Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Общим реисением дифференциального уравнения и-го порядка нааывается множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения уоо г(» у ус у~~ уш-П) (2.1) в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (2.1) зависит от и параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных у, у', у", ..., у~"-П, В частности, общее решение уравнения второго порядка ук=у(х, у, у') зависит от двух параметров, например от уо и у'. Если же фиксировать уо и у', т. е. задать точку (хо, уо) и направление касательной к искомой интегральной кривой в этой точке, то при выполнении условий теоремы существования и единственности этими условиями определяется единственная интегральная кривая. % т! пРОстепшие случАи пОнижения пОРядкА йу Например, в уравнении движения материальной точки массы по прямой под действием силы Г"(г, х, х): тх=у(г.
х, х), задание начального положения точки х (!с) = хз н начальной скорости х(гс) = х„определит единственное решение, единственный закон движения х=х(г), если, конечно, функция Г' удовлетворяет условиям теоремы существования и единстзешшстн. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров и от начальных значений, рассмотренная на стр.
54, без изменения метода доказательства переносится на системы дифференциальных уравнений, а следовательно, и на уравнения и-го порядка. 9 2. Простейшие случаи понижения порядка В некоторых случаях порядок лифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Укажем несколько наиболее часто встречающихся классов уравнений, допускающих понижение порядка, 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка и — 1 включительно: Р(х, уы1, у!Ат'1, .... у!Ю) =О. В этом случае порядок уравнения может быть снижен до п — л заменой переменных уы> = р, Действительно, после замены переменных уравнение 12.3) принимает вил Р (х, р, р', ..., р'"-"!) =О.
Из этого уравнения определяется р=р(х, сн сз, ..., с„ы), а у находим из уж!= р(х, сп с,, ..., с„л) Й-кратным интегрированием. В частности, если уравнение второго порядка не содержит у, то замена переменных у' = р приводит к уравнений первого порядка. Пример 1. тыу ! л'у — — — — = О. Лх' х Мх' л4у лр ! Полагая — = р, получаем — — — р= О; разделяя переменные и интегрилх4 лх х л4у руы, будем иметь: !п)р)=!п)х!+!пс, или р сх, — сх, откуда ' лх' у с,х'+ с,х'-(- сых'+ с,х+ с,. Пример 2.
Найти закон движении тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости. келвнення попядкл выше пепвого !гл. з Уравнение движения имев~ вил где з — пройденный телои путь, лг — масса тела, à — время. При ! = О мз будет з = О и †' = О. лг Уравнение не содержит явно неизвестной функции к следовательно, л'а можно понизить порядок уравнения, считая — =- ть При зтои уравнение двил'г жения примет вид Фо гл — =- тл — /го'. лг Разделяя переменные и интегрируя, получим и !пап Р ие 1 И г ~г' ! ~ ! , == Агп! —, щь Лег ! щ~ Лоа откуда е= — !Ь (Л у я !); умножая на и! и интегрируя еще раз.
найдем Уй в закон движения; з = —, !и сй (л 1' я г). 1 Лг 2. У р а в н е н и е н е с о д е р л< н т н е з а в и с и м о г о п е р еменного: Р(у. у', у", ..., уно)=0. В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой у' = р, причем р рассматривается как новая неизвестная функция у, р = р(у), н слеловательно, асе производные— тлу лхл надо выразить через производные от новой неизвестной функции р(у) по у: лу =р пх па у л р,гр лу Лха Нх л'у 4х г!у и аналогично для производных более высокого порядка.
!1Рн этом лау очевидно, что производные — выражаются через производные полхь рядка не выше й — 1 от р по у, что и приводит к понижению порядка на единицу. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯЛКА 5 21 частности, если уравнение второго оорялка ие содержит независимого переменного, то указанная замена переменных приводит к уравнению первого порядка. Пример 3. Полагая — — — гг, — =- р —, получим уравнение с разделяющимися переггу агу др ггх 4хг Лу ар ау ' меиными ур — — р'=О. общее решение которого р= с,у илв — = с,у. ггу ах Снова разделяя переменные и интегрируя. потучии ггг(у( с,х+1пс, или У=- С2ЕЙХ П р и и е р 4. Проинтегрировать уравнение мзтематического маятника х-1- а'зги х =.0 при начальных условиях х(0) = х,, х(0) =О.
Понижаем порядок, полагая ло х=о, х=о —, о до= — а'зги хггх. лх ог — = аг(сов х — сох х,), о = ж а)'2(соз х — сох х,), ах / ах — . — х а г' 2 (соз х — сов хз), лг ау 2 . )'сог х — са х„ Интеграл, стоящий в правою части, ие берется в элементарных функциях, но легко сводится к эллиптическим функциям. 3. Левая часть уравнения го (х, у, у', у", ..., угт) = О (2.4) является произволной некоторого дифференциального выражения (гг — 1)-го порядка Ф(х, у, у'...
уш-гг), В этом случае легко нахолим так называемый иерзыа интеграл, т. е. дифференциальное уравнение (и — 1)-го порялка, солержащее одну произвольную постоянную. эквивалентное данному уравнению а-го порядка, и тем самым понигкаем порядок уравнения на единицу, )хействительно, уравнение (2.4) можно переписать в виде — Ф(х, у, у, ..., у'" н) = О. (2.42) Если у(х) является решением уравнения (2.4г), то производная функшог Ф(х, у, у', ..., у'"-гг) тождественно равна нулю. Следовательно, функция Ф(х, у, у', ..., уш ") равна постоянной, и мы получаем первый интеграл Ф(х, у, у', ..., у"-и) =с.
Пример 5. уу" +(у')' О. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 3 Это уравнение можно записать з виде «(уу')=О, откуда уу' е, «ли у «у = с, «х. Следовательно, общин интегралом является ут = е,х+ с, Иногда левая часть уравнения Р(х, у, у', ..., У(ю)=0 становится производной дифференциального выражения (и — 1)-го порядка Ф(х, у, у'...., У('-") лишь после умножения на некоторый мно- жвтЕЛЬ р(Х, у, у', ..., у'е-'1). Пример б. уу"-(у )' =О. Умножая иа множитель р —, получим = О илн — ~ — ) О, 1 уу — (у )' «(ум у2' ук «х ~у) откуда — =ен или — (п(у( сь следовательно,!В(У( с,х+(пс,, с, > О, у' « откуда у = с,е»'", е, ~ О, как и в првмере 3 этого параграфа.
3 а м е ч а н не. При умножении на множитель (((х, у, у', ..., у"-н могут быть введены лишние решения, обращающие этот множитель в нуль. Если множитель р разрывен, то возможна и потеря реше- 1 ний. В примереб при умножении на р= —, было потеряно решеук ние У=О, которое, однако, можно включить з полученное решение У =стен», если считать, что ст может пРинимать значение О.
4. Уравнение Г(х, у, у', ..., У("')=О однородно относительно аргументов у, у'...„ У(ю. Порядок однородного относительно у, у', ..., У("' уравнения (2.6) Р(х, у, у, ..., у(") =О, т, е, уравнения, для которого справедливо тождество (х ьу ьу~ йу(ю) йе~' (х у у~ урм) может быть понижен на единицу подстановкой у = е, где 1 к»к х' — новая неизвестная функция. Действительно, лифференцируя, получаем у"=е('» (г'+ г'), у" = ~' '(за+а~~'+ «''). уно =ег'»"Ф(х, г', г", ....
В(А-н) (убедиться в справедливости этого равенства можно методом инлукции), 91 пРОстейшие случАи пОнижения пОРядкА Подставляя в (2.5) и замечая, что. в силу однородности, мно- жвтЕЛЬ ЕР МОЖНО ВЫНЕСТИ За ЗНаК фуНКцИИ Гт, ПОЛУЧИМ р Е»»гх е / 7 (х, х, л', .... а1" и) = 0 р Г»зх или, сокращая на еР °, будем иметь /(х, з, я'..., х'"-и) = О. Пример 7.
уу" — (у')' = бху'-'. Е» лх ( Езк' »», г л.» Полагая у = е', получим»' = бх, х = Зх'+ с, у = е" ' или у с сге(х'"» 1 Особенно часто в приложениях встречаются дифференциальные уравнения в т о р о г о п о р я д к а. допускающие понижения порядка. 1) еч(х, у") =О. (2.6) В этом уравнении можно понизить порядок подстановкой у' = р гЕЕг ) и свести его к уравнению Р (х, х ) = О, рассмотренному на стр. 69. гтх Е Можно разрешить уравнение (2.6) о~носительно второго аргумента УР=/(х) я два раза проинтегрировать или ввести параметр и заменить уравнение (2.6) его параметрическим представлением Аггу —., = ф (Е), х = ф(Е), откуда Ну' Чг' (Е) гЕЕ Е' Чг' (Е) дг после чего у определяется квадратурой: лгу=у е(х =ер(Е) — е(Е у= / гЕЕ+ ся.
и' (Е) Е гр (Е) Чг' (Е) г)г (Е) ' .l Р (О (2.8) 3) г(у, ур)=о. Можно понизить порядок, полагая »Е у»ЕЕг у гг)г =Р = =»ч »Ех ' ахг»гу ах»гу откуда гЕУ = У е"х = гр (Е) ф ОО е(Е У = / 'р (Е) ф (Е) е(Е + сг е(у у е( х у Г [У ф (Е) ф (Е) гЕЕ + с»1 ф'(Е) лгг +- сг. 2) г(у', ур)=о, (2.7) Полагая у'=р, преобразуем (2.7) к уравнению (1.61), стр. 70, или представим уравнение (2.7) в параметрическом виде: у„'= р(Е), у„"х= Р(Е). гилвнзния повядкл выше пзгвого 1гл, т Если уравнение (2.8) легко разрешимо относительно второго аргумента у" =/(у), то, умножая зто уравнение почленно на 2у' с(х = 2Ну, получим Ф (у')з = 2/ (у) с(у, откула — =+~/ 2 ~ /(у)г(у+со + =ох. )// 2 ~ ~у) ну+с, х+ст=» / ~/ 2 ~ /(у)Фу+с, Можно уравнение (2.8) заменить его параметрическим представлением у=ср(Г), у«=а(1); тогда из г(у'=у" сГх и с(у=у'сх получим у'г(у = у с(у или 2 ~(У')'=Р(г) Ф'(/) .
(У ) = 2 Х Ф(Г)Ф'(Г) Ф+ сн У = » ф/ 2 ~ Ц~ (1) ср' (/) Н + с,, после чего из Ну=у'~(х нахолим с(х, а затем и х: ну е' П) лг г(х — —— му 2 ~ р(Г)Ч'(Г) а+С х=»- ~ ч/ (г) лг — + сз. (2. 9) 2 Г «Г) Ч ' (Г) НГ+ с, Уравнение (2.9) и у=~у(Г) и определяют в параметрическом виде семейство интегральных кривых. Пример 1Ь у"=2уй у(О)=1. у (О)-1. Умножая обе части уравнения на 2у'лх, получим и'(у')' 4у'лу откуда (у')з у' + с, Принимая зо внимание начальные условия находим, что лу 1 с = О п г' г' Следовательно, — и«, — — «+ сь са — 1, 1 уа 1 у 1 — х' а а> ЛИНЕПНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ф 3.
Линейные дифференциальные уравнения «-го порядка Линейным дифференциальным уравнение»> и-го нарядна называется уравнение, линейное относйтельно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид аь(х) уьи>+ а, (х) у>» — '>+... + а„, (х) у'+ а„(х) у =ф(х). (2.10) Если правая часть ф(х)= — О, то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции у и ее производных. Если коэффициент аз(х) не равен нулю ни в одной точке некоторого отрезка а ( х ( д, то, разделив на аз(х), приведем линейное однородное уравнение при х, изменяющемся на этом отрезке, к виду у'"'+ р,(х)уь» »+ ... + р»„,(х) у'+ р„(х) у =0 (2.11) или у ">= — ~. р,(х)ущ '>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
