Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 14
Текст из файла (страница 14)
осовып ппшвния 81 Пример 3. Дано семейство интегральных кривых (у — с)'=(х — с)з некоторого диффереициалыюго уравнения (см, пример 2 на стр, 79). Найти особое решение того же уравнения. Находим с-дискриминантную кривую: (у — с)' = (х — с)' н 2 (» — с) = 3 (х — с)'. Исключая параметр с, полу.чнм у = х и х —. у — .,—. = О.
27 4 Прямая у =- х — —,. являетсв огибающей, так как иа ней выполнены все 27 условна теоремы об огвбающей. Функция у = х не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Прямая у.= х является геометрическим местом точек возврата (см. рпс, 1.30). В точках этой прямой нарушено второе условие теоремы об огибающей.
П р и м е р 4. Дано семейство интегральных кривых 1 уз — х+ с =-О (1.85) некоторого дифференциального уравнения первого порялка. Найти особое рсшеиве того же уравнения. Задача сводится к нахождению огибающей рассматриваемого семейства. Если непосредственно применить указанный выше метод нахождения огибающей, то полу.чим противоречивое уравнение ! = О, откуда казалось бы естественно сделать вывод, что семейство (1.85) не имеет огибающей.
Однако дф в данном случае производная от левой частя уравнения (1.85) по у, ду 4 = — у , обращается в бесконечность прн у = О, и следовательно, не 5 исключена возможность того, что у = О будет огибающей семейства (1.85), которую не удалось найти общим методом ввиду нарушения на прямой у = О условий теоремы об огибающей. Следует преобразовать уравнение (1.85) так, чтобы для преобразованного уравнении, эквивалентного исходному, уже выполнялись условия теоремы об огибающей. Например, запишем уравнение (1.85) в виде у — (х — с)'=О. Теперь условия теоремы об огибающей выполнены, и, применяя общий метод, подучим; у=(х — с)', 5(х — с)'=О, или, исключая с, будем илгсть уравнение огибающей у =О (рпс.
1.32). П р и м е р 5. Дано семейство интегральных кривых у' — (х — с)ь = О (1.86) некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Найти особое решение того же уравнения. с-дискриминантная кривая определяется уравнениями у' — (х — с)'= О и х — с=О, б л. и. вльсгальк 82 диеевгкНЦИЛЛЬНЫВ КРЛВНПНИЯ ПВГВОГО ПОГЯДКЛ (ГЛ. ! нли, исключая с, получим у=О. На прямой у=О обращаются в нуль обе дб2 д62 частные производные — и — от левой части уравнения (1.86), следовадх ду тельно, у = 0 квляетсв геометрическим местом кратных точек кривых семейства (1.86), н данном случае точек возврата. Однако это геометрическое Рнс. 1.32.
Рнс, 1.33. место точек возврата в рассматриваемом примере является одновременно и огибающей, На рис. 1.33 изображены нолукубичсскне парзболы (1.86) н нх огибающая у = О. Задачи н главе 1 10. х (1 п х — 1п у) ду — у дх О. 11 ху(у')2 — ( '+у') у'+ + ху =О. 19. Найти ортогональные траектории семейства ху = с, т. е. найти линии, ортогональио пересекающие кривые указанного семейства. 20. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания. 21. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на осн ординат, равен абсциссе точки касания. 22. Найти ортогональные траектории семейства х'+ у' =2ах.
23. Считая, что скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и ноздуха, решить следующую задачу: если температура воздуха равна 20' С н тело в течение 1. ! я у дх — сгй х ду = О, 2. (12х+бу — 9) ах+ +(5х+2у — 3) ау = О.
3. х — = у+ 12гхт+ у'. ду дх 4. х — +у+х', а'у дх 5. у ах — хну = х' у ну. 6. — +Зх=е, дх 22 дт 7. у з1п х -(- у' соз х = 1. 8. у'=е" т. дх 9. — = х+ з1п Г. Ж !2. гу')2 = 9у'. дх, х 13, — =е' + —. дс 14. х'+(у')2 = 1. ! 15, у = ху'+ —,. у' 16 х=(у')2 —.у' .~-2.
17. — У= дх х+ у' 18, у = (у')2 — (у')з — 2, 83 злллчи !( ГЛАВ". 1 20 иин. охлаждается от РЗО до 60'С, то в гечение какого времени теьшсратур- гела достигнет 30' С? 24. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 1О км/час. На полном коду ее мотор был выключен и через ! = 20 сек. скорость лодки уменьшилась до о, = 6 кж(час. Определить скорость лодки через 2 мин. после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. 25.
Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, яыходятцпе пз задзниой точки. )т(чг 27. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в ~очке касания на равные части. «х 2х — у+5 ' «х !+х 30. Численно проинтегрировать уравнение — =. х+ у'-', у (О) = О. «у Определить у(0,5) с точностью до 0,0!. 3!. '!ислепио проинтегрировать уравнение — +х, у(0) =О. «у «х Определить у (0,6) с точностью до 0,01.
32. у' = 1 3!х — 0,2у', у(0) = 2. Составить таблицу пятнадцати значений у с шагом Л = 0.02. 33 у = 2ху' — у', 34. — = сов(х — У) ,т «у «х 35. Пользуясь методом нзоклин (см. стр. !7), сд лать набросок семейства интегральных кривых уравнении ໠— =х' — у. «х 36, (2х -(- 2у — 1) «х + (х + у — 2) «у = О. 37 у 3 у'езх = 0 38. Найти ортогональные траектории парабол у'+2ах = ат. 39. Имеет ли дифференциальное уравнение у = 5ху' — (у')' особое решение? 40.
Приближенно проинтегрировать уравнение — = — х — у'. у(1) = О «у «х методом последовательных приближений (определить у, н у,). 41. у = хл+ / — «х. 1 42, Имеет ли уравнение у' = )г х — 5у+2 особое решение) 43. (х — у) у «х — х'«у=О. 44. Найти ортогональные траектории семейства у' сх'. 45. х+ 5х = 101+ 2 при ! = 1, х = 2. 84 диоегпинциальныв гравнвния пврвого порядка х хт 46. х = —" + — при т = 2, х = 1. гз 47. у = ху'+ у' прн х = 2, у = — 1. ,г 48. у=ху'+у'г при х=1, у= — 1. 49. — = пу Зх — 4у — 2 йх Зх — 4у — 3 ' 50.
х — х сгй Г = 4 анп т. у' бц у = х'+ 2у'х+ —, 2 Зу 52. у' — — + хту' =О. х 53 О+у') = 54. (х' — у) ах+ (хгуг + х) ау = О. 55. Найти интегрирующий мионтигель уравнения (Зу' — х) а'х+ 2у (у' — Зх) тту = О. имеющий вгщ р = н(х+ уг). 56. (х — у) ус(х — лгуну= О. х+у — 3 57. у' = 1 — х+у 58. ху' — ут!ох+ у = О. 59. (х' — 1) у' + 2ху — соа х = О. 60. (Яу-~-2х+ 3) У' — 2У вЂ” х — 1 =. О.
61. (ут — х) у' — у+ л' =-О. 62', ( хт) +.2ху= О. бз, Злу'у'+ у' — 2х = — О. 64, (у')г+(х+ а) у' — у = О, где а — постоянная. 65. (у')т — 2ху'+ у .= О. 66. (у')г -1-2уу' сгйх — уг = О. ГЛАВА 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ф 1. Теорема существования н единственности для дифференциального уравнения ~-го порядка Дифференциальные уравнения и-го порядка имеют вид уш1= У(х, у, у', ..., Ум-п), (2.!) или, если онн не разрешены относительно старшей производной, Г(х у у' .
' у(ю)=б. Теорема существования и единственности для уравнения и-го порядка легко может быть получена путем сведения его к системе уравнений, для которой на стр. 51 теорема существования и единственности уже была доказана. Действительно, если в урзвнении уев=~(х, у, у', ... УЫ-П) неизвестными функциями считать не только у, но и у' = у,, у" =уо, ..., )о"-И =у„и то уравнение (2.1) заменяется системой у =у1 у, = у, (2.2) Уь о= У„п Ул-1 ~ ( ' У' Уи ' ' '' Уа-!)' после чего уже можно применить теорему о существовании и елинственности решения системы уравнений (см.
стр. 51), согласно которой, если правые части всех уравнений системы (2.2) непрерывны в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение системы (2.2). удовлетворяющее условиям у(хо)=уо у1(хо)=у1о - ° ° у -г(хо)=уо-ьо. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1гл Правые части первых и — 1 уравнений (2.2) непрерывны и удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому условию существования ограниченных производных по у, уп уг, ..., у„ Следовательно, условия теоремы существования и единственности будут выполнены, если правая часть последнего уравнения у„' = г'(х у, ун ..., у„,) будет непрерывна з окрестности начальных значений и будет удовлетворять условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго, нли более грубому условию сушествования ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со второго.
Итак, возвращаясь к прежним переменным х и у, окончательно получаем следующую теорему сушествования и единственности: Теорема 2.е. Существует единственное решение дифференциального уравнения и-го порядка уий =у (х, у, у', ..., уы П), удовлетворякощее условиям у (хо) уо' у (хо) = уо, у" (хо) = уо . у (хо) = уо если в окрестности начальных значений (х, у, у ..., у~о'-П) функция у' является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Лиашипа по всем аргументам, начиная со второго. Последнее условие может быть замецено более грубым условием существования в той же окрестности ограниченных частных производных первого порядка от функции у'.по всем аргументам, начиная со второго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
