Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Исходя из этого определения, нетрудно обнаружить, что правило умножения операторных многочленов не отличается от правила умножения обычных (не операторных) многочленов. Деиствительно, р=-о о=о так как ии „иО и и и т = ~', а„рВ' ~~ Ь у~о'(х)~ = ~', ~~'', а„рб у'р+"(х), р=о о-о р=оо=о что совпадает с результатом действия оператора ~ ~~' а„рб Во~о р=о о=о на у(х). Из (2.77), в частности, следует коммутативность умножения операторов Р,(0) Р,(В) =Р,(0) Р,(0). Справедливость дистрибутивного закона Р(В)(Р,(0) + Р (0)) = Р(0) Р,(0)+ Р\В) Р (О) непосредственно следует из правила дифференцирования суммы. Следовательно, деиствия сложения и умножения с операторными многочленами не отличаются от тех же действий с обычными (не операторными) многочленами.
1 Определим теперь оператор 1 Результатом действия оператора — на некоторую непрерыв- Р(В) ную функцию у(х) является решение уравнения Р (0) у = У (х), 1 У = Р(В) У(х). тялвнения повидал выше ивяного 132 !гл. я Следовательно, Р (В) — „. 7 (х)~ = — 7 (х), (2.79) Р(В (Р(В)У(х)) =7'(х), 1 Р (В) так как /(х). очевидно, является решением уравнения Р (В) у = Р (В) Г' (х). (2.80) 1 Произведение операторов Ф (В) на —.
определяется равенс твом Р (В) Ф(В) — Р( — ) у'(х) =Ф(В) ~ ., у (х)~. Аналогично — 1 (В)7'(х)= Р,(В (Ф(В)7(х)). ! 1 Р(В) Р (В) Поэтому в формулах (2.79) и (2.80) скобки можно опустить. Заметны еше, что — ',.7(х)=~ ~ ... ( 7(х)(х", 1 ! так как — р 7(х) является по определению оператора — реше- В~ Р (В) ннем уравнения В~у = 7 (х). ! Проверим следу!он(не свойства оператора 1 1 1) Р(В) ду(х) = й Р(В) у(х), где )г — постоянный множитель, так как Р(В)Й Р(В) 7(х)=)гР(В) Р В 7" (х)=1!7(х). 1 1 Р (В) ю 2) е = —, если Р((е) ть О. Р(В) Р(Л) ' 1 Можно было бы считать, что Р 7 (х) является решением уравнения (2.78), определяемым какими-нибудь конкретными, например пулевыми, начальными условиями, однако для наших целей удобнее 1 считать. что Р 7(х) является одним из решений, все равно каким, 1 уравнения (2.78) и, следовательно, действие оператора — на не- Р(В) которую функцию 7 (х) определено лишь с точностью до слагаемого, равного решению соответствующего однородного уравнения.
1 При таком понимании действия оператора —, будет справедли- Р'(В) вым равенство НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОВФ. и!и ах Действительно, Г» является решением уравнения Г (Вт) у = =а|пах, так как по формуле 2) стр. 130 з1п ах ! Г (Вз) —, == — Г ( — а') з)п ах = з1п ах. Г ( — а») Г ( — а') 1 соз ах 4) — сових= » . если Г( — а')~0, Г(В») Г( — а») ' так как по формуле 3) стр. 130 ! — Г ( — аз) соз ах — = соз ах. »» е „.
+ о(х). соз их Г ( — а') 5) е' о(х)= 1 Г (В) Действительно, е „., о (х) является решением уравнения 1 Г(В) у=а~»о(х), так как по формуле 4) стр. 130 Г(В)е"' „. + о(х)=е™Г(В+Iг) „, ю(х)=— е»»п(х). 1 1 Г(В+ Л) Г(В; л) ! 1 1 6) р (В) (у! (Х) +,ут(Х)) Г(В) у1(Х) + Г ( В) /т(х) Это равенство является следствием принципа суперпозиции (стр. 114). 1 1 1 7), / (х) = — — !" (х), т.
е. (2 81) является решением уравнения Г,(В) Г,(В) у=У(, ), (2.82) Действительно, подставляя (2.81) в (2.82), получим (В) Г1(В) Г (В! ~ Г (В) У (х)1 Гз (В) Г «р~ У (х)=У(х)' е»» Действительно, Г Л является решением уравнения Г(В)у=в»», таь как по формуле 1) стр. 130 е~» Г (л) е»" Г (В) — „,) —— ,. ( „— — е". 1 Мп ах 3) — з1пах = Г(В') Г( — а») ' , если Г( — а')~ О. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ, 2 Приведет! несколько примеров нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом: 1) у" +4у=е", или (Вз+4) у = а», откуда ек В'+4 5 ' 2) у!У+ у = 2 соз Зх, илн (В'+ 1) у = 2 соз Зх, 1 2 сов ЗХ 1 В'+ ! ( — 9)2+1 3) у" +9у = 5з!их, (В'+9) у =5 Шпх, 1 . 5з!пх 5 у= Вз+95ззпх= !+9 — — 8 э!их.
4) у — 4у+4у=.хе' ( — 2) у=хе 1 2к 2 2» 1 2 2» у= е х=е — х=е- (В-2)з = В У2 ' 5) у — Зу + Зу — у = ек, ( — 1) у = ек, 1 У= (В 1)з е' эч(Д) =О, поэтому вместо второй форззулы применяем форззулу 5) (стр. 132 †1), рассматривая ек как произведение ек . 1: 1 к 1 хз " 1= — !="— (В 1)з ' Вз б) т — у=э!пх, (Вз — 1) у =- з!п х.
(2.83) 1 у=. — з!их. Так как оператор содержит нечетные степени В, то восВз пользоваться формулой 4) нельзя. Поэтому вместо исходного уравнения рассмотрим уравнение (В' — 1) у = е", наи (В' — 1) у = соз х+ ! з!и х. (2,84) Мнимая часть решения уравнения (2.84) будет резпснием исходного уравие.
ния (см. стр. !15): 1 2» е!» — езк ( — 1+з)(сов х+зыпх) Вз 1 зз 2 1 = — — (соз х + з!п х) + —, (соз х — э!и х) 2 соз х — з!п х Мнимая часть решения уравнения (2.83) является решением уравнения (2.83). 7) у + у = соз х, (В'+ 1) у = соз х, у =, соз х. В'+ 1 Формула 3) стр. !ЗЗ неприменима, так как гт( — а') =О, поэтому опять вместо заданного уравнения рассматриваем уравнение у" + у = взк или у" + у = соз х+ ! з!п х $61 нподнородныв травнвния с постоянными коэФ. 135 и берем действительную часть его решения гл 1 'х ! 1 ш (Р'+1) у е, у Р,+ ' Р (Р+ е 1 е" е" 1 е'"х х(сов х+гз!пх) Р— ! 21 21 Р 2! 21 Взяв действительную часть найденного решения вспомогательного уравнехз1пх ния, получим решение исходного уравнении 8) у~~ — у=е", (Р~-!)у=е~, у= 4 е = 1 1 1 еР 1 1 хе" е = — — = — е — 1= —.
— к Р— 1 (0+1)(Р'+1) Р— 1 4 4 Р 4 1 Выясним еще, как действует оператор — на многочлен Р'(Р) Р (х)=Ахр+А,хр + ... +А. формально разделим 1 на многочлен Р(0)=а„+а„,0+ ... +а,0". а„+О, расположенный по возрастающим степеням О, по правилу деления обычных (не операторных) многочленоа. Процесс деления прекратим тогда, когда в частном получим операторный многочлен степени р: Ь +Ьг0+ +Ьро — Рр(0) При этом в остатке окажется многочлен содержащий оператор 0 в степенях не пнже р+1.
В силу зависимости между делимым, делителем, частным и остатком получим Р(0)Я (0)+)с(0)=1. (2.85) Это тождество справедливо для обычных (не операторных) много- членов, но так как правила сложения и умножения операторных многочленов не отличаются от правил сложения и умножения обычных многочленов, то тождество справедливо и для операторных многочленов, Действуя правой и левой частями тождества (2.85) на многочлен Асхр+ А,хр '+ ...
+ Ар, получим [Р(0)Яр(0)+й(0))(Аехр+ Агхр-'+ ... + Ар)= Аехе+ А хе 1 + + А или, принимая во внимание, что Й(0)(Аохр+ Агхр 1+ ... + Ар) эшО, квлвнвния порядка вышв. парного !гл. т так как )7(О) содержит О в степенях не ниже р+ 1, булем иметь Р (О) [Я (О) (Азхл+ А~хл-з+ ... + А )]= =Аехл+ А,хл-'+ ... + Ар, т. е.
Яр(О) (А,хл + А,хл ' -+... -+ Ар) является решением уравнения Р (О) у = А„хл -1- А !хл ' + ... + А . Итак, — (Асхл+ А,хл '+ ... + А ) = 1 л(,гз) с ь л =1~ (О) (Азхл+ А,хл '+ ... + А,) Например: й) у" + у=х — х+2, (О'+ !)у=х' — х+2,у=, (х'— 0'+ 1 Разделив 1 ва ! + 0', получим Я,(0) = ! — 0Д Следовательно, у = (1 — 0') (хз — х+ 2) = х' — х. 10) у +2у'+2у = хте х (0т+ 20+ 2) у = х е к 11) у" + у = х соз х, (О'+ !) у = х соз х. Перейдем к уравнению (0з+!) у = хе" и потом возьмем действительную часть реп;ения + ! е 1 + ~ (созх+тз!пх)~, +— л' х Взяв действительную часть — з!п к+ — соз х, получим искомое решение.
4 4 Заме ча н ие. Послелний пример показывает, как надо лейство- 1 вать оператором „. на многочлен, если а„ = О. Представив то (О) в виде О'сР(О), тле свободный член многочлена Ф(О) уже не равен 1 нулю, лействуем на многочлен вначале оператором, а затем ! Оз(0) ' оператором — . 0з Неоднородные уравнения Эйлера аох"у!то+ а,хл 'угл Н+ ...
+ а„у=/(х) (2 88) или ао(ах+а)'у!" +а!(ах+а)" 'у!" '1+ ... +а„у=у(х) (287) можно интегрировать путем решения соответствующих олноролных уравнений (см. стр. 11О) и подбора одного частного решения неолно- ч и ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 137 родного уравнения, или прииеняя метал вариации постоянных. Однако обычно проще вначале проинтегрировать однородное уравнение, а для подбора частного решения преобразовать уравнение Эйлера (2.86) заменой переменных х= ие е' (для уравнения (2.87) ах+Ь = + е') к уравнению с постояиныии коэффициентами, для которых хорошо разработаны методы нахождения частных решений.
Пример 11. хеу" (х) — ху'(х)+ у(х) = х !и'х. (2.88) Ищем решение соответствующего однородного уравнения е виде у = х" л! — 2л+1 = 0; (2.89) а, ! = 1, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет внд у = (с, + с, !их) х. Заменой переменных х = е' преобразуем уравнение (2.88) в уравнение с постоянными коэффициентами у(Г) — 2у(Г)+у =Те' (левая часть этого уравнения сразу может быль написана по харзктервстичесному уравнению (2.89)). Операторным методом ее~ко находим частное решение преобразованного уравнения ! !з, 1 з е'Г х!Вах у= ег=е — г= —, у= ( — 1)' О! 20 ' 20 Следователю!о, общее решение уравнения (2.88) имеет вид !п'х! у = (с, +с,!пх+ — ) х, 20 ) й 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов Задача интегрирования линейных однородных уравнений и-го порядка р (х) у!"! + р, (х) у!" '1+ ...
+ р, (х) у = О. (2.90) сводится к подбору а или хотя бы а — 1 линейно независимых частных решений. Однако частные решения легко подбираются лишь в исключительных случаях. В более сложных случаях частные решения ищут в виде суммы некоторого ряда ~'.~ а,гр!(х), особенно часто ! =.! в виде суамы степенного или обобщенного степенного ряда. Условия, при которых существуют решения в виде суммы степенного или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются методами теории функций комплексного переменного, знакомства с которы!!и у читателя мы не предполагаем, поэтому основные теоремы этого параграфа даны без доказательства в применении к наиболее часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
