Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема 2.У (об аналитичности решения). Если Рэ(х) Рг(х), рз(х) являются аналитическими функциями х 138 вилвнвния пояядкл выше пеявого [гл. г в окрестности точки х = хо и ро(хо) чь О, то решения уравнения ро(х) у" + р, (х) у'+ рг(х) у = О (2.91) также являются аналитическими функциями в некоторой онрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (2.91) можно искать в виде у =ао+а,(х — хо)+ аг(х — хо)г+ ... + а„(х — хо)" + ... Теорема 2.лО (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд).
Если уравнение (2.91) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но х =хо является нулем конечного порядка в функции ро(х), нулем порядка з — 1 или выше функции р,(х) (если з > 1) и нулем порядка не ниже з — 2 коэффициента рг(х) (если з л 2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (2.91) в виде суммы обобщенного степенного ряда у = ао(х-хо)" + а,(х — хо) +' + ... + а„(х — хо) +" + ..., (2.92) где й — некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным. Второе линейно независимое с (2.92) решение, как правило, имеет тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но нногла может ещесолержать произведение обобщенного степенного ряда на !п(х — х ).
Впрочем, в конкретных примерах можно обойтись без формулированных выше двух теорем, тем более, что эти теоремы в указанной формулировке все равно не устанавливают области сходимости рассматриваемых рядов. Чаще всего в конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формзльно удовлетворяющий дифференциальному уравнению, т. е, при подстановке обращающий рассматриваемое уравнение (2.90) порядка и в тожлество, если предполагать сходимость ряда н возможность почленного дифференцирования и раз. Получив формально решение з виде ряда, исследуют его на сходимость и на возможность почленного дифференцирования раз.
В той области, где ряд сходится и допускает и-кратное почленное дифференцирование, он не только формально удовлетворяет уравнению, но его сумма действительно является искомым решением. Пример 1. (2.93) у" — ху О Ищем решение в виде степенного ряда у= ~ч~~ адхл. л=о интвгпировднив крдвнвнии при помоШи рядов 139 Опираясь на теорему 2.9 или формально дифференцируя этот ряд почленно два раза и подставлян в уравнение (2.93) получим ~~~~ паол (л — 1) хо-а х ~~а~ а,ха 0 о о Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой ао . частях тождества, получим; аа = О, 3 ° 2аа — ао = О, откуда аа = 2 3 ' 4 За, — а, = О, откуда а, = — , '5 4аа — аа = О, откуда а, =- †5 , 34' "' ' 45' л(л — 1) а — а = О, откуда а = " ', ... Следовательно, о о-а— о — ( 1) ао 2 3 5 6 ... (Зл — 1) Зл ' а, 3 4 6 7 ... Зл(За+1) а, и ач остаются проязвольными.
Итак, л ха хао ~Г 2 3 2 35 6 ''' 2 3 5 6...(Зл — 1)Зл+ ''')+ х' х' ,то а ~ 3 4 3 4 6 7+ ' '+3 4 6 7...3л(За+1)+ '''~' Радиус сдодимости этого степенного ряда равен бесконечности. Следовательно, сумма ряда (2.94) прн любых значениях х является решением рассматриваемого уравнения. Пример 2. х'у'+ху'+(х' — л') у= О. (2.95) Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка л, мотя впервые оно встречается в работал Л. Эйлера и Д. Бернулли. К уравиениао Бесселя сводятся мно~ие задачи математической физиин, поэтому мы исследуем его несколько подробнее. По теореме 2.10 по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения Бесселя может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда у ~чая арха+р.
р=о Дифференцируя атот ряд два раза почленно и подставляя в уравнение (2.95) получим ха ~ а ()а -(- р) (Я+ р — 1) х" а " э -(- р=о + х ~и~~ а (Я+р) ха+а '+(ха — л') ~~~~~ а ха+с=о. р о р о УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (Гл. Я 140 Сравнивая иоэффицишпы при одинаиовых степенях х в левой и правой ча- стях равенства, получаем ао [Лг — Л'] = О, а, [(и+ ГР— '] О, [(и + 2)г — лг] аг + ао = О, [(я+ 3)г — иг[ аг+ а, = О, [(Л+ р)' — и ] ар+ а„г =. О. Для определенности будем пока считать й = л ~ О; тогда из второго уравнения а,[(л + 1)' — «'] О получим: а, = О и, следовательно, все а,р„, О, ао ао г — — (и ( о)г иг йг(и [ 1) (и+ 4)' — лг 2' (и + 2) 2 2' (и+ 1) (и + 2) 1 ° 2 ( — 1)и а, 2го р1(и+ 1)(л+2) ...
(и+ р) При Ф вЂ” — и совершенно аналогично получаем ( — 1)Р а, а,и+, О, агл 2 "р(( — л+1) ( — и+2) ... ( — л + р) При й = и получаем решение 1) Р хгл +о У-.. ),Р 2 )г1(и+ 1)(и+2) ... (л+ р) Этому решению можно придать более удобный еид, если выбрать произволь- 1 ное постоянное а, „,(, 1, где à — аамма-функции Эйлера; наиом- 2РГ (и+ ним, что Г(р)= ~ а гхл гг(х при р>О, Г(р-[-1) р('(р). о Тогда - -)'®"" г- Х вЂ”,товА-нг и О (2.96) Так каи коэффипиент а, при низшей степени х можно считать отличным от нуля. то первое уравнение сводится к аг — л' = О, откуда Л = Ш л. 4 71 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 141 Это Решение обычно обозначаетсн /л(х) и нззываетса фУнкцией Бесселп первого рода порядка гь При Ф вЂ” л, выбирая ав 1 , аналогично получаем фун- 2 лГ ( — л+1) кцию бесселя первого рода порядка — п: ( )() ~-л (х) л ( р) Г ( — л + р+ 1) л=з Ряды (2.96) и (2.97) сходятся при любых значениях к (в (2.97) х ~ О) и допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно /л (х) г „(х) являются решениями уравнения Бесселя (2.95).
При л, не равном целому числу, решения г' (х) и г* л(х),. очевидно, линейно независимы, так как нх разложения в рядй начинаются с различных степеней х и, следовательно, линейная комбинация а,1л(х)+пгг',(х) может тождественно равняться нулю лишь при а; =: и, = О. Если же л равно целому числу, то, так как для целых отрицательных значений р и для р О фу.икция Г (р) обращается в бесконечность, разложения в ряды функций ул(х) н l л(х) начнутся с одинаковых степеней х и, как нетрудно проверить, функции Ул(х) и г' л(х) будут находиться в следующей линейной зависииости: ~-л(Х) ( 1) Ул(х). Следовательно, при целом л вместо l л(х) надо искать другое решение.
которое было бы линейно независимо от г„(х). Такое решение можно получить различными способаии, например, можно, зная одно частное решение /„(х), понизить порядок урзвнения (2.95) подстановкой, указанной па стр. 101, или сразу искать решение в виде суммы обобщенного степенного ряда и произведения обобщенно~о степенного рида на 1и х. Получаемое любым нз этих способов линейно независимое от гл(х) решение при вволне определенном выборе произвольного постоянного множителя называется функцией Бесселя второго рода в обозначается Ул(х).
Чаще всего, однако, Ул(х) определяют так: считая пока л не равным целому, числу рассматривают решение Ул (х) уравнения Бесселя, являющееса линейной комбинацией решений Ул(х) и г' (х). ./л (х) сов пп — г' л (х) з1п лп затем, переходя к пределу ирн а, стремящемся к целому числу, получают линейно независимое от /л(х) частное решение урзвнения Бесселя У„(х), определенное уже и для целых значений л. Итак, общее решение урзвнения Бесселя при л, ие ранком целому числу, имеет вид соул (х) + св/ л(х), а при л, равном целому числу, у с,1л (х) + с, Ул (х), где с, и с,— произвольные постоянные.
Функции Бесселя первого и второго рода изучены весьма детально н, в частности, составлены подробные таблицы их значений. Повтому, если какая-нибудь задача сведена к функциям Бесселя, то ее можно считать решенной в такой же мере, в какой мы считаем решенной зздачу, в которой ответ дан, например, в тригонометрических функциях.
Часто в приложениях приходится рассматривать уравнение х'у + ху'+ (штх' — л') у О. (2.98) Это уравнение сводится к уравнению Бесселя заменой переменной х, = тх. Действительно, при такой замене переменных Ду Лу с(х, (у П у 1 у — = — — = — т, — — — /Л, сх 1х~ пх пх1 ехз Нх~~ н уравнение (2.98) переходит в уравнение Бесселя: х1 —, + х~ — + (х1 — пг) у = О.
т "'У "У ах1 ах, Следовательно, общее репнине уравнения (2.98) прн л, ае равном целому числу, имеет вид у=- с,1„(тх)+ с,1,(тх), а при и целом у = с,1„(щх) + с,) „(тх). Пример 3. 9 1 хту" + ху' + ~4хз — — ) у = О. 28) Общее решение уравнения имеет вид у= 4,1з (2х)+ 4,1 з (2х). П р и и е р 5.
Проинтегрировать уравнение х'у'+ ху'+ (4х' — — 1) у = О 9! при условии, что решение должно быть непрерывно в точке х = О н у (О, 3) — Х Общее решение имеет вид у= с,1, (2х)+с,1, (2х). з з Функция 1 з (2х) разрывна при х О, так как ряд (2.97) начинается з с отрицательных степеней х. Следовательно, решение у непрерывно в точке .т ° О лишь при сз О: у. с,1, (2х).
а Пример 4. Общее решение УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО хту" + ху'+(Зх' — 4)у = О. ,1,( Р'т)+с,У,(х~ 3) $ и интегРиРОВАние уРАВнений пРи пОЯОщи РядОВ 143 Удовлетворяя второму условию у(0, 3) = 2, получим 2 с, У~ (0,6) з В таблицах Бесселевых функций находим л, (0.6) = 0,700, следовательно, з с, ю Д857 н у ю 2,857/т (2х). В приложениях часто требуется найти периодические решения некоторого дифференциалшюго уравнения.
В этом случае обычно целесообразно искать решение в виде суммы некоторого ряда Фурье: х(7) = 2 + т (А„соз — 7+ Влз1п 1 7). лн л=1 Заметим, что если уравнение хщ1=Р(7, х, х, ..., хгл И) (2.99) имеет периодическое решение хо(7) периода Т, то правая часть уравнения (2.99) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является периодической функцией периода Т по первому аргументу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
