Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 10
Текст из файла (страница 10)
будет ли эта ветвь особой кривой и будет лн она интегральной кривой. с? Пример 7. Имеет ли уравне- ду ние — = у'+ х' особое решение? дх Условия теоремы существования и единственности выполнены в окрестности любой точки, следовательно, особого решения нет. П р и м е р 8. Имеет ли уравнеРис. 1.23. иие — = (~г(у — х)'+5 особое реку дх жение? ! ау 2 Правая часть непрерывна, но частная производная †. = — (у — х) ау з неограниченно возрастает при приближении к прямой у =х, следовательно, на прямой у = х может нарушиться единственность.
Но функция у = х не удовлетворяет рассматриваемому уравнению, следовательно, особого решения нет, ду 1 Пример 9. Имеет ли уравнение — = у'(у — х)'+1 особое ре- дх шеиие? ! Как и в предыдущем примере, уравнение — = О имеет вид у = х, но ду' ду на эточ раз функция у х удовлетворяет данному уравнению. Остается выяснить, нарушена ли единственность в точках атой прямой. Заменой переменных х у — х приводим исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, после чего без труда находим решение: у — х = в Т1 пРиБлиженные методы интеГРиРОВАния уРАВнения б1 (х — с)а Кривые этого семейства проходят через точки графика решения у = х (рнс.
1.23). Следовательно, в каждой точке прямой у =х единственность нарушена н функция у = х является особым решением. Этот пример показывает, что одной непрерывности правой части в уравнении =Г( у) у(ла)=у ° недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, однако можно доказать, что существование решения прн эгом уже обеспечивается.
В 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка В прелыдущем параграфе мы уже познакомились с двумя приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений: методом Эйлера н методом последовательных приближений. Однако оба эти метода имеют существенные недостатки, в силу которых ими сравнительно редко пользуются в практике приближенных вычислений.
Достоинства приближенных методов оцениваются по точности даваемых нми результатов и по простоте вычислений. Недостатками метола последовательных приближений являются сравнительно медленная сходимость приближений к решению и сложность вычислений, Недостатком метода Эйлера является малая точность, для повышения которой прихолится брать весьма малый щаг л, что прнволит к длительным вычислениям.
Впрочем, небольшое усовершенствование метода Эйлера, так называемое уравнивание (или итерация), приводит уже к довольно удобной вычислительной схеме. Прн применении метода Эйлера с уравниванием делят отрезок ха (х (Ь, на котором надо вычислить решение уравнения — =у(х, у), определяемое условием лу 4х ла у(х„) — — — уа, иа равные части длиной д= Обозначая и хе+/гй =х», у(хе+Ей)=у,, у'(х +нп)=у„', вычисляют у» если уже найдено у», в начале по формуле Эйлера: у,=у„+)гу»' или а»у =у»,— у =Ду', (1,39) т. е, на отрезке ха+-йЬ (х (хе+(й-)-1)Л заменяюг интегральную кривую, проходящую через точку (х», у»), отрезком ее касательной в той же точке (см.
рис. 1.13, стр. 39). Затем уточняют вычисленное значение у»ги для чего определяют производную у', =у(х» Р у»,) и снова применяют формулу Эйлера (1.39), но вместо у' берут среднее арифметическое вычисленных значений 62 ДИФФЕРЕНЦИАЛЪИЫЕ УРАВИЕНИЯ ПЕРЗОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Г Уз+ Уз~-~ производных в граничных точкзх 2 т. е. считают УА+ Уз+1 Уам =Уз+ л 2 Вновь вычисленное значение у . г дает возможность вычислить новое значение производной УА , = у'(х ,, у ,). после чего снова выУА+ УА-,1 числяют среднее арифметическое значений производных снова применяют формулу (1.40) УА+ Уаю ул =у +гг и продолжзют этот пропесс до тех пор, пока в пределах заданной точности не совпадут результаты двух последовательных вычислений значений УА„Р После этого тем же методом вычисляется ул„я и т.
д. Метод Эйлера с уравниванием дает па каждом шаге погрешность порядка йз и нередко применяется в вычислительной практике. Однако значительно чаще применяются более точные методы (методы Штермера, Рунге, Мнльна н др.). основанные на замене искомого решения несколькими членами его тейлоровского разложения ~Р Лл у, = у +Ау„'+ —,у„"+ ... + —,уьн, (1.41) (1.43) т. е. замене искомой интегральной кривой параболой л-го порядка, имеющей касание и-го порядка с интегральной кривой в точке л=хл, у=у,, Непосредственное применение формулы Тейлора (1.41) на каждом шаге приводит к сложным и неоднотипным вычислениям, поэтому эта формула обычно применяется лишь для вычисления нескольких близких к х = хз значений, необходимых для применения более удобных вычислительных схем, среди которых в первую очерель следует назвать метод Штерме)та, в котором вычисление про- водится по одной из следующих формул в зависимости от порядка аппроксимирующей параболы: 1 У" + УА+ 2 1 5 У" +та+ 2 та '+ 12 та-ю 1 2 3 3 Уатг У" +)А+ 2 та г+ 12 "л з+ 8 (1.44) ! 5 з 3 з 251 4 улт1= ул+ЧА+ 2 Ь!л- ~+ 12 га ЧА з + 6 Ь ЧА-3+ 226 га дл Ф (1.45) % 1! пРпглнжгнные методы ннтеГРНРОВяния уРявнени1ч где )» Уа .Ф 1 Чь )ь 1' Чь 2 Чь 1 Чь 2 12 Ча- =ы Ча-г !2 ЧЬ-З Л Ча-В =с! Ча-З СГ Ча-и формулы Штермера могут быть получены путем интегрирования в пределах от хя до х„, тождества у = — у (х, у(х)), в котором у(х) явлиется искомым решением: "А уье,=— у„+ ) /(х, у(х))0х, и применения известной из курса анализа квадратурной формулы: 1 5 гр(х)г(х = /! [гра+ 2 гьгра-1+ 12 Л сра 2+ + —,Ь'ф, з+ —,, Л4р,,+ ...1.
(1.46) 3, 231 4 Напомним, что зта квадратурная формула получается путем замены подынтегральной функнин гр(х) аппроксимирующим многочленом по интерполяпнонной формуле Нщотона и вычисления интегоалов от отдельных слагаемых. Опенка остаточного члена квадратурной формулы (1.46) показывает, что погрешность в формуле (1.42) прн одном шаге имеет порядок )!з, в формуле (1,43) )!1, в формуле (1.44) лз, в формуле (1.45) йь. Если же принять во внимание, что при нескольких шагах погрешности люгут суммировагься, то для опенки погрешности при л шагах Ь вЂ” х, надо опенки, полученные для одного шага, умножить на л = что может привести к изменению указанного выше порядка погрешности. 3 а м е ч а н и е.
Можно показать непосредственным разложением по формуле Тейлора в окрестности точки х=х„. что правая часть формулы Штермера (1.42) с точностью до членов, солержащих Л в степенях выше второй, совпадает с первыми тремя членами разложения у„,! по формуле '1ейлора (1,4!): Л2 у» + луь + 21 уа' (1.47) л! „Ьз Ув+ УЯ + 2! У» 3! )г правая часть следующей формулы Штермера (1.43) с точностью до членов, содержащих й в степенях выше третьей, совпадает с 64 ДИЭЕЗГВНиИ»ЛЬНЫЕ ХЯЛВНГНИЯ ПЕГВОГО ПОГЧЛК» 1ГЛ.1 и т.
д. Для формулы (1.42), например, получим У,+йу,+ ййДУ» с=у,+йу„+-2й(У» У» 1), (1.48) 1,, ! или, разлагая у» с=у (х» г) по формуле Тейлора у'(х»,) = у' (х») — 7гуч (х») + —, лоу" (х») -)- 2 и подставляя в (1.48), получим: У» + У» + 2 1У» У»-11 У» + У» + 2 У» 4 )» + з и слеловательно, три первых члена совпадзют с тремя членами разложения по формуле Тейлора (!.47).
Для начала вычисления по формулам 11!термера необходимо знать значения искомой функпни не в одной, а в нескольких точках (при применении формулы (1.42) в лвух точках: хо н х, + 72, при применении формулы (1.43) в трех точках: хо, хо+й и хо+ 271, и т. д.). Эти несколько первых значений могут быть вычислены методом Эйлера с уменьшенным шагом или путем использования формулы Тейлора (1.41), или кратко изложенным ниже лселгоссолс Рунге.
Возьмем лля определенности формулу (1.44): ! о 3 У»»1=У»+Ч»+ дЧ»-1+ !2 д Ч»-2+ в даЧ»-з и прелположнм, что, кроме заданного начального значения уо, уже найдены Уи Уа и Уз. Тогда можно вычислить: Чо=г(хо Уо)" Чс =.Г(хс Уг)" с72 — с (х2 .У2) Л, Чз 7 (хз, Уз) 72, а следовательно, и дЧО Ч1 ЧО дЧ! = Ч2 '71 дЧ2 = Чз '72 Д Ч ДЧ ДЧ Дг, ДЧ ДЧ Да Д2Ч Дя Теперь по формуле (1.44) вычисляем значение у4, зная ноторое полУчим Ч, ДЧО, Д2Ч2, ДОЧИ Затеи по той же фоРмУле (1.44) вычисляем уз и т. л.
л " пРиБлиженные методы интеГРиРОВАния РРАвнений б5 Результаты вычисления заносятся в приводимую ниже, постепенно заполняющуюся таблицу: Ля д'я Ал,„ Ул ыл ( лзс хл х, У. хл Ул Чл 5 Л. В. Элллгалли Обычно требуется вычислить значение искомого решения лнфференциального уравнения в некоторой точке х = Ь с заданной точностью. При этом сейчас же возникает вопрос.
какой из формул Штермера целесообразно пользоваться и какой шаг й гарантирует требуемую точность вычислений и в то же время не является чрезмерно малым и тем самым не приводиг к лишним вычислениям. Некоторое представление о выборе формулы, по которой целесообразно вести вычисления, и о выборе шага лаюг указанные выше порядки погрешностей при каждом шаге, при этом, конечно, надо иметь в виду, что при нескольких шагах погрешности могут сумлшроваться. При правильном выборе шага л все разности в таблице должны меняться плавно, а последние разности в формуле Г1.44) неллины влиять лишь на запасные знаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
