Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Найти область устойчивости. ГЛАВА 5 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА $ 1. Основные понятия Как уже отмечалось во введении (стр. 10), дифференциальными уравнениями е частных производных называются дифференциальные уравнения, в которых неизвесгные функции являются функциями более чем одной независимой переменной. Очень многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнение ( — ) +~ — ) +~ — ) =п(х, у, е) описывает распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления п(х, у, е); уравнение ди д'и аз дт дх' описывает изменение температуры стержня; уравнение д'и д'и — = п'— ар дх' являе~ся уравнением колебания струны; уравнению Лапласа дьи дьи д'и — + — + — =О дх' ду' дхь удовлетворяет потенциал поля в областях, не содержащих зарядов, н т. д.
В этой главе мы кратко рассмотрим лишь методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных уравнений. Уравнениям в частных производных более высокого парилка. интегрирующимся' совсем иными методами, посвящается отдельнаи книга серии.
16 л. в, эльсгалья 242 трлвнения в частных производных первого порядка (гл.ь рассмотрим несколько простейших примеров. Пример 1. ч* у +Х. дг(х, у) ах Интегрируя по х, получаем хя в(х, у) ху+ — +и(у), где е(у) — произвольная функция у. Прим ер 2. гпг(х, у) д ~дг1 дх ду =*О илв — ~ — 1 О ,дх 1ду ~ дг Интегрируя по х, получаем — = е(у), где к(у) — произвольная функция у. ду Интегрируя теперь по у, получим в = ~ ~р (у) ау + и, (х), где о,(х) †произвольн функция х. Или, обозначая з (у) иу = в (у) окончательно будем иметь г(х, у) =<р, (х)+е,(у), где к,(у), в силу произвольности функции е (у), тоже является произволь- ной дифференцируемой функцией у.
Приведенные примеры наволят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных произволных первого порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р-го порядка, вероятно, зависит от р произвольных функций.
Эти предположения оказываются справедливыми, но нуждаются в уточнении. Для их уточнения сформулируем теорему С. В. Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных, Теорема о.у (гнеорема Ковалевской). Существует единственное аналитическое в окрестности точки хю, хгз, ..., х„з решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка дхгв ( ~ * " дхт дхгг * дхл1 ~ дхг дх, дхг дгх длв |~ дхаз дхл ~ 243 ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 21 удовлетво ряюсцее условиям дг ПРи Х Х1О г РО (Х2 Ха Хе) Рс (Хг ХЫ Хр) дР-1 ..., †„ , = 1Рр ,(хю хз, ..., х„), 1 если функции сро, срс, ..., фр, являются аналитическими функциями в окрестности начальной точки хго, хзо, ..., х„о, а Г" является аналитической функцией в окрестностсс началь- НЫХ ЗпаЧЕНий СВОиХ аргуМЕНтОВ ХЮ, Хзз ° Хоь гО= ='ро(хго хзо ° ° хро) (-::)='" ""' Ф)=(Ж Решение определяется заданием начальных функций цо, сос, ...
..., ср 1, произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходного уравнения (А), зависящую от р произвольных функций. Доказательство этой теоремы, требующее применения теории аналитических функций, мы опускаем. й 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Линейным неоднородным уравнением или квазилинейнылс уравнением первого порядка в ~астных производных называется уравнение вила дг дг Хс(хс, хг, .... х„, г) — + Хг(хн х„..., х„, г) > + дх, дхс дг ... + Хо(х„хг, ..., х„, г) д —— Е(х„хз, ..., х„. г).
(5.1) дхп Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции г. Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты А'с не зависят от г, то уравнение (5.!) Называется линейным однородным. Для большей наглядности геометрической интерпретации рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменныии: (х у ) д +Сь)(х у г) д =)С(х у г) дг дг дх ' ' ду ФуНКцИИ Р.
С;С И )Ас будЕМ СЧИтатЬ НЕПрЕрЫВНЫМИ В раССМатрнзаЕМОй области изменения переменных и не обращающимися в нуль одновременно. 1бч 244 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ь Рассмотрим непрерывное Векторное поле Г = Р (х, у, г)! + Я (х, у, г) ) + й (х, у, г) й, где 1, 1, й — единичные векторы, направленные по осял[ координат. Векторные линии этого поля (т. е. линии, касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпалаюшее с направлением вектора Г в той же точке) определяются из условия коллинеариости вектора 1 =-[с[х +)[[у + [[ Фг, направленного по касательной к искомым линиям, и векторз поля Г: дг Р(х.
у, е) Д(х, у, г) Р(х, у, г) Поверхности, составленные из Векторных линий, точнее, поверхности, целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями (рис. 5.1). Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном, непрерывно зависящем от параметра, однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор [Ч, направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности ортогонален вектору поля Г: (Р[ Г) = О. (5.2) Если векторная поверхность опрелеляется уравнением г = У(х, у), то вектор дг .
ог К= — 1+ — ) — й дх ду и условие (5.2) принимает вил Р(х У г) д + (>[А' У' г) д )1(х У г)' (5.3) дг дг Если векторная поверхность задается уравнением и(х, у, г) =0 ди ди ди и. следовательно, вектор Р[ = — 1 + — / + — й, то уравнение (5.2) дх ду дг приобретает вид 1 (х' У' г) дх + [)(х' У' г) д + )с(х, У г) д —— О.
(5.4) ди ди ди Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (5.3) или линейное одно- ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ родное уравнение (5.4) в зависимости ог того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде. Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнения (5.3) (или (5.4)) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий. Составляем систему дифференциальных уравнений векторных линий <г«<<у Р(х, у, «) <т'(ж у «) <г(«.
у «) (5.5) Пусть ф<(х, у, «) = с, и фз(х, у, «) = с, — два независииых первых интеграла системы (5.5). Выделяем из двухпараметрического семейства векторных линий ф,(х, у, а) = с,, фт(х, у. «) = см называемых харакв<ерисв<икал<и уравнения (5.3) (или (5.4)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую- нибудь непрерывную зависимость Ф(сн ст)=0 межлу параиетрами с, и са. Исключая из системы ф<(х, у, з) = со фт(х, у, «) =ст Ф(сн с,)=0 параметры с< и са, получаем искоМое уравнение векторных поверхностей: Ф(ф<(х, у, г), ф (х, у, «)) = О, (5.6) где Ф вЂ” произвольная функция.
Тем самым найден интеграл квази- линейного уравнения (5.3), аависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля р = Р (х. у, г)) +.АС(х, у, г)) + г<(х, у, «)<г. а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями Ф,(х, у, «) = 0 и Ф,(х, у, «) = О, то функция Ф в (5.6) уже не будет произволь«ой, а определится путем исключения переменных х, у, я из системы уравнений Ф,(х, у, г)=0, Фя(х, у, г)=0. ф<(х, у, «)=сн ф (х. у. «)=с,, которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии Ф,=О и Фа=О, через которую мы проводим характеристики.
определяемые уравнениями ф, (х, у, «) = с,, фт (х, у, «) = ся. Заметим, что задача станет неопределенной, если заданная линия Ф,(х, у. я) = О, Ф,(х, у, «) = 0 является характеристикой, так как в атом случае зту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через вту линию. 246 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА 1ГД. а Итак, интеграл квазилинейного уравнения Р(х, у, г) — +Я(х, у, ») — = гк(х, у, г). д» д» дх ' ' ду зависящий от произвольной функцви, может быть получен следующим методом: интегрируем вспомогательную систему уравнений дх ду Р(х, у.
») ф(х, у, ») Р(х. у, ») и, найдя два независимых первых интеграла этой системы: ф1(х, у, ») = сн фз(х, и, ») =сз, получаем искомый интеграл в виде Ф(ф1(х, у, »), фз(х, у, »))=-О, где Ф вЂ” произвольная функция. уравнение интегральной поверхности того же квазилинейпого уравнения, проходящей через заданную линию, определяемую уравнениями Ф, (х, у, ») = 0 и Фз (х, у, ») = О, можно найти, взяв упомянутую выше функцию Ф не произвольно, а определив функцию Ф(сп сз) путем исключения х, у, » нз уравнений Ф,(х, у, »)=О, Фз(х, у, »)=О, йй (х, у, ») = с,, фз(х, у, ») = сз, в результате чего получим уравнение Ф(сн с,)=0, и искомым интегралом булет Ф(ф,(х, у, »), фт(х, у, »)) = — О.
П р и мер 1. Определить зависящий от произвольной функции интеграл уравнения д» д» вЂ” + — =Е дх дк Составляем вспомогательную систему уравнений дх = ду = д». Ее первые интегралы имеют вид х — у = сь» — х = сь Интеграл исходного уравнения Ф (х — у, » — .к) = О, где гв — произвольная функция, илп в раз- решенном относительно » виде » = х + ф(х — у), где и — произвольная дифференцируемая функция. При мер 2.
Найти интегральную поверхность уравнении д» д» х — — у — =О, ду дх проходящую через кривую х = О, » = у', Интегрируем систему уравнений дх ду д» вЂ” у х О откуда»= си х'+ у'= се Исключая х. у и» из уравнений х'+у'=с,, »=си х=о, »=у', получаем с, с,, откуда»=х'+уд ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 247 П р и и е р 3. Найти интегральную поверхность того же уравнения д« д« х — — у — =О, ду дх проходящую через окружность « = 1, х'+ уо = 4. (5.7) Так как заданная линия (5.7) является векторной линией (характеристикой), то задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения «=по(хо+уз), ось вращения которых совпадает с осью 0». Очевидно, существует бесконечное множество таких поверхностей вращения, проходящих через окружность (5.7), например пзраболоиды вращения « = = х'+ у' — 3, 4« = х'+ у', « = — х' — у'+ 5, сфера х'+ у'+ «' = 5 и т.
д. Если уравнение кривой, через которую требуется провести интегральную поверхность уравнения (5.1,) дано в параметрической форме: хо = хо(а) уо = уо(з) «о = «о(з) то обычно и решение удобно искать в параметрической форме: х = х (г, о), у = у (д з), « =- «(д о). В систему (5.5), определяющую характеристики, вводим параметр Г, полагая дх ду д« Р(х, у, «) 7(х, у, «) 77(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
