Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Цействнтельно, подставляя в уравнение (2.99) периодическое решение х = = хо(7). получаем тождество хо1Ю(Г) = Р(Г, х (Г), ха(Г) хйл-т1(7)) Заменяя в этом тажлестве т на Г+Т, мы в силу периодичности функции ха(7) н ее производных не изменим левой части уравнения н не изменим аргументов правой части, начиная со второго, следовательно, Р(г, х ((), х (г), ..., х"-т(7))= =Р(г.+Т, х (7), х,(7)... х'," "(г)), т.
е. функция г' вдоль интегральной кривой х = хо(7) имеет период Т по явно входящему аргументу 7. Следовательно, если правая часть уравнения (2.99) при любом выборе хо(7) не является периодической функцией по первому аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция тч не зависит явно от Г, т. е. является постоянной по отношению к аргументу 7, то г' можно рассматривать как периодическую по г функцию любого периода и поэтому не исключена возможность существования периодических решений какого угодно периода.
тилвнвння поиядкл выше пвввого !гл. я Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения х+ азх = у (6). (2. 100) Г Я = —,' + ) (аа созИ+Ь„з!пИ). (2.101) 6=1 Периодическое решение ищем в виде х(!)= —,' -! ~~ (АлсозИ+Ваз!пИ). (2.102) 6=! Дифференцируя ряд (2.102) почленно два раза н подставляя в урав- нение (2.100), получим — ~ Ьз(А6 соя И-! — Влз!п И)+ 6=! = — '+ т (ал соз И+ 6, з!и И), 2 числу, определяем коэффициенты откуда, если а не равно целому ряда (2.102): а'А! а, 2 2 аа А = —, О а! аа а' — а' (2.103) (а' — Ьз) А, = ае, (а' — !аз) В„= Ь, 66 Для существования периодического решения необходимо предположить, что Г" является периодическоя функцией.
Без существенного ограничения общности можно считать, что Г'(С) — периодическая функция периода 2п, так как если бы функция г'(!) имела период Т, 2ч то после преобразования независимого переиенного 6! = †' Г пра- Т вая часть стала бы функциеи периода 2п по новому независимому переменному (н Предположим, что функция у (г), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье: ннтегяииовлние еилвненни пян помощи видов 145 Следовательно, уравнению (2.100) фирмяльно удовлетворяет ряд а, 'ч,т а» соз в!+ зл з!и дг 2а' +,Ьг( а' — дг (2.
104) Очевидно, что ряд (2.!04) сходится и допускает'двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (2.101), в силу непрерывности функции у" (Ф), сходится равномерно, а коэффициенты ряда Вг (аь соз лг+ Ьа з!и 'лГ) вг дг а=1 (2. 105) составленного из вторых производных от членов ряда (2.104), отличаются от коэффициентов аа и 5а ряда (2.!01) лишь не зависящим Лг от Г, монотонно стремяшимся к ! при й — ь со множителем— а' — дг ' Следовательно, ряд (2.!05) сходится равномерно, а значит, ряд (2.104) можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд (2.104) не только формально удовлетворяет уравнению (2.!00), но его сумма х(Г) существует и является периодическим решением уравнения (2.100).
Если а мало отличается от целого числа и и а„чь 0 или Ьл те О, то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при приближении а к п хотя бы одного из коэффициентов В = ьл и аг — и' А а» л ог лг Если же а = а и хотя бы один из коэффициентов ил или Ь, не равен нулю, то периодических решениИ не существует, так как резонирующим слагаемым ал соз и!+ Ь„з1п лт г (А, соз пг+ В„з(п и!), тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями.
Следовательно, при а = а периодическое решение уравнения (2.100) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов ал соз л!+ Ьл з!и п1, т. е. в случае гл гл а„=' — / у(Г)созе(г!г=О, Ь„= — / ) (Г)з!пать!г=О. (2.106) о о 1О л. э. эльогольч в правой части уравнения (2.100), как указано на стр. !28, согласно принципу суперпозицин соответствует в общем решении уравнения (2.100) непериодическое слагаемое вида эялвннния повилял выше парного !гл, э 146 В последнем случае, т. е. при а=п, пя=!)я=0, периодическое решение уравнения (2.100) существует. причем при й ть и коэффициенты определяются по формулам (2,103), а коэффициенты А, и В, остаются произвольными, так как Алсовпг+Влз1пп1 является при произвольных А„и В„решением соответствующего однородного уравнения.
П р и м е р б. Определить периодическое решение уравнения ъч 3!Пд! х+2х 1 л=! Ищем решение в виде ряда х (!) — + ~ (АЛ соз я!+ Вэ з!и д!) Ао л=! и, определая коэффициенты Аэ и Ва по формулам (91), получаем ч,1 з!и лг Ы аэ (2 — Лэ) ь=! П р н м е р 7. Определить периодическое решение уравнения х+ 4х — з!п' а Так как условия существования периодического решения (2.106) не удовлетворяются: эл з!и' ! з!п 2! л! = О, о но э!п' ! соз 2! лт ф О, е то периодического решения не существует. П р и м е р 8. Определить периодическое решение уравнения х+ л=т В правой'части отсутствуют резонирующие члены а, соя !+Ь, з!па Следовательно, периодическое решение существует и определяетса по формулам (2.103): с~ , соз дт х (т) = ~ ',, + с, соз ! -1- ск з!п Г, а=т где с! н ст — произвольные постоянные.
147 $ а! Мптод МАЛОГО ПАРАМРТРА 8 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний В предыдущем параграфе был указан метод нахождения периодических решений линейных уравнений вида х+ а'х= г" (г). Во многих практических задачах возникает вопрос о нахождении периодического решения аналогичного уравнения, но имеющего в правой части малое нелинейное слагаемое: х+ а'х = 7 (г) + МР (Г, х, х. 1А), (2. 107) гле н — малый параметр. Вели отбросить слагаемое МР(г', х, х, М), т. е. считать в уравнении (2.107) 1Г= О.
то получим линейное уравнение х+ азх = у (Г), называемое порождающим для уравнения (2.107). Одним из наиболее эффективных методов нахождения периодических решений уравнения нелинейных колебаний с малой нелинейностью (2.107) является разработанный А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра р. широко применяемый в настоящее время при решении самых разнообразных залач. Опираясь на теорему об аналитической аависимости решения от параметра (см, стр. 55), легко обобщающуюся на уравнения второго и более высокого порядков, можно утверждать, что решения х(1, )г) уравнения (2.107) будут аналитическими функциями параметра и при достаточно малых по модулю значениях р, если функция 7'(Г) непрерывна, а функция Р(г, х, х, М), непрерывная по Г, аналитически зависит от остальных аргументов: от х и х в той области, в которой в дальнейшем будут меняться эти переменные, а от р при достаточно малых по модулю значениях ц.
Предполагая, что эти условия выполнены, ищем периодическое решение х(г, и) в виде суммы ряда х ( Р) хе (Г) + 1тх1 (~) + (А хт ( ) + ' ' ' + 1А «л (Г) + Дифференпируем этот ряд почленно два раза: Х(Г, М) =Х (Г)+ МХ,(Г)+ ... +Рлх„(Е)+ .. х(С, )А) = ха(Г) +)Ахг(Г)+ ... +(ьчх„(Г)+ 10ч яа! МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА !49 Для нахождения периодического решения уравнения (2.108) в виде х(Е р)=хе(Т)+ рх,(1)+ ...
+р"х„(Т)+ ... (2.110) надо определить периодические решения ха (~) уравнений (2.109). Действительно, если решение х (г, р) имеет постоянный период 2л (или 2ил, и — целое число) при любом достаточно малом по модулю р, то хе(Т) + рх1(Т)+ ...
+ !г"хь(!)+ ... = — хз(У+ 2л)+ + рх, П+2л)+ ... +р"х„(!+2л)+ ... (2.! 1 1) Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях р в левой и правой частях тождества (2,111) должны быть равны, т. е. хь (!) = х„(! -+ 2л), а это и означает периодичность функций х„(() (Л=О, 1, 2, ...).
Совпадение коэффициентов при одинаковых степенях р в левой и правой частях тождества (2.110) можно обнаружить, например, дифференцируя тождество (2.110) и раз по р, после чего, полагая р = О, получим х„(2л + Т) = х„(!) (а = О, 1, 2, ...). Итак, нач надо найти периодические решения уравнений (2. !09).
При этом целесообразно отдельно рассмотреть следующие случаи. 1. Нерезонансный случай: а отлично от целого ч и с л а. Если а не равно целому числу, то первое ив уравнений (2.109) имеет единственное периодическое решение хе =грз(г), которое нахо- дим методом предыдущего параграфа (см. стр. !44). Затем тем же методом находим х,(Г), хт(Т) и т. д, Если бы этим методом мы нашли общий член ряда (2.110), уста- новилн сходимость этого ряда и законность его двукратного почлен- ного дифференцирования, то сумма ряда (2.! 10) являлась бы искомым периолическим решением периода 2л. Однако обычно нахождение общего члена ряда (2.!10) является крайне сложной залачей, в силу чего прнхолится ограничиваться вычислением лишь нескольких первых членов ряда, что было бы достаточным для приближенного нахожде- ния периодического решения, если бы была уверенность в том.
что рял сходится и его сумма является периодическим решением. В связи с этим большое вначение имеют теоремы А. Пуанкаре о существовании периодических решений, позволяющие, в частности, найти условия, при которых ваведомо существует единственное перио- дйческое решение уравнения (2.107), стремящееся при р-+0 к перио- дическому решению порождающего уравнения. Если условия теоремы А. Пуанкаре выполнены и, следовательно, существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремящееся при р-ьО к периодическому решению порождающего уравнения, то сумма единственного ряда с периодическими коэффи- иядвниния погядкь вышг 'пвявого 1гл. а 1ба циентами (2.110), формально удовлетворяющего уравнению (2.107), должна существовать и должна совпадать с искомым периодическим решением. При этом отпадает необходимость нахождения общего члена ряда (2.1!О) для исследования ряда на сходимость и можно, найдя несколько первых членов ряда (2.110), утверждать, что при малом и их сумма приближенно равна искомому периодическому решению.
Теоремы А. Пуанкаре, опирающиеся на сведения из теории аналитических функций, довольно сложны, поэтому мы приводим в конце этого параграфа лишь простейшую нз этих теорем, которая. однако, уже позволяет утверждать, что я рассматриваемом нерезонансном случае уравнение (2.!07) всегда очес г единственное периодическое решение прп лостаточно малом р. П р и м е р 1. Приближенно определить периодическое решение уравнения х+2х = з1п1+ их'. где и — малый параметр (определить дна члена ряда (2.110)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
