Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 20
Текст из файла (страница 20)
~~' с, (х) уз(х) = О, 1=! и, следовательно, у' = ~ с, (х) у,. '(х), 1=! т. е. у' имеет такой же вкд, как и при постоянных с1. Точно так же у второй производной и и у" = з! с,. (х) у ' + ~~'„с,'. (х) у,'. 1=! 1=! требуем обращения в нуль второй суммы и тем самым подчиняем с, (х) второму условию: л ) с,'.(х) у,'.=О. 1=! Продолжая вычислять производные функции у = ~,' с,(х) у, до по!=! рядка и — 1 включительно и требуя каждый раз обращения в нуль и суммы ~, с,'.
(х) у!й! (х): !=1 ~~Л~ с,'.(х)у!41(х)=0 (я=О, 1, 2, ..., п — 2), (2.54) 1=! получим = ~! с1(х) У1, ~=! = ~! с,. (х) у,'., !=! у" = ~л сз(х) у,", (2 лбб) уы-!! ~з~ с (х) у!и-!! 1= ! В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы ~ с'у!"-'з=О, 1 так как функции с, (х) уже пйдчинены и — 1 условаям (2.04). кглвнення погадка выше пенного <гл.
я пй а надо еще удовлетворить исходному уравнению (2.49). Подставляя у, у'...., у!"! из (2.55) в уравнение у!"!+ р!(х)у!"-и+ .. + р (х)у=у'(х). (2.49) получим недостающее уравнение для определения с; (х) (1=1, 2, ..., и), При этом очевидно, что в левой части уравнения (2.49) останется л лишь сумма У, с,'(х) у',"-", так как все остальные члены имеют !=1 такой же вид, как и при постояннык со а прн постоянных с, функция л у = У, с,у; удовлетворяет соответствующему однородному уравнению.
~=-! В этом можно убедиться и непосредственным вычислением: й и л 6 ~„, с.'у!л-н +,~~! с,уи!'-)- р (х) ~! с.у!"-'! .+ р (х) ~ с у!"-е -1- 4=! с=! 8=! 1=! и ... + р„(х) ~! с,у! = г (х) нли и ч ~ с,'.у("-'+ ~ с,~у! +р,(х)у!!"-!!.+ ... + р„(х)у,.~=у'(х). (2.56) =! Все у, являются частными решениями соответствующего однородного уравнения, следовательно, у!л!+ р,(х)у!д-и+ ... + р„(х) у, = — 0 (1= 1, 2, ..., а) и уравнение (2.56) .принимает вид ~~,'! с,'у<,"-'!=7(х).
1=! Итак, функции с,(х) (1 = 1, 2, ..., и) определяются нз системы и линейных уравнений ~ с,'.(х) у, =О, ! ! ~ч', с,' 1х) у', = О, !=! .'~~ с',. (х) у", = О, !=! (2.57) л ~~~, с,(х) у!; '!=О, ю=! ч с,'(х)у'," "=7" (х) ! лииенные неодногодные вглвнения с отличным от нуля определителем'системы, так как этот опреде- литель У! Уз . Уз У! )2 ' ' Уз 55-П,(з-и „!5-2! является определителем Вронского лля линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (2.57) все с,'(х) =гр,(х), квадратурами нахолнм сг(х) = ) гр,(х)п'х+ со Пример 2. у +у= —.
а СО5 Х Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид у с, сов х+ с,з!их. Варьируем с, и с,. С! (Х) Сез Х+ Сз (Х) 5!П Х с, (х) и сз (х! определяются из системы уравнений (2.57): с! (х) соз х + сз (х) 51п х = О, 1 — С! (Х) 5(П Х+ С2 (Х) Сез Х =— Сез Х' откуда 5!П Х С2(Х)= — — С!(Х) (П!СОБХ!+Си СО5Х' сз (х) = 1, сз (х) = х+ с Общее решение исходного уравнения у= с, сов х+с,з!их+сов х(п ( сов х !+ха(их. Пример 3. х+ а'х = у И).
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вил х с, соз а)+ с, з!и ат. Варьируя постоянные х с, (Г) соз а(+ с, (Г) 5(п а! получим с, (Г) соз от + 52 (Г) 52п а( = О, — ас! (С) з!и от + ас, (г) соз а! = у (М), УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !Гл. т откуда ! ! !' — — у(!) о!па!. с (!) = — — / у(и) Ып ли ли+ с, и а,/ !' о ! — у(!) соз ат, ст(!) = — / у(и) соз аи ли+ ст, а а,/ о Е ,l з!и а! ! у(и) ып аи аи+ — / у(и) соз аи аи+ а о о с,(!) = с (!) = соз аг х(!) =— а + с, соз а!+ со з!и ай нлн л(!) = — / у(и) [сохли з!па! — з!и аи сов ат] йи+ с, соз а(+ с, ып и!, а ./ о откуда окончательно получаем х (!) = — у (и) з!и а () — и) ли+ с, соа а)+ со Ып аа ал о Заметим, что первое слагаемое правой части является частным решением исходного уравнения, удовлетворяю;цим начальным условиям к (0) = О, х(0) = О.
Итак, знание п линейно независимых частных решений соответствуюгцего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение !.[у] = у(х), В [у)] — = /(х) г-! ур] — = у (х) след евательно, [.[у — ур]==!'.[у,) — С[у )==у(х) — у(х)= — О. Если же известно лишь и, где )с < и, линейно независимых решений уп у„..., у„соответствующего однородного уравнения, то, как уже указывалось на стр.
102, замена переменных позволяет понизить порядок уравнения до и — )с, сохраняя его линейность. Заметим, что есл:! )с = и — 1, то порядок уравнения снижается до первого, а линейное уравнение первого порядка всегда можно проинтегрировать в квадратурах. диалогично могут быть использованы Й решений неоднородного уравнения уп ут, ..., у, так как их разности являются уже решениями соответствующего однородного уравнения.
Действительно, 121 ЛИНЕПНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ к = ~ Кв(», а)У(а)с~а, — Кк(х а)к (а) авз к, у' (х) у" (х) (2.63) у'"-"(х)= ~ К'," н(х, а)у(а)два, «в « у'" (,х) = ~ К1ю(х. г)у(з)в1з+у(х). кв Если частные решения соответствующего однородного уравнения (У~ = УА) (УЯ вЂ” УА) ° ° ° (УА-1 — УА) (2.58) линейно независимы, то порядок уравнения 5(у) =г(х) может быть понижен до л — (д — !), Очевидно, что другие разности уу — ур являются линейными комбинациями решений (2.58) УУ вЂ” Ур = (У) УА) — (Ур — Ук) и, следовательно, не могут быть использованы для дальнейшего понижения порядка. Укажем еще метод Коши нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения 5(у(х))=У(х) (2,59) В этом методе предполагается известным, зависящее от одного параметра. решение К(х, г) соответствующего одноролного уравнения ь(у(х)1=0, удовлетворяющее условиям К(з а)=К (а, г)= ...
=Кш ~(з, з)=0; (2.60) '(з, а) = 1. (2 61) Нетрудно проверить, что в этом случае к (х)= ХК "')~()" (2.62) будет частным решением уравнения (2 59), удовлетворяющим нулевым начальным условиям у(хе)=у'(хе)= ... =уж-п(хе)=0. Действительно, дифференцируя (2.62) и принимая во внимание условия (2.60) и (2.61), получим УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !гл. я Подставляя (2.62) и (2.63) в уравнение (2.59), получаем / Е(К(х. з)) У(з) !(з+~(х)=У(х), общим решением является у=с,совах+с,з!пах, условия (2.60) н (2.61) приводят к следующим уравнениям: с, совал+с,з!пал=о, — ас, з!и аз+ аск соз аз 1. Следовательно.
з!и аз с, а соз аз ги = а н искомое решение К(х, з) имеет вид 1 К(х, з) = — мп а(х — г). а Решение уравнению (2.64), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, согласно (2.62), предстзвимо в виде к /' у(х) = — ! з!и а(х — з) /(з) аз. а,! к. При х~= о зто решение совпадает с полученным выше (см. стр. 120) другим методом решением того же уравнения. Можно дать физическую интерпретацию функции К(х, г) я решению линейного уравнения с правой частью в форме (2.62).
При этом нам будет удобнее независимое переменное обозначить буквой Е Во многих задачах решение у(Г) уравнения у!"'+ р! (Г) уга " + ° ° + р (Г) у = ~ (Г) (2.65) описывает смешение некоторой системы, а функция у (г) — силу, действующую на эту систему, г — время. Предположим вначале, что при Г ( з система находилась в состоянии покоя и ее смещение вызывается силой у;(Г).
отличной так как К (х, г) является решением соответствующего однородного уравнения и Е(К(х, з))=— О. Решение К(х, г) может быть выделено нз общего решения у = ~а с,у,(х) однородного уравнения. если выбрать проиввольные 1=1 постоянные с! так, чтобы удовлетворялись условия (2.60) и (2.61).
' П р и и е р 4. Для уравнения у" + аку = у (х) ЛИНЕИНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123 от нуля лишь в промежутке з(Г(л+е. причем импульс втой силы равен 1; е+е ~ У,(т)й =1. Обознзчнм у,(!) решение уравнения уон + Р (г) Зе" ' + + р„(1) у = у', (1) Легко проверяется сушествованне предела у (Г) прн е — еО, не чавие сяшего от выбора функции у',(г), в предположении, что она не меняет знака.
Действительно, с уе(С)= ~ К(г з)~е(')й' Применяя теорему о среднем прн г ) а+ е, получим у,(~)=К(г, г+е)~ (;(т)йт=К(г, з-(-е*), е гле О ( е*( е; слеловательно, 1пп у,(Г)=К(Г, л). е-ее Поэтому функцию К(г, л) естественно назвать функцией влияния мгновенного импульса в момент г = з. Разбивая промежуток (Ге, 1) точками г, (1 = О, 1, ..., п) на ле равных частей ллины Лг = †'. представим функцию г(Р) в (2.65) в ниле суммы функций Ге(г), где у!(1) отлична от нуля лишь на 1-м промежутке ае, ( Г ( зн на котором она совпадает с функцией у (г)! У(г) = ~„' У,.
(1). 1=1 В силу принципа суперпозиция(стр. 114) решение уравнения (2.65) имеет внд у (г) — 2' у, (г), ! где у, (Г) — решения уравнений у'"'+рг(буге "+ "° +р,яу=~гя тилинвния погадка вышв пегвого ~гл. т с нулевыми начальными значениями. Если и достаточно велико, го решение у,(1) можно рассматривать как функцию влияния мгновенного импульса интенсивности г",(г,)стз. Следовательно, Ю ЯИ)= Х К(~, г~)У(а~)б . Переходя к пределу при ш — «оо, получим решение уравнения (2.65) с нулевыми начальными условиялги в виде у=~Ко, з)У(з) й, показываюгцем, что влияние непрерывно действующей силы можно рассматривать как наложение (суперпозицию) влияний мгновенных импульсов. $ 6.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях без труда удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, правая часть является многочленом степени г, и следовательно, уравнение имеет вид аау' ч+ а,уы н + ... + а„,у' + а„у = = А„х'+ А,х'-'+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
