Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1.29. череа данную точку (ха, уе) по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения р(х, у, у') =О. Например, для решений уравнения ( — ~ — 1 =О свойство единствен- (дх~ ности всюду выполнено, так как через каждую точку (хи у,) проходят лае интегральные кривые, но по различным направлениям. Действительно, ду йх — = ш1, у=х+с и у= — х-(-с. Для уравнения (у')' — (х+ у) у'+ ху =О, рассмотренного на стр. 68, в тачках прямой у =х свойство единственности нарушено, так как через точки втой прямой проходят интегральные кривые уравнений у' = х и у' = у по одному н тому же направлению (рнс.
1.29). Теорема 1.5. Существует единственное решение у=у(х). х,— Ив (х <ха+Ма. где Ьа достаточно мало, уравнения Р (х, у, у') = О, (1. 78) удовлетворяющее условию у (ха) = ус, для которого у' (х ) = у', где у' — один из действительных корней уравнения с (хе, уа, у )=О, если в замкнутой окрестности точки (ха, Ус, Ус) сбункйиЯ е (х, у, у') удовлетворяет условиям; 1) Р(х, у, у') непрерывна по всем аргументам; дг" 2) производная —, существует и отлична от нуля; ду' осовые Решения дР 3) суи(есягвуегп ограниченная по модулю производная оу ' ~ду( Доказательство.
Согласно известной теореме о существовании неявной функции можно утверждать, что условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки (ха, у,) функции у' = 7 (х, у), опреаеляемой уравнением (1.78) и удовлетворяющей условию у,' = г'(х„, у„). Остается проверить, будет лн функция 7'(х, у) удовлетворять условию Липшица или более грубому условию ~ — ~ Лг в окрестности точки ду ду (хш уз), так как тогда можно будет утверждать, что уравнение у'= у(х, у) (1.79) удовлетворяет условиям теоремы существованвя и единственности (см.
3 6, стр. 40) и, следовательно, существует единственное решение уравнения (1.79), удовлетворяющее условию у(х„) =ус, а вместе с тем существует единственная интегральная кривая уравнения (1.78), проходящая через точку (хш уе) и имеющая в ней угловой коэффициент касательной у' Согласно известной теореме о неявных функциях можно утверждать, что прн выполнении условий 1), 2), 3) производная — су- дУ ду ществует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявных функций. Дифференцируя тоигдество Р(х, у, у')=О по у и принимая во внимание, что у' =у (х, у), получим дй дР дУ вЂ” + —,— =О, ду ду ду или дР дУ ду оу дР ду' откуда, принимая во внимание условия 2) и 3), следует, что ! — ! ч.7ч' в замкнутой окрестности точки (хв, у„).
дУ ду Множество точек (х, у), в которых нарушается единственность решений уравнения Р(х, у, у') =О. (! .78) называется особым множеством. 78 ДИФФЕРЕН1!ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 'ГЧ ! В точках особого множества до !жно быть нарушено по крайней мере одно из условий теоремы 1.б.
В дифференциальных уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, условия 1) и 3) обычно дг выполняются, но условие 2) —., Ф 0 чзсто нарушается. ду' Если условия !) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно удовлетвориться уравнения Р(х, у, у') =0 и —,= О. дг (1.80) 117' Исключзя из этих уравнений у', получим уравнение Ф(х, у)=0, (1. 81) которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей уравнению (!.81), обязателык> нарушается единственность решения уравнения (1.78), так как условия теоремы !.5 лишь достаточны для единственности решения, но пе являются необходимыми, и следовательно, нарушение како~онибудь условия теоремы не обязательно влечет за собой нарушение единственности.
Итак, только среди точек кривой Ф(х, у) = О, называемой р-днскриминэнтной кривой (так как уравнения (1.80) чаще записыдб ваются в виде е (х, у, р) =0 и — — — 0), !шгут быть точки осодр бого множества. Если какая-нибудь ветвь у =у(х) кривой Ф(х, у) = 0 принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется огобой интегральной кривой, а функция у =гр(х) называется особи.н ре!иечием. Итак, для нахождения особого решения уравнения е(х, у, у') = 0 (1. 78) надо найти р-диа<риминантную кривую, определяемую уравнениями дг" р'(х, у, р)=О, — =О, др выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1.78), есть ли среди ветвей р-дискриминантной кривой интегральные кривые, и, если такие кривые есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет.
Если единственность нарушена, то такая ветвь р-дискриминзнтной кривой является особой интегральной кривой. Пример 1. Имеет ли уравнение Лагранжа у =2ху' — (у')' особое решение? Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполнены. р-дискримииаитная кривая определяется уравнениями: у = 2хр — рй 79 % з1 ОСОБЫЕ РГШГНЬ!Я тх — 2р=О, или, исключая р, у=х'. Парабола у =хт не является интегральной кривой, так как функция у х' не удовлетворяет походному уравнению.
Особого решения нет. П р и и е р 2. Нзйти особое решение уравнения Лагранжа х — у — (у )' — — (у'), 4, 8 9 27 (1.82) Условия !) и 3) теоремы существования и единственности выполнены. р-дискриминантиая кривая определяется уравнениями 4, 8 ., 8 к — у = — р' — — р', — (р — р') = О. 9 27 ' 9 Из второго уравнения находим р = 0 пли р = 1; подставляя в первое уравнение, полу шм: 4 у =х или у=х — —. 27 Лишь вторая из этих функций является решением исходного уравнения. Рис. 1.3!.
Рис. 1.30. 4 Для того чтобы выяснить, будет лп решение у = х — — особым, надо 27 проинтегрировать уравнение (1.82) и выяснить, проходят ли через точки пря. 4 мой у = х — — по направлению этой примой другие интегральные кривые. 27 Интегрируя уравнение Лагранжа (1.82), получим: (у — с)' = (х — с)'. (1.83) 4 Из уравнения (1.83) и рис. 1.30 видно, что прямая у = х — — является 27 огибающей семейства полукубичсских парабол (у — с)' =(х — с)з и, следо- 4 ватсльно, в каждой точке прямой у = х — — нарушена единственность — по 27 одному и тому же нанрзвлению проходят две интегральные кривые: прямая 4 у = х — — и касающаяся этой прямой в рассматриваемой точке полукуби- 27 ческая парабола. 80 ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЧ.
Г 4 Итак, особым решением является у = х — —, 27 ' В этом примере огибающая семейства интегральных кривых является особым решениеи. Если огибающей семейства Ф(х, у, с)=0 (!.84) называть кривую, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (1.84) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых рассматриваемого семейства, то огибающая семейства интегральных кривых некоторого уравнения тс(х, у, у') = 0 всегда будет особой интегральной кривой.
Действительно, в точках огибающей значения х, у и у' совпадают со аначеннямн х, у н у' для интегральной кривой, каса|ощейся огноаюшей в точке (х, у), и следовательно, в каждой точке огибающей аначення х, у и у' удовлетворяют уравнению Г (х, у, у') = О. т, е, огибающая является интегральной кривой (рис.
1.31). В каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (1.84). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой. Зная семейство интегральных кривых гр(х, у, с)=0 некоторого дифференциального уравнения го(х, у, у') = О, можно определить его особые решения путем нахождения огибающей.
Как известно из курса днфференпнальной геометрии или из курса математического анализа, огибающая вхолит в состав с-дискриминантной кривой, определяемой уравнениями (О (х, у, с) = 0 и — = О, дФ однако, кроме огибающей, в состав с-днскриминантной кривой могут входить и другие множества, например множество кратных дФ дФ точек кривых рассматриваемого семейства, в которых — = — = О. дх ду Чтобы некоторая ветвь сООгсн)псагппцп~ нотг кривой заведомо была огибающей, достаточно, чтобы на ней: 1) существовали ограниченные по модулю частные производные !дх~ ' !ду~ а' 2) — ~ 0 илн — Ф О. дФ оФ дх ду Заметим, что эти условия лишь достаточны, так что кривые, на которых нарушено одно из условий 1), 2), тоже могут быть огибающими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
