Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Зададим е ) О. При достаточно маяом с ) О поверхность уровня о = с целиком лежит в е-окрестности начала координате), но не проходит через начало координат, следовательно, можно выбрать б ) О такое. что б-окрестность начала ') Точнее. по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности уровня о = с лежит е в-окрестности начала координат. 2!б твояия ястопчивостн 1Гл. 4 координат целиком лежит внутри поверхности о=с, причем в этой окрестности о ч. с. Если начальная точка с координатами х, (1е) (1 = 1, 2, ..., а) выбрана в Ь-окрестности начала коорлинат (рис. 4.! 1) и, следовательно, о(х4(се), хт(се), ..., Х„(Се) )=с, ч.
с, то при г ) 1е точка траектории, определяемой этими начальными условиями„не может выйти за пределы е-окрестности начала координат и лаже за пределы поверхности уровня о=с, так как, в силу аг Рис. 4.10. Рис. 4.11. условия 2) теоремы, функция о вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при 1 )» 1с о(х,(Г), х, (1), ..., Х„(1)) (с, (с. Замечание. А. М. Ляпунов доказал теорему об устойчивости в более общих предположениях, в частности, он считал, что функция о может зависеть и от 1! о=о(Г, хп хю ..., х„). При этом для справедливости теоремы об устойчивости первое условие надо заменить следующим о (1 х! хю» хи) )» тв (х! хэ хч) )» 0 в окрестности начала координат при г)»тэ, где непрерывная функция тэ вмеет строгий минимум в начале координат, о(1, О, О, ..., 0) = 4!Э =в(0, О...., 0)=0, а второе условие остается прежним — с.О, 4(Г но только в атом случае и а'е дв %ч де лг= — „+г,ъ-~« 'х'"" .) 4=! 217 втояои мвтод л м ляпунова Зз) Схема доказательства остается прежней, надо галька принять во внимание.
что, в силу условия !), подвижная при изменяющемся г поверхность уровня о (Е х,, хг, ..., х„) = с остается при всех изменениях 1 )~ (о внутри поверхности уровня го(х,, х, ..., х„) = с (рис. 4.!2). Теорема А2 (теорема Ляпунова об асимптотической усгпайчивосии. Если существует дифференцируемая функция Ляпунова о(хн хо, ..., «„), удо- г влетворяющия условиям: !) о(хц х,, ..., х„) имеет Т - -= макей строгий минимум в начале координат: о(0,0, ..., 0) =0; 2) производная, функции о, вычисленная вдоль интегральных кривых системы (4.14) до дг е 'ь'ч до = ыг — Д,(8, хц х,, ..., х ) < О, йе дх, причем вне сколь угодно малой Рис. 4.12. окрестности начала коорди- е и а т, т. е.
и р и Хг хг )~ б1 ) О, Г ) То ) го, производная — < — р < О, (=! о- о д( где (1 — постоянная, то точка покоя х,=О ((= 1, 2, ..., п) системы (4.14) асимптотически устойчива. Л о к а з а т е л ь с т в о. Так как условия теоремы об устойчивости выполнены, то для каждого е ) 0 можно подобрать б(е) ) 0 такое, что траектория, начальная точка которой находится в б-окрестности начала координат, при 1 )~ (о не выходит за пределы е-окрестности начала .координат. Следовательно, в частности, вдоль такой траектории при г' ) То выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция о монотонно убывает с возрастанием Г, и вдоль траектории существует предел функции о при г — ь со: 11гл о(1, «,((), хг(!), ..., «„(Г)) =а )~0. г.чс Надо докааать. что а=О, так как если а=0, то из условия 1) следует, что !пп х,(1)=0 (г=!, '2, ..., и), т. е.
точка покоя г.+л х,=О (1=1, 2, ..., и) асимптотически устойчива. Лопустим, что и ) 0; тогда тРаектоРиЯ пРи Г ) го находитса в области о )~ а', слеловательно, вне некоторой б,-окрестности начала координат, т. е. (гл. 4 ТЕОРИЯ УСТОПЧИВОСТИ 218 ио там, где по условию 2) — ( — (1(О при г>)Т . умножая неравенство йг о ио йг — ( — () на Ж и интегрируя вдоль траектории в пределах от Т, до 1, получим: О (Х2 (Г) Хг (() Ха (Г) ) О (Х1 (Ть) Хг (ТЕ),, Х (Т ) ) ( (1 (~ То) или о(х~(")х2(С)х())( ( о(х, (Те), хг (Те), ..., х„(Тв) ) — (1(1 — Те), При достаточно большом ! правая часть отрииагельна, а следовательно, и о(х,(1), хт(!), ..., Х„(г)) (О, что противоречит условию 1). 3 а м е ч а и и е.
Теорема об асимптотической устойчивости обобщается на случай фуикиии и. завясящеи от Е хп х, ..., х, если первое условие, как и в предыду- .2~~ щей теореме, заменить следующим: о(2, хп хг, ..., х)) )~ш(хп хт, ..., Х„) )~0, где функиия ш имеет строгий минищ чум в начале координат, и, кроме того, потребовать, чтобы функция о(Е хп х,, ..., х„) равномерно относительно ( стремилась к нулю при ~г хг,-ьО. ~-\ Рис. 4.13. Теорема 4.3 (теорема Че- таееа о неустойчивости).
Если существует дифференцируемая функции о(х,, хя, ..., х„), удовлетворяющая е некоторой замкнутой й-окрестности начала координат условиям: 1) в сколь угодно малой окрестности (/ начала координат существует область (о > 0), в которой о > О, причем о =0 на лежащей е (г части границы области (о ) 0); 2) е области (о > 0) производная Т2 (г ХР Хг Хь) ) О йо %т до Дх ! ' Р 2' ио причем е области (о,ьа), о > О.
производная — )~р) О, то йгточка покоя х2= — О (г'= 1, 2, ..., и) системы (4.!4) неустойчива. 219 ВТОЛОН метол А м ляпунОВА 1( о к а а а т е л ь с ~ ~ о. 11ачаль кую точку х, (ге), хя ((е), ° ° ° хл (ао) возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области (о > О), о(х,(ае), ха(1е), ..., Х„((е))=а> О (рис. 4.13).
Так как ля вдоль траектории — > О. то функция О вдоль траектории не убыЛг вает, и следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую й-окрестность начала координат, где выполнены условия теоремы, траектория должна находиться в области (и > а). Допустим, что траектория не покидает й-окрестности начала координат.
Тогда в силу ле условия 2) вдоль траектории при 1) 1 производная — „)~Д > О. Умножая это неравенство на Ю и интегрируя. получим: О (хг (~) хт (~) хл (1) ) Я (х1 (1в) ха (аа) хе (~е) ) )~ ( ( ~в) откуда следует, что при 1 — ь сю функция и вдоль траектории неограниченно возрастает, что находится в противоречии с предположением о том, что траектория не выходит за пределы замкнутой й-окрестности начала координат, так как в этой й-окрестности непрерывная функция о ограничена.
Замечание. Н. Г. Четаев доказал теорему о неустойчивости в предположении, что и может зависеть также и от а, при этом условия теоремы несколкко изменяются и, в частности, приходится требовать ограниченности функции и в области (и )~ 0) в рассматриваемой й-окрестности начала координат. П р и и е р 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: — = х — уд лт Функция э (х, у) .= х'+ у' удовлетворяет условиям теоремы А.
М. Ляпунова об асимптотической устойчивости: 1) в(х, у) >О. У(0. 0) = 0; я'в 2) — = 2х( — у — х')+ 2у(х — уа) = — 2(х4+ у') (О. Вне окрестности лт лв начала координат — < — 'р < О. Следовательно, решение х О, у~оасимп- Ш тотическн устойчиво. П р и и е р 2.
Исследовать иа устойчивость тривиальное решение х ья О, у — 0 системы: ях, Лу — — ху', — = ух'. лг л'г Функция в(х, у) = х'+ у' удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости; 1) в(х, у) = ха+у'>О. Я(0, О) 0; 2) — — 4х'у'+ 4х'у' ~ О. ва ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [Гл, з Следовательно, тривиальное решение х=О, у 0 устойчиво.
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х — О, умлО системы уравнений дх уз+ тз д( — =х +у'. '(у з д( Функция о= х' — у" удовлетворяет условиям теоремы Н. Г. Четаеваз 1) о>0, при )х)>~у(; 2) 4хз (уз+ха) 4уз (ха+уз) 4 (хз уз) >О при 1х1> /у1, М до причем при о>а> О, — ~~О > О. Следовательно, точка покоя х=О. у='0 ' д( неустойчива. П р и м е р 4. Исследовзть на устойчивость тривизльное решение х, = 0 (1 =- 1, 2, ..., и) системы уравнений дхг дн(х,, хь ..., х„) д( дхз если дано, что функция и(хь х,, ..., х„) имеет строгий максимум в начале координат.
В качестве функции Ляпунова возьмем разность о(хь х,, ..., хл) = и(0, О, ..., 0) — н(хь х,...., хл), которая, очевидно, обращается в нуль при хг= 0((= 1, 2, ..., п), имеет строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интегральных кривых 1=! 1=1 Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно, тривиальное решение устойчиво. Пример 5. Исследовать на устойчивость тривиальное рещение х,=О (1 = 1, 2, ..., л) системы уравнений л ах, ът — аз (() хд где аз)(Г) = — ат(() при 1~/ и зсе ап(Е) (О. 1=1 л Тривиальное решение устойчиво, так как функция о = ~~ хз удовлетвоз=1 ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости: !) о>Оно(0,0, ..., 0) — 0; л л 2) — = 2 т Хг — „= 2 Ллтд аы (Т) Х1Х) = 2 ЛТМ а;1 (() Хг ц, О.
1=1 ) =1 221 исследование нл встопчнвость ф 4. Исследование ив устойчивость по первому приближению При исследовании наустойчивость точки покоя х,=О(!'=1, 2, ..., и) системы дифференциальных уравнений — ' = У! (г, хп хг, ..., х„) (1= 1, 2, ..., и), (4.14) где Г! — дифференцируемые в окрестности начала координат функции, часто применяется следующий метод: пользуясь дифференцируемосгью функций г'!(Е хп хг, ..., х„), представляют систему (4.14) в окрестности начала координат х, = 0(!' = 1, 2, ..., и) в виде ч — '= ч а; (г)х +й!(Е хг, х, ..., х„)(1=1,2, ..., и), (4.15) !=1 ,Г ч где А!! имеют порядок выше первого относительно ~/ ~я хг, и !=! вместо точки покоя х, = — 0 (! =- 1, 2, ..., п) системы (4.15) исследуют на устойчивость ту же точку покоя линейной системы дх! чт — '= у а, (Г)х (!'=1, 2, ..., и), /=1 (4.16) называемой системой уравнений первого приближения для системы (4.15).
Условия применимости этого метода, которым долгое время пользовались без всякого обоснования, были детально исследованы А. М. Ляпуновым и в дальнейшем расширены трудами многих других математиков, среди которых следует в первую 'очередь отметить работы О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г.
Четаева. Исслелование на устойчивость системы уравнений первого приближения, конечно; является задачей значительно более легкой, чем исследование исходной, вообще говоря, нелинейной системы, однако даже исследование линейной системы (4.16) при переменных коэффициентах а! (!) является задачей весьма сложной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
