверхность должна проходить .через заданную кривую и, следовательно, касательная к этой кривой должна лежать в касательной плоскости к искомой поверхности. П р и и е р 6.
Найти интегральную поверхность уравнения л = рх+ду+ + —, проходящую через кривую у = О, л = х'. Ргг — — 3 4 Полный интеграл этого уравнения (см. случай 4 на стр. 263) имеет вид аЬ л= ах+ Ьу+ —. Уравнение заданной кривой можно написать в пара- 4 метрической форме х = й у = О, л = тз.
Для определения функции Ь = Ь(а) составляем систему уравнений (5.42) и (5.44). которые в данном случае имеют вид Гз = аг+ — и 2т = а, откуда аЬ 4 аз Ь вЂ” а, з = а (х — у) — †. Огибающая этого семейства определяется 4 ' уравнениями аз ' = а(х- у) — -~- а — у — ю =о. Исключая а, получим л (х — у)'. Если система (5.36) (стр. 265) легко ннтегряруется, то для решения поставленной обобщенной аадачи Коши очень удобен излагаемый ниже метод характеииетик — метод Коши. Интегральную поверхность г =г(х, у) уравнения Р (х, )>, х, р, 6) = О, проходящую через заданную кривую хо = хо (е) Уо =- Уо (е) го = го (з) можно, как и для квазилннейного уравнения (см, стр. 247), представлять себе состоящей иа точек, лежащих на некотором однопараметрическом семействе кри- вых х=х([, з), у=у>(г, з), г= г(г', з), где з — параметр семейства, называемых характерису=е>ге,' тиками.
=ггтг/ Вначале мы найдем семейство характеристик, зависящее от нескольких параметров, а затем, проводя характеристики через точки кривой хо = хо(е) уз = уо(з) го = го(е) Рис. 5,4. и удовлетворяя еще некоторым условиям, выделим однопараиетрическое семейство кривых, в которых параметром можно считать е: х=х(~, е), у=у(г, е). г=г(8, е) крнных, и образует кратких чертах идея (рис. 5.4).
Множество точек, лежащих на этих искомую интегральную поверхность. Такова в метода Коши. Пусть х = г (х, у) является интегральной пения поверхностью урав- (5.45) >ч(х, у, г, р, д) = О, Тогда, дифференцируя тождество (5.45) по х и по у, получим Ре+ Реь+ РР +Р дл да гт+ аг,+ге — „-[-~,—,=0. 268 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО поРядкА [Гл. з НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или, так как — = — будем иметь дй др дх ду ' (5.46) Уравнения характеристик для системы уравнений (5.46), квазилинейной относительно р и су, причем г считается известной функцией от х и у, имеют внд (см, стр. 254) дх Еу Ер ЕŠ— — — — — йс. (5.47) Так как г связано с р и 4 уравнением с(г = р йх + д йу, (5.
48) то вдоль характеристики ее ех = Р ее +су йе = Реп+осе или = йс, (5.49) рре+ дре что дает возможность дополнить систему (5.47) еще одним уравнением (5.49). Итак. в предположении, что г = г (х, у) является решением уравнения (5.45), приходим к системе йх ду Ег Ер йг Из уравнений (5.50) можно, не зная решения г = г(х, у) уравнения (5 45), найти функции х = х (Г), у = у (с), г = г (с) Р = Р (с) (( = Ч (с) т. е. можно найти кривые х =х(с), у =у(Г), г=г(Г), называемые характеристиками, и в каждой точке характеристики найти числа р= р(Г) н 4 =4(с), определяющие направление плоскости Š— г = р (Х вЂ” х) + д(У вЂ” у), (5,5!) Характеристика вместе с отнесенной к каждой ее точке плоскостью (5.51) называется характеристической полосой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
