Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(Г го1Г)=0. Замечание. Условие (Г го1Г)=0 называется. также условием интегрируемости уравнения Пфаффа Рг(х+() ггу+ )с г(а = 0 одним соотношением У(х, у, а)=с. Иногда требуется определить не поверхности, ортогонзльные векторным линиям поля Г, а линии, обладающие тем же свойством, лругнми словами, надо проинтегрировать уравнение Пфаффа не одним, а двумя соотношениями: 258 кялвняння в частных пяонзводных ивяного пояядкл должен быть равен нулю по любому пути (в том числе и по незамкнутым путям). Рассмотрим всевозможные вихревые поверхности, т. е. векторные поверхности поля го(Г. Очевидно, что в силу теоремы Стокса ~ Г с(г = ~ ~ го(Г ° пььо, где г(г = ! гьх+! ьтуь+ )г аг, и интеграл (5.24) по любому замкнутому пути на вихревой поверхности равен нулю (так как скалярное произведение единичного вектора нормали к поверхности п и вектора го! Г равно нулю), Выберем теперь среди вихревых поверхностей те, на которых все интегралы ~ Г ььг= ~ Рь(х+ Яьь'у+ )саьг по незамкнутым путям также равны нулю.
Для построения такой пью. 5.2. поверхности, проходящей через за- данную точку М(хе, уе, ге), проведем через зту точку М какую-нибудь линию, ортогональную векторным линиям поля Г. Такие линни определяются уравнением г> с(х + г,> г(у + гс ггг = О, (5.2!) к которому добавлено уравнение произвольной проходящей через точку М поверхности г = у'(х, у) (чаще всего уравнение втой поверхности берут в виде г = /ь(х) или г гз(у) или даже в виде г = а, где а — постоянная).
Подставляя г = у (х, у) в (5.2!), получим обыкновенное уравнение вида М (х, у) ьь'х+ Дг (х, у) ду = О, интегрируя которое и учитывая начальное условие у (хе) = уц, получим искомую кривую (, проходящую через точку М (хщ у„, ге) и ортогональную векторным линиям (рис. 5.2). Если эта линия не является линией вихря, то, проводя через каждую точку линии ! линию вихря, получим искомую поверхность 5, ортогональную векторным линиям поля Г, Действительно, взяв любую незаикнутую кривую Ь на поверхности 5 (рис. 5.2) и проведя через ее граничные точки вихревые линии до пересечения с кривой ( в точках р, и рю получим замкнутый контур, состоящий из отрезка линии ! между точками р, и ря. кривой А н двух вихревых линий. 259 УРЯВНРННЯ ПФАФФЯ $ 3! Криволинейный интеграл ~ Рс(х + ЯНу + )7гтг.
взятый по этому с замкнутому контуру С, равен нулю, так как контур лежит на вихревой поверхности, причем тот же интеграл, взятый на отрезке дуги ), и по отрезкам вихревых линий равен нулю, так как дуга ! и вихревые линии ортогональны векторным линиям поля Г (вихревые линии ортогональны векторным линиям поля Г в силу условия (Г ° го! Г] = 0). Слеловательно, интеграл ~ Рг!х + аду + й Нг по произаольно выбранному нами незамкнутому пути (. равен нулю, т. е. поверхность 5 является интегральной поверхностью уравнения (5.2!), проходящей через заданную точку т!.
Этот метод доказательства достаточности условия (Г го! Г) = О для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям поля Г, о.щовременно указывает путь, правда не кратчайший, для нахождения этих поверхностей. Пример 1, г их + (х — у) .(у + гу яг = О. Условие (Р го! Г) = О гле Г = г! -1-(х — у))+ ухй. не выполнено, следовательно. рассматриваемое уравнение не интегрируется одним соотиоглением Пример 2. (бх -1- уг) гх + (хг — 2у) ~ту + (ху + 2г) лг О. Так как го! Р— О, где Р (бх+ уг) !+(хг — 2у))+(ху+2г) й, го Г йтаб(У, где (л, у, г! (у ~ (Ох+ ух) их+ (хг — 2у) ву+ (ху+2г) вг.
!о, в, в В качестве пути интегрировакия выбираеи ломаную, звенья которой параллельны осям координат. Интегрируя, получаем (т' Зх' — уз+ гл+ хуг, и следовательно, искомым мнтегралом является Зхл — уз+ г'+худ с. Пример 3. у ах+йхгду+хуаг-о, Р уг(+ 2хг)+ худ, гот à — х)+ гй. Условие интегрирусмости !Г пн Г) = О выполнено. Находим на какой- нибудь поверхности наприиер на плоскости г = 1, кривые, ортогональные векторным линиям .=- ! уел+ахну О, хуз а.
Проводим через кривыс ссчсйс~ва г =- 1 .туз == а вихревые поверхности, для чего интегрируем сисзсиу южинский вихревых линий гл,:у гг — 0 !7я 250 уРАВнения В частных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА 1Гл, 3 Исключая х, у и л из уравнений л = 1. ху' —.— а, у = сь хл = с,, получаем с,с = а, Следовательно, искомый интеграл исходного уравнения имеет я вид хуал а. За м е ч а н не.
Другой, обычно применяемый метод интегрирования уравнения Пфаффа Р(х, у, з) с(х + Г',Г (х, у, з) ду + 77 (х, у, л) дг = 0 (5.21) заключается в том, что временно считаю| а (или другую переменную) постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение Р(х, у, л)дх+(з(х, у, з)г(у=О, (5.25) в котором х играет роль параметра. Получив ивпеграл уравнения (5.25) (/(х, у.
Е)= с(з), (5.26) в котором произвольная постоянная может быть функцией параметра л, подбирают эту функцию с(л) так, чтобы удовлетворялось уравнение (5.21). Дифференцируя (5.26), получим д(7 д(7 Г д(7 — г(х+ т(у+ ~ — — с'(г)~ Фз = 0 дх ду ~ дл (5.27) Коэффициенты при .шфференциалах переменных в уравнениях (5.21) и (5.27) должны быть пропорциональнымп д(7 д(7 дГ/ — — — — с' (л) дх ду дл Р О 17 д(7 д(7 — — — с' (л) дх дг Из уравнения — = Р 17 можно определить с'(х), так как можно доказать, что при выполнении условия (Р ° го1 Г) = О ато уравнение содержит лишь л, с'(л) и (7(х, у, г) =с(г).
ф 4. Нелинейные уравнения первого порядка (5.28) где дл дл р= 9= — ° дх ' ду ' Дифференциальное уравнение (5.28) в каждой точке (х, у, г) той области, в которой изменяются первые три аргумента, устанавливает Рассмотрим сначала случай, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных.
Уравнения в частных производных первого порядка с тремя переменными имеют вид нвлинвпныв квавнвння пвввого повядкл 251 зависимость гр(р, д) = О между числами р и д, определяющими направление нормали )ч(р, д, — 1) к искомым интегральным поверхностям г= г(х, у) уравнения (5.28). Таким образом, направление нормали к искомым интегральным поверхностям в некоторой точке (х, у. г) ие определяется точно, а лишь выделяется однопараметрическае семейства везмвжных направлений нормалей — некоторый конус лопустимых направлений нормалей Х(р, д, — 1), где р и д удовлетворяют уравнению ф(р, р) =0 (рис. 5,3), Следовательно, задача интегрирования уравнения (5.28) сводится к нахождению поверхностей г = г (х, у), нормали к которым были бы в каждой точке направлены по одному из допустимых направлений конуса нормалей в этой точке.
Исходя из этой геомет-,т рической интерпретации, Рнс. 5.3. укажем метод нахождения интеграла уравнения (5.28), зависящего от произвольной функции, если известен его интеграл Ф(х, у, г, а, Ь)=0, который зависит от двух параметров а и Ь. Интеграл Ф(х, у, г, а, Ь)=0 уравнения (5.28), зависящий от двух существенных произвольных постоянных а и Ь, называется полным интегралом. Так как исходное дифференциальное уравнение (5.28) налагает ограничения лишь на направление нормалей к искомым интегральным поверхностям, то каждая поверхность, нормали к которой совпадают с нормалями к интегральным поверхностям в тех же точках, будет интегральной поверхностью. Слеловательно, интегральными поверхностямн будут огибающие двухпараметрического или однопараметрического семейства интегральных поверхностей, так как нормаль к огибающей совпздает с нормалью к одной из проходящих через ту же точку интегральных поверхностей семейства.
Огибающая двухпараметрического семейства интегральных поверхностей в предположении существования ограниченных частных произ- ОФ оФ оФ водных —, —, —, не обращающихся в нуль одновременно, дх ' ду ' дг ' дФ дФ и существования производных — и — определяется уравнениями да дЬ Ф(х, у, г, а,Ь)=0, — =О. — =О. ЬФ дФ да ' дЬ (5. 291 252 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА !Гл. а Выделяя из двухпараметрнческого семейства интегральных поверхностей Ф(х, у, г, а, Ь)=0 произвольным способом однопараметрическое семейство, для чего считаем Ь произвольной дифференцируемой функцией параметра а, и находя огибающую однопараметрического семейства Ф(х, у, г, а, Ь (а) ) = О, мы также получим интегральную поверхность.
Огибающая этого однопараметрического семейства в предположении существования ограниченных производных функции Ф по всем аргументам и не обрзщения в нуль одновременно дФ дФ дФ производных — , — , — определяется уравнениями дх ' ду ' дл Ф(х, у, г, а, Ь(а))=0 и — (Ф(х, у, г, а, Ь(а))] =0 д или Ф(х. у, г, а, Ь(а))=0 и — д-+ —.Ь'(а) =О. (5.30) дФ дФ Эти два уравнения определяют множество интегральных поверхностей, зависящее от выбора произвольной функции Ь=Ь(а). Наличие в уравнениях (5.30) произвольной функции, конечно, не дает права утверждать. что уравнения (5.30) определяют мнежество всех без исключения интегральных поверхностей исходного уравнения (5.28); например, это множество, вообще говоря, не содержит интегральной поверхности, опрелеляемой урзвнениями (5.29), но все же наличие в уравнениях (5.30) произволы<ой функции обычно уже позволяет выделить интегральную поверхность, удовлетворяющую заданным начальным условиям Коши (см.
стр. 242). Итак, зная полный интеграл, уже можно построить интеграл, зависящий от произвольной фуш<ции. Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает затруднений, например: 1) Если уравнение (5.28) имеет вид Ь'(р, 8) = О или р = <р(4, то, полагая <г = а, где а — произвольная постоянная, получаем р = ф (а), йг = р йх + <г йу = <р (а) йх+ а йу, откуда г =<у(а) х+ ау+ Ь вЂ” полный интеграл. 2) Если уравнение (5.28) может быть приведено к виду <р, (х, р) = =<рэ(у, <т), то, полагая <р<(х, р) =<ря(у, <)) =а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
