Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Но так как уравнение (5.17) не содержит с, то оно не может обращаться в тождество в силу уравнения (5.19), содержащего с, н, следовательно, должно быть тождеством по отношению ко всем переменным хи х, ..., х„, г, меняющимся независимо. Последнее утверждение допускает простую геометрическую интерпретацию. Говоря, что уравнение (5.17) обращается в тождество в силУ УРавнениа и(хн хм ..., х„, г) = О. мы УтвеРждаем, что уравнение (5,17) обращается в тождество в точках поверхности и = О, но может не обращаться в тождество в других точках пространства хи х|, ..., х„, г, Если же уравнение (5.17), не содержащее с, обращается в тождество в силу уравнения и = с, где с — непрерывно меняющийся параметр, то это означает, что уравнение (5.17) обращается в тождество на всех непересекающихся и заполняющих некоторую часть 7) пространства хи ха, ..., х„, г поверхностях и = с, с| " с ( с, и, следовательно, уравнение (5.!7) обращается в тождество в области О при независимо изменяющихся хп х,, ...
Х|н г. В конкретных задачах обычно требуется найти решение уравнения (5,15). удовлетворяющее еще каким-нибудь начальным условиям, и так как специальных решений в указанном выше смысле сравнительно мало, то они лишь в совершенно исключительных случаях будут удовлетворять поставленным начальным условиям и поэтому нх лишь в редких случаях приходится принимать во внимание. П р и м е р б. Проинтегрировать уравнение л Х х| — — рг, дг (6,20) дх| | 1 где р — постоянная. Система уравнений дх1 дхт дхз дл х, х, "' хк рл имеет следующие независимые интегралы: х,, л с,... „= = с„ь — = с„. х„ Р х) — =си х„ Следовательно, решение х исходного уравнения определяешься из уравнения откуда Итак, решением является произвольная одноролная функция Р-й степени однородности. Можно доказать, что уравнение (5.20) ие имеет специальных интегралов и, следовательно, теорема Эйлера об однородных функциях обратима — уравнению (5.20) удовлетворяют только однородные функции степени однородности р.
Понятие характеристики распространяется на системы квазилинейных уравнений следующего специального вида: ди ди Р(х, у, и, е) — + О(х, у, и, е) — = Р, (х, у, и, е), дх ' ' ' ду де де (Г) Р (х, у, и, е) — + О (х, у, и, е) — = 1(т(х, у,и,е). дх ' ' ' ду Характеристиками такой системы называются векторные линни векторного поля з четырехмерном пространстве Г = Р (х, у, и, е) 1+ О (х, у, и, е) )+ Р~ (х, у, и, е) 1с, + Рт (х, у, и, е) )г, где 1, ), йи й, —.единичные векторы, направленные соответственно по осам координат Ох, Оу, Ои и Ое.
Характеристики определяются системой уравнений дх ди де (д) Р (х, у, и,е) О (х, у,и, е) Р,(х, у, и, е) Р,(х, у, и, е) Система уравнений (Г) з векторной записи имеет вид (Р.В(,) =0 и (Р 5(т) =О, 1 ди ди /де де где 1Ч, и 5(т †векто с координатами 1 †, †, — 1,О) и ~ †, †, О, — 1), 1 дх ' ду ' ' ) (,дх' ду' направленные по нормалям к искомым трехмерным цилиндрическим поверхностям соответственно и = и (х, у) и о = е(х, у).
Следовательно, с геометрической точки зрения интегрирование системы (Г) сводится к нахождению двух трехмерных цилиндрических поверхностей и = и(х, у), и е = е(х, у), нормали к которым в точках пересечения атих поверхностей ортогональны к векторным линиям. Очевидно, что зто условие будет выполнено, если двухмерная поверх- 254 уРАВнения В чАстных пРОизВОДных пеРВОГО пОРядкА [гл.
а еехвнпння пилсил ность Я, по которой, вообще говоря, пересекаются трехмерные цилиндрические поверхности и = и(х, у) и е=е(х, у), будет состоять из векторных линий, так как эти векторные линии будут лежать одновременно на поверхностях и=и(х, у) и е е(х, у) и, следовательно, будут ортогональны векторам М, и Хь Взяв какие-нибудь два независимых относительно и и е первых интеграла Ф,(х, у,и, е) = О и Ф,(х, у, и, е) = 0 системы (Л), другими словами, взяв две трехмерные векторные поверхности, мы, вообще говоря. в их пересечении получим двухмерную поверхность 3, состоящую из векторных линий, так как если некоторая точка принадлежит одновременно векторным поверхностям Ф,(х, у, и, е) 0 и Ф.,(х, у, и, е) О, то и векторная линия, проходящая через зту точку, лежит в каждой из этих поверхностей.
Разрешая систему уравнений Ф,(х, у,и, е) 0 и Фр(х, у,и, е) = О относительно и и е, получим уравнения двух трехмерных цилиндрических поверхностей и=и(х, у) и е=е(х, у), пересекающихся по той же двухмерной поверхности 5, состоящей из векторных линий. Следовательно, найденные функции и= и(х, у) и е =е(х, у) будут решениями исходной системы. Решение системы (Г), зависящее от двух произвольных функций.
можно найти, применяя тот же метод во взяв первые интегралы системы (Л) в наиболее общем виде: Ф,(ф, (х, у, и, е), ф (х, у, и, е), ф (х, у. и, е) ) О, (Е) Фт(ф, (х. у, и. е), фт (х, у. и, е), фт(х, у, и, е) ) О. где ф, (х, у, и. е), ф, [х, у, и, е) и ф,(х, у, и, е) — независимые первые интегралы системы (Л), а Ф, и Ф, — произвольные функции (см. стр.
249). Уравнения (Е), если стожиые ф) н .ции Ф, и Фт независимы относительно и и е, определяют решения и(х, у) и е(х, у) системы (Г) как неявные функции х и у, зависящие от выбора произвольных функций Ф, и Фи 5 3. Уравнения Пфаффа В 9 2 мы рассматривали две задачи.
естественно возникающие при изучении непрерывного векторного поля Р=Р(х, у, х)1+()(х, у, хИ+Я(х, у, я)1с. Это — задачи о нахождении векторных линий и векторных поверхностей. Почти так же часто возникает задача о нахождении семейства поверхностей (у(к, у. г)= с, ортогональных к векторным линиям. Уравнение таких поверхностей имеет вид (г 1) = О. где 1 — вектор, лежащий в касательной плоскости к искомым поверхностям: 1=)их+)ау+ )сИл или в развернутом виде Р(к. у, г)агк+Я(к, у, х)Иу+)с(х, у, я)л(я=О.
(5.21) 'Уравнения вила (5.21) называются уривмениялти Пграгрфа. 255 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА (Гл. 3 Если поле Г=Р(-(-ьг)+)с)г потенциально: д0 дУ дУ Г=ягадУ, т. е. Р= —, (й= —. )г= —. дх' ду' дг' то искомыми г(оверхностями являются поверхности уровня У(х, у. В)=с потенциальной функции У. В этом случае нахождение искомых поверхностей не представляет затруднений, так как ы, у, х! У = ~ Р г(х + Я г(у + Й и'г, ы,у, хи где криволинейный интеграл берется по любоиу пути между выбранной фиксированной точкой (хз. уе, ге) и точкой с переменными координатами (х, у, г), например, по ломаной, состоящей нз прямолинейных отрезков, параллельных осям координат.
Если же поле Г не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать скалярный мно>к|гтель р(х, у, г), после умножения на который вектора Г поле становится потенп!ильным. Если такой множитель существует, то рГ =ягай У или ди ди ди "Р= д ' "'г= у ду ' дг и, следовательно, д (НР) д(иР) ду дх д (Щ) д (И)!) д (И)!) д (рР) ду ' Рх или дР д() ! Г дн дн! — — = — ((~ — — Р— ), ду дх и (, дх ду)' д() д)! 1 ! дн дн( дг ду И (, ду дг)' дй дР ! ( дн дн1 = — 'Р— — й — ).
дх дг и ( дг дх)' или (Г ° го! Г) = (), где вектор со! à — вихрь поля — определяется равенством "'"=(~ — — д-)'+~ — — — ) +( — — —.)" Если это условие, называемое условием волной интегрируелости уравнения (5.2!), Не выполнено, то не существует семейства поверх- Умножая первое из этих тождеств на )х, второе на Р, третье на (,) н складывая почленно все трн тождества, получим необходимое условие существования интегрирующего множителя рл 257 % з1 УРАВНЕНИЯ ПФАФФА носгей У(х, у.
х) =с. ортогональных векторным линзам поля Г(х, у, з). Действительно, если бы такое семейство У(х, у, г) = с существовало, то левая часть уравнения (5.21) моглз бы отличаться от дУ дУ дУ 61х+ (у+ 7а дх ду да и,(х, у, я)=0 и,(х, у, )=О. (5.22) Для нахождения таких линий можно одно из уравнений (5.22) задать произвольно, например и,(х, у, г) = О, (5.23) и, исключив из уравнения (5.21) с помощью уравнения (5.23) одно из переменных, например з, получим дифференциальное уравнение вида М(х, у) г)х+М(х, у)г(у=О, интегрируя которое, найдем искомые линии на произвольно выбранной поверхности У, (х, у, г) = О. Покажем, что условие (Г ° го1Г)=0 является не только необходимым, но и достаточным для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям.
Заметим, что па искомых поверхностях У(х, у, г)=с должно обращаться в тохкдество уравнение Р г(х+ 1',1 г(у + гс г1г = 0 или, что то же самое, на этих поверхностях криволинейный инте- грал ~ Р г)х -Г- Я с(у + )с'г(л с (5.24) лишь некоторым лшожителем р(х, у, г), который и был бы интегрирующим множителем уравнения (5.21). Итак, лля существояания семейства поверхностей У(х, у, а)=с, ортогональных векторным линиям векторного поля Г, необходимо, чтобы векторы Г и го1Г были бы ортогональны, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
