Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 30
Текст из файла (страница 30)
а„л) ~Р~ а,.х, /=1 ~ а,!ха !=! ~х~~~ ицхак+ т ! ! ! лй пятхт+ ут /=! за/ системы линеиных диоееяенцилльНЫх квлвненин 183 Равенство матриц означает равенство всех их элементов, следовательно, одно матричное уравнение (3.18) или ф!( йх, йхн й/ ' ,~ а„/х/+ у„ /=/ тогла уравнение (3.!8) еще короче можно записать в виде /. ! Х1 = Р. (3.! 9) Если все 7/(/)=О (1=1, 2, ..., и), или, что то же самое, матрица Р = О, то система (3.17) называется линейной однородной. В краткой ааписи линейная однородная система имеет вид /.1Х) = О.
(3.20) Оператор /. обладает следующими двумя свойствами: 1) /.(сХ1= с/,(Х1, где с — произвольная постоянная. 2) /.(Х, + Х 1=/.(Х,1+/.(Х~). Действительно, — — А(сХ)= — с~ — — АХ~, й (сХ) г йХ й/ ( й/ ~-'в — — '- — А(х,-~-х ) ( — ' — Ах!.ь ! — ' — Ах ) вквивалентно системе (3.!7). Если все функции а,/(/) и 7',(/) в (3.17) непрерывны на отрезке а «(/ (Ь, то в достаточно малой окрестности каждой точки (/з, хю, хю, ..., х„з), где а (/з (Ь, выполнены условия теоремы существования н единственности (см.
стр. !69) и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.17). Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы (3. 17) непрерывны, и их частные производные по любому х/ ограничены, так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке а ~/ (Ь коэффициентам а,/(/). Определим линейный оператор /. равенством /.!Х1= "„Х вЂ” АХ, 1гл. а СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Следствием свойств 1) и 2) является и! ы Е ~Х с,Х 1 = — Х с,1.
[Х,!. г=! г-! гле с, — произвольные постоянные. Теорема 3Л. Если Х является решением линейной однородной системы Е[Х[=0, то сХ, где с — произвольная постоянная, является решением той же системы. Доказательство. Дано Е[Х[= 0, надо доказать, что Е [сХ! ж О. Пользуясь свойством 1) оператора 1., получим Е1сХ1= сй [Х! = О. Теорема 3.2. Сумма Х,+Ха двух решений Х, и Х однородной линейной системы уравнений являегися решением той же системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано 1. [Х,1 в = 0 и Е [Хз[ =— О. Требуется доказать, что Е [Х, + Хя! — = О. Пользуясь свойством 2) оператора Е, получим Е[Х, +Ха[= — Е[Х,1+С[Ха[=0. Следствие теорем 3.1 и 3.2. Линейная комбинация ~~~ с,Х, !=1 с произвольными постоянными коэффициентами решений Х,, Хи ..., Хы линейной однородной сиспгемы Е [Х! = 0 является решением той же системы.
Теорема 3.3. Если линейная однородная система (20) с действительными коэффициентами аО [1) имеет комплексное решение Х=[г+1[г, то действительная и мнимая части и, иг и„ в отдельности являются решениями той же системы. Доказательство. Дано е[[.г+1ь'[=О 1!зло доказать, что А[У[=0 и Е[[г[=0. Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Е, получаем Е[[У+Щ=— Е[и[+и[[г[=О. Следовательно, Е[[г[=0 и Е[[г[=0.
смстямы лиияиных дмиояпяныилльных хи*анании 133 Векторы Хм Хя... „Х„, где хы (1) хю (1) х,= х„, (1) называются линейно зависимыми на отрезке а (1 (Ь. если существуют постоянные ям пм ..., а, такие, что а,Х, + а,Х -1- ... +алՄ— = О при а (С (Ь, причем по крайней мере одно а; Ф О. Если же тождество (3.21) справедливо лишь при а,=на= ... =а,=О, то векторы Хп Х, ..., Х„называются линейно независимыми.
Заметим, что одно векторное тождество (3.21) эквивалентно и тождествам: (3. 21,) ~ а,хги(~) =— О. Если векторы Х~(1=1, 2, ..., и) линейно заансимы и значит существует нетривиальная система а, (т. е. не все и, равны нулю), удовлетворяющая системе и линейных однородных по отношению к а, уравнений (3.2 1,). то определитель системы (3.21,) ~ хцхш...
хгл (р. ' хг1 хгт ... хэ„ ~; хьп х„,". хлл должен быть равен нулю для всех значений С отрезкз а 1 (Ь. Этот определитель системы называют определителем Вронского для системы векторов Х,, Хг, ..., Х„. Теорема 3.4. Если определитель Вронского Уе' решений Хп Хэ, ..., Х, линейной однородной системы уравнений (3.20) с непрерывными на отрезке а (1~,д коз44ициентами аы(1) равен нулю хотя йы в одной точке 1 =Се отрезка ак 1 (Ь, то решения Хп Х,, ..., Х„линейно зависимы на том же ольрезке, и, следовательно, на рассматриваемом отрезке Ф' — О, 18б СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНГН1АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. з Доказательство. Так как коэффициенты а1)(Ф) (1, /= 1, 2, ..., л) непрерывны, то система (3.20) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное аначение Х (1р) = 0 (или, подробнее, х, (1р) = О, хз (1р) = О, ..., х„(1р) = 0) определяет единственное решение рассматриваемой системы и этим решением, очевидно, является тривиальное решение системы (3.20) Х(1)= — 0 (или, подробнее, х!(1) О, х (1)= — О, ..., х„(1) им 0), Определитель (!' (1р) = О.
Следовательно, существует нетривиальная система с,, с,, ..., с„, удовлетворяющая уравнению с!Х1((р)+ сзХХ(1 )+ ... + Е„Х„(гр)= — О, так как это одно векторное уравнение эквивалентно системе и линейных однородных относительно с1 уравнений с равным нулю определителем: и ~ с1х!1(1р) = О, 1=! П ~~'.; с,хы (1р) = О, 1=! ~! с1х„1(1р) = О. 1=1 Соответствуюшее этой нетривиальной системе с,.
сз, ..., с„решел ние уравнения (3.20) Х(1)= ~с1Х1(1) удовлетворяет нулевым на1=1 чальным условиям Х(Я=О и, следовательно, совпадает с тривиальным решением системы (3.20): ~~с1Х, (1) — = О, 1=1 т. е. Х, линейно зависимы, Замечание. Эта теорема, как показывают простейшие примеры. не распространяется на произвольные векторы ХР Х, ..., Х„, не являющиеся решениями системы (3.20) с непрерывными коэффициентами. Пример 1. Система векторов Х! ! )~ и Хз линейно независима, так как из а, Х, + азХ1 ~ 0 а г1 системы линейных диФФеРенциАльных ХРАВИВИНЙ 187 нля а,г+ агр — О.
а,1+игр ~0 следует, что а, =ил=о (см. стр. 96. пример 1). В то же время определитель гг Вронского ~ ~ тождественно равен нулю. Следовательно, векторы Х, и Хг 12 не могут быть решениями одной н той же линейной однородной систелгм (3.20) с непрерывными коэффициентами аы(г)(1, э'= 1, 2).
Теорема З.б. Линейная комбинация ~„сгХ, и линейно нева!=.1 еисимых решений ХР Хг, ..., Хл линейной однородной системы (3 20) с непрерывными на отрезке а (1 ( Ь коэффициентами аг) (С) яе,гяется оби(им решением системы (3.20) на том же отрезке. Доказательство. Так как коэффициенты аы(1) непрерывны на отрезке а ( 1 ( Ь, то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности н, следовательно, для доказатель- ства теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных с, л в решении ~ с,Х1 можно удовлетворить произвольно выбранным 1=! начальным условиям Х (Ге) = Хе, х!а ! хге хле где 1а — одно из значений 1 на отрезке а (1(Ь, т.
е. можно удовлетворить одному векторному уравнению л Х.,Х,(1,) =Х. 1=! или эквивалентной системе н скалярных уравненийд л Х сгх!1(го) = х!е 1=! ~ с! ха, (Ее) = хям ма Сгклг(га) = Х О 1 1 системы пиФФВРенцилльных уРАВнениЙ !Гл.
в Эта система разрешима относительно с, при любых хее так как определитель системы является определителем Вронского для линейно независимой системы решений Хи Хт, ..., Х„и, следовательно, не обращается в нуль ни в одной точке отрезка и ч,'г «',Ь. Пример 2. их — у щ (3.22) Нетрудно проверить, что системе (3.22) удовлетворяют решения к, сов!. у, = — и!и! и х,=з!пс, у,=сов! Эти решения линейно независимы, тзх как определитель Вронского соз ! — 3!и ! ~ ! =1 Ыл! соз ! отличен от нуля. Следовательно, обп!ее решение имеет вид х= с! соз С+ с 3!ПЕ у = — с, зш ! + с, соз с, где с, и с,— произвольные постоянные. Теорема 3.6.
Если Х является решением линейной неоднородной системы Е)Х) = Р. (3.19) и Х, — решением соответствук!щей однородной системы Е)Х1=0, то сумма Х!+Х также будет решением неоднородной системы Е)Х1= Р. д о к а з а т е л ь с т в о, дано, что Е )Х1= Р и Е )Х!1 — О. Надо доказать, что 81Х, + Х)ив ш Р. Пользуясь свойством 2) оператора с., получим (.)Х, + Х)=Е)Х,) + б)Х) Р. Теореми о.7. Общее решение но отрезке и (У~Ь неоднородной система (3.19) с неиреравнами ни том же отрезке ковсбфициентими иш(у) и провами чистями у!(г) равно сумме ч общего решения ~ С,Х,. Соответствующей однородной системы ! ! и частного решения Х риссмитривиемой неоднородной системы. 11 о к а ватель с та о, Так как условия теоремы существования и единственности выполнены (см.
стр. 183). то аля доказательства теоремы лостаточно обнаружить. что полбором произвольных по- стояиных е, е решении Х = ~ е,Х, + Х можно удовлетворить 1 1 произвольно заданным начальным условиям хю Х20 Х (20) Хо ! хоо т. е. надо показать, что одно матричное уравнение ~~ 0,.Х,(г,)+ Х(г„) =Х, нлн вквиеалентнаа система уравнений ~ с, х!! (1 0) + х, (~о) = хьо 1=1 Х 01х21 (~о) + х2 (то) — хоо* 1=1 (3.23) Х огхш(то) + хо (то) = хоо всегда имеет решение сн еа, ..., е„, каковы бы ни были правые части. Оанако в такой форме зто утверждение очевидно, гак как опрелелитель системы (3.23) является опрелелителем Вронского в точке 2=10 Ддя линЕйнО независимыХ Решений Хн Х, ..., Х„ соответствуюшей однородной системы и по теореме-3.4 отличен от нуля. Следовательно, система (3.23) имеет решение ен с,...., е„ нри любых правых частях.
Теорема 3.8 (принцип еумериозиг(ии). Решением система линейных уравнений Ун (г) У21(й) ЦХ1 ХР1 Р1 1 1 ам снстямы лнняиных днеэвяенннлльных твлвнвнни )89 190 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. з является сумма ~ Х, решений Х, уравнений !=! Е[Х<[= р! (1=1, 2, ..., т). Доказательство. Дано Е[Х,]= — г"1 (1=1, 2, ..., т).
Надо доказать, что Е ~' Х, ~~УРН Используя свойство 2) оператора Е, получим 1 т 1 т т Е1Х Х,.1=~чл Е[Х,]= ч~ Ры Замечание. Теорема 3.8 оез изменения доказательства, очевидно, распространяется и на тот случай, когла т -ь оо, если рял ~! Х, сходится и попускает почленное дифференпнрование. г=! Теорема З.У. Если си<тел!а линейных уравнений Е[Х[=Е<+![' где о !) и, и! о„[ и„ и< (<), о< (С) (Е /=1, 2, ..., я) с действительными функциями а, (Г) имеет решение и, ( о! Х=0+У. й= ! оч то действительная часть решения 0 и его мнимая часть ]< соответственно являются решениями уравнений Е[Х] = Е< и Е[Х] =]г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
