Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказательство. Дано Е[й+1[<[= — (<+1['. надо доказать, Е[й] — Е<, Е[]У]=.1<. а 41 системы линепных диФФЯРенциАльных уРАВкенин 191 Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора 7., получаем 7.(0+ Л71= б!У]+ 1(.Й= — У+У. Следовательно, 7.Щ=У и б(Ь'1 = — У. Если иввестно общее решение соответствующей однородной системы б(Х) = О, но подобрать частное решение неоднородной системы 7.(Х)=Р не удается и, следовательно, нельзя воспользоваться теоремой 3.7, то можно применить метод вариапии постоянных. !! Пусть Х= ~ с,Х, является при произвольных постоянных с! е=! общим решением соответствующей однородной системы — — АХ=О и'Х в'г и, следовательно, Х!(!'=1, 2, ..., и) — линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы — — АХ= Р чХ Ш ищем в виде Х ~ха~ с! (Г) ХР 1=! Х, + ~с!(Г) — „' = А ~)„с!(С) Х,-1-Р, = — АХР получим а ~з с,' (г) Х! = Р.
!=1 Это векторное уравнение эквивалентно системе п уравнения." ~ с!'(г) хц =у! (г), ! ! (3.24) где с,(г) — новые уравнение дает л ~ь с,'(г) ах! или, так как— ст неизвестные функпии. Подстановка в неоднородное СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. 5 Из этой системы п уравнений с п неизвестными с,'(1) (! = 1, 2, ..., и) с определителем системы Уу', совпадаю!цим с определителем Вронского дли линейно независимых решений Хп Ха, ..., Х, и, следовательно, отличным от нуля, определяются все с,'(1): с,' (!) = ф (!) (! = 1.
2...., п), откуда, интегрируя, находим неизвестные функции с,(г)! — Г ср! (С) с(г + с; (! = 1, 2, ..., и). Пример 3. — = — х+— й! СО5 ! йх = у. й! Общее решение соответствующей однородной системы с!х йу — =)'. — — х й! ' й! сС(!) и са(!) определяется из системы (324), имеющей в данном случае вид с,' (!) сое г+ с' (с) мп ! = ц 1 С (!) 5!П ! + Ст (!) С05 ! =— ! Сое С откуда с,(С)= — —, с,(!)=1. 5!и ! СО5! ' Следовательно с,(!) = !и ! соз С! + с„ с, (!) - С + с, и Окончательно получаем х= с, соя!+ с,в!и!+ сов!!п )Поз!(+се!па У вЂ” с1 5!и с + сл соз ! — 5!и 11п ! сое ! ! + ! сое е.
ф 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Линейной системоц с постоянными ноэффициентами называется линейная система уравнений л — аых)+У!(1) (1=1, 2, ..., и), )=! имеет вид х=с,сов!+еле!пс, у — с,з!пт+С,СО5! (см. стр, 188. пример 2).
Варьируем постоянные х = с~ (!) с05 с+ сл (с) 5!и С, У - — С, (!) 5!П С+ С, (!) СО5 С. системы линейных уялвнении 133 или в векторной форме — = АХ + )еь ах в которой все коэффициенты аг) постоянны. или, что то же самое, матрица А постоянна. Проще всего система линейных однородных илн неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется путем сведения ее к одному уравнению более высокого порялка, причем, как отмечено на стр. 177, полученное уравнение более высокого порядка будет линейным с постоянными коэффициентами. Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
Будем искать решения системы нх, — =инх,+а„х,+ ... +и2,х„, Их, — = и22х! + Иааха+ ° ° ° + аа~х„ (3.25) ах„ МГ = И„2Х!+ пьеха+ ° ° ° + ИьлХА, где все а!) постоянны, в виде х =а ее', х =а еаг, ..., х„=а„еа', ! 1 ' 2 2 с постоянными а! (7'=1, 2, ..., И). Подставляя в систему (3.25), сокращая на еги и перенося все члены в одну часть равенства, получим (ац — Ф) а, + ани, + ...
+ а,„а„=б, а!,а, + (а22 — х) аа + ... + а!„о„= О, (3.26) а„,и, + а„,и, + ... + (а„„вЂ” 72)И„=О. Для того чтобы эта система и линейных олнородных уравнений с л ненэвестнымн и, (у= 1, 2, ..., и) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.26) был равен нулю; ан — 72 И22 ... а,„ ам (3.27) агн а„,.... аяя — й 13 л. э. эььггьььч СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл.
3 Из этого уравнения степени л определяются значения [з, прн которых система (3.26) имеет нетривиальные решения а) (7'=1, 2, ..., и). Уравнение (3.27) называется характеристическим. Если все корни характеристического уравнения й( ([ = 1. 2, ..., и) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3.26), определяем соответствующие им нетривиальные значения а(!) ([, 7'= 1, 2, ..., и) и, следо) вательно, находим и решений исходной системы (3.25) в виде где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс— номер неизвестной функции. Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат еще короче: — =АХ; их (3.25,) ищем решение в виде (! а, (а, Х = Ае"', где А= а ( Айеа' = ААеа', (А — [[Е) А = О, или (3.29) где Š— единичная матрица: 1 О О О 1 О О О О Для того чтобы уравнению (3.29) удовлетворяла нетривиальная матрица А ~О (О х('=а, е-), х(, =а', е г...., х(, =а„е г ([=1, 2, ..., и), (г) (г) а г (г) (г) А 4 (г) (г) гг г (3.
28) системы линеиных уРАВнениЙ 195 необходимо и достаточно, чтобы матрица А — 'ЕЕ была бы особой, т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: 1А — ДЕ~ = О, Для каждого корня Ф! Втого характеристического уравнения 1А — *лЕ1=0 из (3.29) определяем не равную нулю матрицу А" ' и, если все !и корни 1г! характеристического уравнения различны. получаем п решений: ,!г'! = А" е'!'. где ! а1,1! ! а"' ' Эти решения, как нетрудно показать, линейно независимы. Действи- тельно, если бы сушествовала линейная зависимость или в развернутой форме ~ 9 а! !г " — = О.
!=! (3.30) то, в силу линейной независимости функций е ! (1=1, 2, ..., а) (си стр. 96), из (З.ЗО) следовало бы, что () ц1О 3!а!11 = О, ! ! (3.31) (1 = 1, 2, ..., Л). 9 а1„11=0. и Но так как при каждом А хотя бы одно из ц!'!. а!111, ..., а<1! (! = 1. 2, ..., и) отлично от нуля. то из (3.31) следует, что ()1 = О (1 = 1, 2...., п).
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ >гл. 3 Итак, решения А >е > (> = 1, 2, ..., Л) линейно независимы -<» а> и общее решение системы (3.25) имеет вид л Х = ~'.", с,А"'е >', или х> — — ~~ с,а'"еа' (/=1, 2...., и), >=> где с, — произвольные постоянные. Постоянные а>п (/= 1, 2,..., и) определяются из системы (3.25) при и = )2> неоднозначно, так как определитель системы равен нулю и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является следствием остальных. Неоднозначность определения а'> связана с тем, / что решение системы линейных однородных уравнениИ остается решением тоИ же системы при умножении на произвольный постоянный множитель.
Комплексному корню характеристического уравнения (3.27) й) — — р + >>1 соответствует решение Х, = А>>'е~>'. (3.32) которое, если все коэффициенты а,7 действительны, может быть ззменено двумя действительными решениями: действительной н мнимой частями решения (3.32) (см. стр. 184). Комплексный сопряженный корень характеристического уравнения Д,л> = — р — д) не ааст новых линейно независимых лействительных решений.
Если характеристическое уравнение имеет кратный корень >г, кратности у, то, принимая во внимание, что систему уравнений (3.25) можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами н-го или более низкого порядкз (см, замечания на стр. 177), можно утверждать, что решение системы (3.25) имеет вил Х (Г) =(Аэо'+ А>~'~Г+ ... —,'- Ат~ >Гт г)е~л', (3.33) где ' а>а> !> аы> 2> А'>" = а<И л> аы> — постоянные. )> СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ $5! Следует заметить, что и в тех случаях, когда система и уравнений (3.25) сводитая к уравнению порядка ниже и (см.
замечание 1 стр. 176), характеристическое уравнение последнего необходимо имеет корни, совпадающие с корнями уравнения (3,27) (так как уравнение, к которому свелась система, должно иметь решения вида е е, где й, — корни уравнения (3.27)). Но возможно, что л! кратности этих корней, если порядок полученного уравнения ниже и, будут ниже кратностей корней уравнения (3.27), и следовательно, возможно, что в решении (3.33) степень первого множителя будет ниже, чем у — 1.
т. е. если мы будем искать решение в виде (3.33), то может обнаружиться, что некоторые коэффициенты А(;", в том числе и при старшем члене, обращаются в нуль. Итак, решение системы (3.25), соответствующее кратному корню характеристического уравнения, следует искать в' виде (3.33). Подставив (3.33) в уравнение (3.25,) и, требуя, чтобы оно обратилось в тождество, определим матрицы А",1, причем некоторые иа них, в том числе и Ат (, могут оказаться равными нулю.
(л! За м е ча н и е. Можно точнее указать вид решения системы (3.25), соответствующего кратному корню характеристического уравнения (3.27). Преобразовав систему (3.25) неособенным линейным преобразованием к системе, в которой матрица ((А — дЕ!! имеет норллальную Жорданову форллу, и проинтегрировав полученную легко интегрирующуюся систеллу уравнений, обнаружим, что решение, соответствующее кратному корню д! характеристического уравнения (3.27) кратности Т, имеет вид Х(!) =(А(эм+ А((мг+ ... + А~'~ ГЗ ')елл', где Д вЂ” наибольшая степень элементарного делителя матрицы (!А — «е!1, соответствующего корню ле Пример 1. !(х ду — = х+2у — = 4х+ Зу. ат л(г Характеристическое уравнение 1 — В 2 =О или Лл — 4Д вЂ” 5=0 4 3 — А' имеет корни Л! = 5, Д! = — 1.
Следовательно, решение ищем в виде х,=а,'е', у,=аэ'е', (3.341 хэ — — а! !е, уа — — аа ле Подставлвя (3.34) в исходную систему, получим: — 4а((П+2а(я'!= О, откуда ай'! = 2а(,'1; а(((! остается произвольным. Следовательно, хл с,е, у( 2сле, сл —— а( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
