Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 18
Текст из файла (страница 18)
+ р„(х) у =О. (2.28) и следовательно, можно поставить задачу о нахожлении уравнения (2.28). имеющего заданную фунламентальную систему решений У! У2 '''' Уп' Так кзк всякое решение у искомого уравнения (2.28) должно быть линейно зависимо от решений УР уз, ..., Ул, то определи. тель Вронского (Р'(у!. У, ..., Уп, у) =О. Запишем это уравнение в развернутом виде: У! У2 . У У У! У2 .
У„ У У! У2 ° ° ° У„ У у1л! у!л! )А п! у'п 1 2 ''' л столбца, или, разлагая по элементам последнего !! У! Уз Ул У, У! У2 )р (у! уг ° у!у Уп-О+ ... = О. ,Пл-21 У2 „1и-2 У1 У1л-21 л у1П, 11п, тяп! решениями которого являются функции уи уа,.,. у„, удовлетворяющие одновременно уравнениям (2.28) и (2.29). Допустим, что хотя бы один из коэффициентов уравнения (2.30) [р1(х) — д1(х)) хотя бы в одной точке х, отрезка а (х (Ь отличен от нуля. Тогда з силу непрерывности функций р,(х) и (21(х) этот коэффициент отличен от нуля в некоторой окрестности точки хе, И СЛЕДОВатЕЛЬНО, З ЭтОй ОКРЕСтНОСтИ ФУНКЦИИ УР У2, ..., Уп ЯВЛЯЮТСЯ линейно независимыми решениями линейного однородного уравнения (2.30) порядка не выше чем а — 1, что противоречит следствию теоремы 2 7.
Значит, все коэффнпиенты уравнения (2.30) ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 105 % з) У! У2 Уп У1 У2 ''' Уп (и-2) (а-2) (а-2) У) У2 . Уа ,(а! ,(п! (и! Э) 12 .. Уа р,(х)— (Р(Э'1, У " У ) Заметим, что определитель У) У2 ° ° У, У! У2 . У„ (2.32) У(и-2) Э,(а — 2),!(а — 2) 1 у(а) ч(а) у(п) )2 ''' и равен производной от определителя Вронского (Р'(У), У2, ..., Уа!. Действительно, по правилу дифференцирования определителя, про- изводная У) У2 У У„ У,' У2 у(а-2) 1 у(а 1 „(п — 2) „!п-2) Уг .
Э„ „(а — 1! „(а — 1! равна сумме по 1 от 1 до и определителей, отличающихся от определителя Вронского тем, что в ннх продифференцированы элементы 1'-й строки, а остальные строки определителя Вронского оставлены без изменения. В втой сумме только последний определитель при 1' = и, совпадающий с определителем (2.32), может быть отличен от нуля, Остальные определители равны нулю, так как их 1-я и !+1-я строки совпадают. Полученное уравнение (2.31) н является искомым линейным однородным уравнением, имеющим заданную фундаментальную систему решений у), Уа, ..., Уа (так как при У=у) (1'=1, 2, ..., л) )Р[у(, У2...., уа, у)=0).
Разделив обе части уравнения (2,31) на ОтЛИЧНЫП От НуЛя КОЭффИцИЕНт Ю (ун У„ ..., Уа) Прн 'СтарШЕИ производной, приведем его к виду (2.28). Отсюда следует, в частности, что РРЛВНЕННЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО )гл. э йг' Следовательно. р,(х)= — —. Отсюда, умножая на )гх и инте)г» ' грнруя, получим 1п~ Ж'! = — ~ р)(х) а)х + !и с, Ф' = се в ~'~ ) или х — ) ж)х)ех (э' = се ' (2.33) При х = хе получим с = В' (х„), откуда -,("., -- Ф'(х) = Ф'(х„) е (2.34) формулы (2.33) или (2.34), впервые полученные М. Б. Остроградским и независимо от него Лиувиллем, называются формулами Остроградского — Лиувиллл.
формула Остроградского — Лнувилля (2.34) может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка у" + р, (х) у' -1- р, (х) у = О, (2.33) если известно одно нетривиальное решение этого уравнения у,. Согласно формуле Остроградского — Лиувилля (2.34) любое решение уравнения (2.35) должно быть также решением уравнения ! у) у ~ (м)юе =с,е у) у или — ( р,)х) е» у,у' — уу,' = с,е Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка проще всего воспользоваться методом интегрирующего множителя.
1 Умножая на р= —, получим у', — ( — )= — е откуда - ! моне» У ) с)е или /и )х) ех (е У = сгу) + с,у, ! у,' $ и одиоводиыи тялвивиия с постоянными коэфвицивитлми 1оу й 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера 1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффипиентами. Если в линейном однородном уравнении аюуг»1+ а,у1" и +... + а„у=о (2.36) все коэффициенты а„постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде у = е~ . где (с — постоянная.
Лействительно, подставляя в уравнение(2.36) у=е»» и уыо =алел (р=).2...., а), будем иметь: аю/г»е'» + а,й" 'ею" + ... + а„е»» = О. Сокращая на необращаюшийся в нуль множитель ел", получим так называемое характеристическое уравнение аюл" + а,л" 1+ ... + а„,)с+ а„=о. Это уравнение и-й степени определяет те значения й, при которых у = ею" является решением исходного линейного однородного уравнения с посюоя1щыии коэффи1гнентачи (2.36). Рели все корни Ао н...., Я» характеристического уравнения различны, то, тем самым, найлено и линейно независимых решений е ', е ~..... е» уравнения (2.36) юс»» а» (см, стр. 96, пример 2).
Следовательно, у=се' +сте'*+...+се где с, — произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения (2.36). Этот метал интегрирования линейных уравнений с постоянными коэффициентами впервые был применен Эйлером. Пример 1. у" — Зу'+2у =О. Характеристическое уравнение имеет еид Л' — ЗЛ + 2 = О, его корни Л, 1, Л, = 2. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид у = с,е»+ с,ею». При мер 2. ут — у'=О. Характериствческое уравнение Л' — Л = О имеет корни Ф, = О, А, = 1, В, = — 1 Общее решение рассматриваемого уравнения у с, + с,е" + с,е Так как коэффициенты уравнения (2.36) предполагаются действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.
Комплексные решения е~ю»""» И Е1ю Ы1». СООтВЕтСтВуЮщИЕ ПарЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОПряжЕННЫХ Каривй л1 а + р1 и Аа мв и — 1)1, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО |гл. я |ОВ могут быть заменены двумя действительными решениями; действительной и мнимой частями (см. стр. 95) одного из решений е<"'ЯО " = е" (соя Рх + < я!п рх), е<' я<>'=е""(соярх — <я!Врх). или Таким образом, паре комплексных сопряженных корней «< я = и + 51 соответствуют два действительных решения: е""соярх и е""я!Врх.
Пример 3. у" +4у'+5у =О. у = е '"(с, соя к-|-с, я<их). Пример 4. у" + и"у = О. Характеристическое урявИЕНие де+ а' = О имеет корни Дь, = ж ас Общее решение у = с, соя ах -1- с, я|п ах. Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то число различных решений вида е~ меньше а и, следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать в ином виде. Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень а< кратности ао то решениями исходного уравнения будет не только Ал Ае Ал,-< Ае е<, но и хе<, хяе<, ..., х< е<. Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет корень а<=О кратности а,.
Следовательно, левая часть характеристического уравнения (2.3<) имеет з этом случае общий множитель а'г. т. е. коэффициенты а„= а„, = ... = а„„. „= О, и характеоистическое уравнение имеет вид аей'+ а<)г" '+ ... + а„„)е'< =О. Соответствующее линейное однородное дифференциальное уран- нение а,у< "< + а,у<" Н + ... + а„„у<а<) = О, очевидно, имеет частные решения 1, х, хе...., х'<, так как уравнение не содержит производных порядка ниже чем ао Итак, кратному корню а<=О кратности а, соответствует а, линейно не- зависимых (см.
стр. 96, пример 1) решений 1,х,х',...,х< Характеристическое уравнение имеет еид а' + 4а + 5 = О, его корни Вь, = — 2 ж Д Общее Решение $11 ОднОРОдные уРАВнения с пОстОянными кОВФФициентАми 109 Если характеристическое уравнение имеет корень л1 ~0 кратности а1 то замена переменных у=е гг (2.38) сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного корня. Действительно, линейное однородное преобрззование неизвестной функции (2.38), как указано на стр.
94, сохраняет линейность и однородность уравнения. Постоянство коэффициентов при замене переменных (2.38) тоже сохранится, так как у~л1=(ее 1")' '=е (г' '+рл1" ",(1,-+р ... л' "Й1+ .. +Е7зл)* ьк и после подстановки в уравнение (2.36) н сокрашения на е ' прн г, г', ..., Л~л1 ОСтаЮтСя ЛИШЬ ПОСтОяННЫЕ КОЗффицНЕНтЫ. Итак, преобразованное уравнение будет линейным одйородным уравнением и-го порядка с постоянными коэффициентами дзг(л)+д1З1л О+ ... +для=о, (2. 39) причем корни характеристического уравнения а,/гл + а,лл '+ ... + а„= О.
(2. 37) отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения (2.39) б Р +81Р" '+ ... +11„=0 (2.40) на слагаемое л„ так как между решениями у = е"» уравнения (2.36) Ах и в=ел' уравнения (2.39) должна быть зависимость у=лег или Лх Рх А.х е = е е 1, откуда в = р+ Йг Следовательно, корню 11 = 111 уравнения (2.37) соответствует корень р, =0 уравнения (2.40). Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и кратность корни, т. е.
корень р; = 0 будет иметь кратность а,. Действительно, кратный корень 711 уравнения (2.37) можно рассматривать как результат совпадения различных корней этого уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависимости 71 = р + я, совпадут с р = 0 и а1 корней уравнения (2.40). Корню р = 0 кратности а; соответствуют частные решения г = 1, . — 1 вх л=х..., г=х ' . Следовательно, в силу зависимости у=ге 1 ° корню в1 кратности О1 уравнения (2.37) будут соответствовать а,.
частных решений кк кк а.-1 Й.К у=а 1, у=хе 1, ..., у=х1 е (2.41) Остается показать, что решения е г лз1 х"1 1л1 (1=1, 2, ..., лг), (242) (гл. т УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !(О где ш — число различных корней х, характеристического уравнения, линейно независимы, но зто уже было доказано в примере 3 стр.
96. Следовательно, общее решение уравнения (2.36) имеет вид » »» у=~и'.!(ссч-+с!;х-+ стчхт-(- ... +с» -ч чх ч )е 1 ° 1 =1 где с„— произвольные постоянные. Пример б у- — зу" +зу — у = О Характеристическое уравнение ач — Зас+ЗФ вЂ” ! =О нли (а — !)' О илчеет трехкратный корень Л, ь, = 1. Следовательно, общее решение имеет вид у = (с, 4- с,х + с„х') Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корекь р+су( кратности и, то„соответствующие ему решения Е(Р+С!)", ХС(" '«О». ХтЕ(Р+ЧО» ., Х' 'Е(лче')" можно преобразовать по формулам Эйлера с(Р чч6" = ел» (соз ух + Г Шп их) н, отделяя действительную и мнимую части, получить 2а действите.чьных решений: РР' созчух, хс»' созчух, х'сР" созчух, ..., х" 'сР" созсух, (2 43) сл" з1п ух, хеР" з(пих, х сл" з(пих...., х" 'сл" з(исух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
