Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 29
Текст из файла (страница 29)
11) 2=2 О В(»2, х,, «„) то система (3.11) в каждой точке рассматриваемой области имеет только тривиальные решения — ' — 22= — О (1=2, 3, ..., и). Их2 лг Принимая во внимание еще (3.72), получаем, что н функций х,, хз, ..., х„являются решением системы уравнений лх2 —,' =,72(1. хн хз..... х„) (1=1, 2, ..., н). Замечание 1. Указанный здесь процесс исключения всех функций, кроме одной, предполагает, что О В (хз хз... °, хе) (3.12) состоящей иэ (а — 1)-го уравнения с а — 1 неизвестными ~ — — 7,) / й'.22 ~ Лг (1=2, 3, ..., л), совпадает с отличным от нуля функциональным определителем ннтягпнвовлннв системы иплвнвннн Если это условие не выполнено, то можно применить тот же пропесс, но вместо функции х, взять какую-нибудь другую из функций хэ, хз, ..., х„, входящих в решение системы (3.1). Если же условие (3.12) не выполняется при любом выборе вместо х, какой- нибудь функции на хэ, хз, ..., х„, то возможны различные исключительные случаи, которые мы иллюстрируем следующими примерами.
Пример 4. зГх, — Л(т хэ) дт дхэ — =уз(Г, хэ). лг — = уз (г «э). Лхз дт Система распалась на совершенно независимые между собой уравнения, каждое из которых приходится интегрировать отдельно. Пример 5. дх, — =/, (д х,), дГ дхэ дУэ =э"э (Г хэ хз) Ф О. дт ' '' ' дхз Лхз — = уз(д хв х,).
е:э' Лва последних уравнения можно указанным выше методом свести к одному уравнению второго порядка, во первое уравнение. содержащее неизвестную функцию хн не входящую в остальные уравнения, надо ннтегрнровать отдельно. 3 а м е ч а н и е 2. Если применить указанный выше процесс исключения всех неизвестных функций, кроме одной, к системе л — = лтя ам (1) х) (1 = 1, 2, ..., и), лхэ %ч г=! называемой линейной однородной, то, как нетрулно проверить, урав- нение а-го порядка (3.8,) тоже будет линейным однородным. причем если все коэффициенты а, были постоянными, то и уравнение (3.8,) будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное 12 л.
э. Эльсгольц 173 системы диееепенциальных уРАВнении (гл. з аамечание справедливо и для линейной неоднородной системы и лхг %ч г у и (7)хг+ ус(1) (1 1 2 гг) /=1 для которой уравнение (3.8,) будет линейным неоднородным уравнением а-го порядка. й 3. Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование систем дифференциальных уравнений схг — „' = (,(С.
хп хг, ..., х„) (с=1, 2, ..., и) (3.1) нередко осуществляется путем подбора так называемых интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (3.1), но уже легко интегрирующееся, например являющееся уравнением вида Э(1, хп х,, )=б или уравнением, сводящимся заменой переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией. Пример 1. лх Лу — =у, — =х.
ж ' с(г Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию л(х+у) + с((х+ у) с'С х+ у откуда 1п(х-1- у1 = 1-(- !и с,, х -1- у = се', Почленно вычитая нз первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию л( — у) с' (х — у) = — (х — у) или = — ог, ог х — у !п~х — у1 — с-(-1псг, х — у=сев Итак, найдено два конечных уравнения: х+у с,е и х — у=с,е ~, из которых может быть определено решение исходной системы х = †, (с,е + сгс ), у = — (с,е — сгс ) с -с 1 с -с 2 или х=с,с + сге . у=с,е — сас — -с — с — -г нлхождвннв интягянвквмых комвннлций 4.з1 Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно конечное уравнение Ф| (г х~ хг хл) с1 связываюшее неизвестные функции и независимое переменное; такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (3.1).
Итак, первым интегралом Ф(' х! хг' ''' хл) с (3.1 3) системы уравнений (3.1) называется конечное уравнение, обращаюшееся в тождество при некотором значении с, если вместо х;(С) (1=1, 2, ..., и) подставлено решение системы (3.1). Часто первым интегралом называют также левую часть Ф((, хн х,, ..., х„) уравнения (3.13), и тогда первый интеграл определяется как функция, не равная тождественно постоянной, но сохраняюшая постоянное значение вдоль интегральных кривых системы (1). Геометрически первый интеграл Ф(г, хн х,, ..., х„)=с при фиксированном с можно интерпретировать как п-мерную поверхность в (и+1)-мерном пространстве с координатами (, хн х,, ..., х„, обладаюшую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая обшую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.
При переменном с получаем семейство непересекающихся поверхностей, облздаюших тем же свойством, т. е, состояшнх из точек некоторого (и — 1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (3.1). Если найдено и интегрируемых комбинаций, то получаем й первых интегралов: Ф, (г, хн хг, .... х„)=си Фг((, хн хг, ..., х„)=сг, (3.! 4) Фь((, хо х,,..., х)=с. Если все эти интегралы независимы, т. е. если хотя бы один определитель В (Фь Фь ...,Ф ) 0 (хт,хг, ..., х ) где хтн хт,, ..., х1„ — какие-нибУдь и фУнкций из хн х,, ..., х„, то из системы (3.14) можно выразить (г неизвестных функций через остальные и, подставляя в систему (3.1), свестн задачу к интегрированию системы уравнений с меньшим числом неизвестных.
Если й = и и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются нз системы (3.! 4). (тл. з СИСТЕМЫ ЦИФФЕРЕНЦИАЛЬНЪ|Х УРАВНЕНИЙ Пример 2. «х «у «л — =у — л, — х — х, — х — у. «т ' «т «т Сложив почлеино уравнения этой системы, получим «х «у «г — + — + — =О или — (х+у+х)=О, «т «т «т «т откуда х+ у + л = сь Найденный первый интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрированию системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Однако в даннон случае легко можно найти еще один первый интеграл. Умножим первое уравнение почленно на х, второе на у, третье на л и сложим: «к «у «л к — +у — +а — =О, «г «с «т или, умножив на 2, получим — (х'+ уг+ лт) = О, «т откуда кг+ уз+ лт = с,, Из двух наиденных первых интегралов можно выразить две неизвестные функции через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрит рованию одного уравнения с одной неизвестной функцией.
Пример 3. А — =( — С)ог,  — =(С вЂ” А) гр, С вЂ” =(А — В) рф «р , «ч «г «г «г «т где А, В и С вЂ” постоянные (зта система встречается в теории движения твердого тела). Умножая первое уравнение на р. второе на в. третье иа г и складывая, получим Ар — + Вв — + Сг — =О, «р «с «г «т «т «т откуда находим первый интеграл Арт+ Влт+ Сгг с Умножая первое уравнение на Ар. второе иа Вф третье на Сг н складывая, будем иметь А'р — + Вто — + Саг — = О, «р , «в «г «т «т «! и, интегрируя, получим еще один первый интеграл А'р' + Втд' + Стгт = с,. Если исключить случай А = В = С, прн котором система интегрируется непосредственно, то найденные первые интегралы независимы и, следовательно, пользуясь этими первыми ннтеграламн, можно исключить две неизвестные с н системы линейных днеееяенцилльных уРАВнений 161 функции.
причем для определенна третьей функции получим одно уравнение с разделяющимися переменными, Для нахождения интегрируемых комбинаций часто улобно переходить к так называемой симметрической форме записи системы уравнений (3.1): с'х, лхг (С х,. хг, ..., хл) Ч, (д хг, хг, ..., хл) г(хл гг! — — (3.1б) Чгл(Г .сг хг ° ° хл) Чго(С хг хг ° ° ., хл) ' тле Чг, (Г, хь хь ..., хл) У',(У, хн хз, ..., хл)= ' " ((=1, 2, ..., п). тг (Г х х... хл) 1! ример 4 гГх хг уг сг Интегрируя уравнение Фу лгх (3,16) 2ху йхс лу мх 2ху 2хс ' находим — сь умножая числители и знаменатели первого из отношений у х системы (3.16) на х, второго на у.
третьего на х и составляя производную пропорцию, получим хгтх+ у л'у+ с гсх Иу х(х'+уг+сг) 2ху ' откуда (п(хг-(-уг-';-х ) =1п~ у~+~ась или х'+ у'+ х' у = сь )(айдениые неззвнснмые первые интегралы у х'+ у'+ сг — =с, и у =с, определяют искомые интегральные кривые. ф 4. Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и нх проиаводных. Система л линейных уравнений первого порядка, записанная В системе, заданной в симметрической форме, переменные входят равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых комбинаций. (ва Системы диФФеРенпиАльных уРАвнений (гл.
а в нормальной форме, имеет вил л Лт! =Ха!т(Г)х~+~ (Г). ((=), 2. ", и). (8АУ) ! 1 или в векторной форме — =АХ+С", лх л!г (ЗА 8) где Х есть а-мерный вектор с координатами х,(!), хя(!), ..., х,(!), Р есть л-мерный вектор с координатами у!(г), уя(г), ..., Гл(Г), которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбиовые матрицы: !), лх! лт Й'Х2 лт а'хл лт Согласно правилу умножения матрип строки первого множителя должны умножаться на столбеп второго, следовательно, л а!! !ти ° ° ° и!л ~ ож ож а„, ал,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
