Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 17
Текст из файла (страница 17)
у„ являются решениями линейного однородного уравнения у»'+ р,(х)у'»ь н + ... + р„(Х)У=О 2.20) с непрерывками па отрезке а (х (Л коэффициентами р,(х), то определитель Вронского Уг Уа ° ° ° У» )р( ) У~ Уг ° ° ° У. ы — н»л -н в»-н нс может обратиться в нуль ки в одной точке отрезка а (х (Ь. Бок аз атель ство. 1(опустим, что в некоторой точке х ==х, отреака а .( х (д определитель Вронского )г'(хо) = О. Выберем постоянные а,(г'= 1, 2, ..., и) так. чтобы уловлетворялась система уравнений а1У~(хо) +агут(хо) + ...
+а,у„(хо) =О. а,у,(хо) +а,у,'(хо) + ... +а»у„'(хо) =О. (2.21) а,уы "(хо)-+агу~,»-н(хо)+ ... +а УЫ-н(хо)= О и чтобы не все а, равнялись нулю. Такой выбор возможен, гак как онрелелитель линейной одноролной системы (2.21) и уравнений с и неизвестными аг равен нулю, Ф'(хо) =О, и следовательно, существуют нетривиальные решения этой системы. При таком выборе а, линейная комбинация у = а,у, (х) .+ агуг (х) + ... + а„у„(х) булет решением линейного однородного уравнения (2.20), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (2.21), нулевым начальным условиям У(хо)=0, У'(хо)=0, ..., У'"-н(ео)=0. (2.22) Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение У=О уравнения (2.20) и по теореме о единственности решения начальным условиям (2.22) удовлетворяет только это решение.
а з1 ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 99 у !х) =1х — 1)г при 0 х ( 1 1<х..-2, 0(х.! у,1х)=0 уз1х) = О при при уг!х) =гх — !)' прн 1<х. 2 (рнс. 2 !! у~ Уг Очевнлно. . . — : 0 при 0 ( х < 2. гаь как на отрезке уг 0 ~( х < 1 второй столбец состоит из нулей, а при 1 ( х ( 2 нз нулей состоит первый столбец. Однако функции уг(х) н уг(х) линейно независимы на всем отрезке О (х (2, так как, рассматривая тождество а,у,+агут=О, 0 (х (2, вначале на отрезке 0(х< 1, приходим к выводу, что а, =О, а затем. рассматривая это тожлество на отрезке ! ( х (2, находим, что и иг = О. Теорема 2.7.
Общим решением нри а ~(х <,Ь линейного однородного уравнения + р,г )ут-и+ ... +р„1 )у=О 12.20) е непрерывными на отрезке а (х(Ь коэффициента ий рг(х) ! (1=1, 2, ..., и) является линейная комбинация у= ла с!у, ~нг Следовательно. а,у, !х)+ агуг (х) + ... «-а„у„!х)=0 и решения у,, у, ..., у„, вопреки условию теоремы, линейно зависимы. Замечание 1. Из теорем 2.5 и 2.6 следует, что линейно независимые на отрезке а ( х ( Ь решения ун у,, ..., уе уравнения (2.20) линейно независимы также на любом отрезке а, ( х (Ь,, расположенном на отрезке а (х (Ь. Заме чан не 2. В теореме 2.6 в отличие от теоремы 2.5 предполагалось, что функции ун уг, ..., у„явля!отся решениями линейного олнородного уравнения !2.20) с непрерывными коэффициентами.
Отказаться от этого требования и считать функции ун у,, ..., у„произвольными и — ! раз непрерывно днфференцируемыми функциями нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являюшихся, х конечно, решениями уравнения !2.20) с не- р' г е прерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обра- Рнс. 2.1 щается в нуль в отдельных точках. но даже тождественно равен нулю. Пусть, например. На отрезке 0 (х 2 определены две функции у1 !х) и уг(х): УРЛВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (Гл.
Я и линейно независимых на том же отрезке частных решений у, (1=1, 2, ..., п) с произвольными постоянными коаффиииентами. Д о к а з а т е л ь с та о. Уравнение (2.20) при а ( х (Ь удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Поэтому л решение у = ~г с;у; при а-(х(Ь будет общим, т.
е. будет со!=! держать все без исключения частные решения, если окажется возможным подобрать произвольные постоянные с; так, чтобы удовлетворялнсь произвольно задзнные начальные условия ур.)=уж '(х)= ' " ш-''( )=уз"-и где хэ — любая точка отрезка а (х(Ь. л Потребовав, чтобы решение у = 1„с,у,, уловлетворяло поставлен!=! ным начальным условиям, получим систему и линейных относите,!ьно с,(Г = 1, 2, ..., и) уравнений к~ л.'.
сьу1(хс) = уо 1=! л Х сьУ,'(Уэ) =У,' ~~ с,.у!1л-!!(х„) = ул-'! 1=! с и неизвестными си с отличным от нуля определителем системы, так как этим определителем является определитель Вронского )Р'(х ) для и линейно независимых решений уравнения (2.20). Следовательно, эта система разрешима относительно сь при любом выборе х на отрезке а (х (Ь и при любых правых частях. Следствие теоремы 2.7.
Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференниального уравнения равно его порядку. 3 а м е ч а н и е. Любые и линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения и-го порядка называются его фундаментальной системой решений. У каждого линейного однородного уравнения (2.20) существует фундаментальная система решений. Для построения фундаментальной системы решений произвольно валадим пг чисел ~,.ф~(~ ) (1 = 1, 2, ..., и; й = О, 1, ..., — 1), 101 ЛИНЕПНЫЕ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЪ|Е УРАВНЕНИЯ 4 з| подчинив их выбор лишь условию У| (хо) Уз(со) ' ' ' У«(хо) у| (хо) у| (хс) у«(хс) ФО, У',"- '(хс) Уг"-"(хс) " У'," '(хс) где хс — любая |очка отрезка а ~( х ~~ Ь. Тогла решения у, (х), определяемые начальными значениями у|ы/х )(й =О, 1, ..., и — 1; 1= 1, 2, ....
и), образуют фунламентальную систему, так как нх опрелелнтель Вронского йт(х) в точке х = хс отличен от нуля и, следовательно, на основании теорем 2.5 и 2.6 решения уп уг, ..., у, линейно независимы. П р и н е р 4. Уравнение у" — у = О имеет очевидные линейно независимыс частные решения у, =е" н у,=е «(см. стр, 96, пример 2), следовательно, общее решение имеет вил у = с,е" + с,е ". П р им ер 5. Решение у = с,е + е, сй к+ с,в|| х уравнения ут — у' =О не является общим решением, так как решения е", сих, звх линейно зависимы.
Линейно незавнснммми решениями являются 1, СП х, зй х. н следовательно. у = с| + с«СЬ х + с«зй х, где сь сг и с,— произвольные постоянные, будет общим решением рассма- триваемого уравнения Зная одно нетривиальное частное ре|иение у| линейного однородного уравнения У|"'+ р| |к| У" '|+ ° ° + р„(х) У =О.
(2.20) можно подстановкой у=у, ) ийх понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и однородность. 1(ействительно, подстановку у = у, ) и дх можно заменить двумя подстановками: у = у,г и г' = и. Линейное однородное преобразование (2.23) у=у|а сохраняет линейность и однородность уравнения (см. стр, 94), следовательно, урзвнеиие (2.20) преобразуется при этом к виду ас(х)г'"'+ а,(х)г|" '+ ...
+ а„(х) е =О, (2.24) причем решению у = у, уравнения (2.20) в силу (2.23) соответствует решение г 1 уравнения (2.24) Подставляя г = 1 в УРАВНЕНИЯ ПОРЯЛКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1ГЛ. З уравнение (2,24). получим а„(х) =— О. Следовательно, уравнение (2.24) имеет виа ае(х)в1ю+а1(х)х" '.+ ... +а„1(х)а'=О. и подстановка а'=и понижает порядок на единицу: а (х) ии" ' + а,(х)и1" + ... + а„,(х1и=О. Заметим, что та же подстановка у = у, ~ и йх, гле у, — решение уравнения 5(у)= О, снижает на единицу и порядок линейного неоднородного уравнения 1.
[у) = у (х), так как эта подстановка не затрагивает правой части уравнения. Зная и линейно независимых на отрезке а (х -( Ь решений уы ум ..., у» линейного олнородного уравнения, можно пон1зить его порядок до и — и на том же отрезке а (х (л. действительно, понизив полстанозкой у=у» ~ и1(х на единицу порядок уравнения (2.20) 1.(у) =О, получаем опять линейное одноролное уравнение ае(х)и'" 1+ а,(х)и'" 1'+ ... -1- а„,(х)и=О (2.25) порядка и — 1, причем нам известны и — 1 его линейно независимых решений и, ~ — ), и =~ — ')...., и которые получим, подставляя в у = у» 1 и г(х или и =1 — ) по- 1' у 1' (у,) следовательно у=ун у=у,, ..., у=у» Р (Заметим, что уже использованному нами для понижения порядка решению у = у„уравнения (2.20) соответствует тривиальное решение и= — О уравнения (2.25).) Решения ин и,, ..., и, линейно независимы, так как если бы межлу ними сушествовалз линейная зависимость на отрезке а ( х (д: а1и1.+ а,и, + ...
+а,,к,,= — 0 или а1(у') +а,® + ... +а, ~ » ') = — О, (2.26) где хотя бы одно а, Ф О, то, умножая на 1(х и интегрируя тождество (2.26) в пределах от хе до х. где а(х (д, а хв — точка Л>>НЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫР УРАВНЕНИЯ отрезка (а, Ь), будем иметь у,(х) у,(х) уа ,(х) + "г + ° + ць-> уь(х) уа(х) '' ' уь(х) — [а,— +цг + ... +а„, 1— = О, У> (хо) Уг (хо) Уь-> (хо) 1 уь(х,) уь(х,) ' ' ' ' уь(хо) 1 или, умножая на у„(х) и обозначая — [а, у, (хо) уг (хо) уа > (хо) 1 ' уь(х,] уь(к,) ' ' ' уь(ко) ) +цг — + .
+аь- получим, вопреки исходному предположению, линейную зависимость между решениями уц уг, ..., уь: ц,у, +агут+ ... +цьуь О, где хотя бы одно а, Ф О. Итак, использовав одно частное реше- ние у, мы понизили порядок уравнения на единицу. сохранив его линейность и однородность, причем нам известно )с — 1 линейно независимых решений преобразованного уравнения. Следовательно, тем же методом можно снизить порядок еще на одну еаиницу; использовав еще одно решение и продолжая этот процесс й раз, получим линейное уравнение п — Й порядка. Пример б. ху" — ху'+ у О.
(2.27) откуда йи х — 2 — = — дх, и=с,—, у=х ! ийх=к~с,! — йк+с ~. и х ' 'хг' / ( >,>' хг Лемма. Два уравнения вида у>ю+ р,(х)у>"-'>+ ... + р„(х)У=О, у'ю+ 7> (х) у>'-и+ ... +о„(х)У=О, (2.28) (2.29) аде функили р, (х) и д>(х) (1= 1, 2, ..., и) непрерывны на отрезке а ( х (Ь, имеющие общую фундаментальную систему решений у>. ут, ..., Уго совпадают, то есть р;(х) жг)>(х) (г'= 1, 2, ..., п) на отрезке а (х (Ь. А(оказательство. Вычитая из (2.28) почленно (2.29), получаем новое уравнение: (Р>(х) — >7>(х)) Уш '>+ (Р,(х) — (>т(х)) У' '+ ...
° ° ° + (Р„(х) — >7„(х)) у = О, (2.30) Уравнение имеет очевидное частное решение у, х. Понижая порядок подстановкой У=х ~ ийх, у' ки+ ~ ийх, у"=хи'-(-2и, приведем уравнение (2.27) к виду х>и'+(2 — х) хи =О, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1ГЛ. 2 р, (х) — 1)1 (х) = — 0 (1 = 1, 2, ..., и), т. е. р,(х) = — д1(х) (1= 1, 2, ..., и) на отрезке а ( х ( Ь. ИтаК, фУНДаивптаЛЬНаа СИСтЕМа РЕШЕНИИ УР У2, ..., Уп ВПОЛНЕ Определяет линейное однородное уравнение у1пп+ )21(х)у'и-"+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
