Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 45
Текст из файла (страница 45)
доГ г д Полная частная производная — (г" 1 = О, так как Р =— О, и следя! довагельно, функпии У! являются решениями линейных однородных дУ~ уравнений — = — Р,Ур которые имеют единственное решение У) = О, если Ут(, = О. Следовательно, если начальные значения рю(ан ля..... з„,) (1=1, 2, ..., и) выбрать так, что (г))! о —— О и гд х дх) илн — — ~„рг — =О (у'=1, 2...., л — 1), то дз) зД~~ да г г=! дх %т дх! д — т р,— = — О (1=1,2,..., и — 1) дог к~а ' дат !-! 18" 276 тяавнвния в частных производных пгввого порядка ггл а и, следовательно, на поверхности (5.60) с!« = ыт р, с(х>, т. е, р, =— д« дх; 11 (1'=1, 2, ..., п).
Итак, для нахождения интегральной поверхности уравнения Р(х,, хт, ..., х„, «, р,, р,, ..., Р„)=0, проходя>дей через (п — 1)-мерную поверхность х>е=х>0(81 82 " 8.-1) (1=1 2 " и) «0 = «0 (81 82 80-1)* надо определить начальные значения рю (8,, 82, ..., 8„,) из уравнений Р (Х10 Х20' ' ' ' ' хпо' «Р10 Р20 ' ' ' Р00) и — — г ра — 1=0 (.7=1, 2.
"и — 1) д«0 %2 дх>о да! >не >0 дз! 1=1 (5.65) после чего, интегрируя систему (5.59) (стр. 273) с начальными усло- виями: Х>0 Х>0(81' 82' ' ' '' 80-1)' «0=«0(81 82 ' 80-1) (1=1, 2...„п), Р>0= Р>0(81 82 ° ° ° 8 -1) получим: х>=х>(г, зн 8, ..., 8„,) ((=1, 2, .... и), «=«(1, 8,, 8,, ..., 8„,), р,=р>(8, зн 82, ..., 8„,) (1=1, 2, .... и). (о.66) (5.67) получим р 88', е е', х е', у=за', «* 8821. Уравнения (5.66) и (5.67) являются парал>етрическими уравнениями искомой интегральной поверхности.
3 а м е ч а н и е. Мы предполагали, что система уравнений (5.65) разрешима относительно рю, а также, что система (5,59) удовлетво- ряет условиям теоремы существования и единственности. Пример 1. Найти интегральную поверхность уравнения «= р>у.,про. ходящую через прямую х= 1, « = у. Запишем уравнение прямой х = 1, « = у в параметрической форме хс 1, у> = 8, «р = 8. Определяем р, (8) и 17> (8) из уравнений (5.65): 8 р>>70, 1 — >70=0, откуда р0=8, >70 — — 1. Интегрируем систему (5.59): дх ду д«др д>7 — — — — дг, р 2р>7 р >7 р = с,е', д = с,е', х = с,е'+ 02, у = с,е'+ с„«с,с,е21 + сг, Принимая во внимание, что при Г О «=1 у 8, «=8, р 8, >7=1, 277 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Следовательно, искомой интегральной поверхностью является х=е', у ае', а=лет' илн л ху. / дл !2 ! дх !г Пример 2.
Проинтегрировать уравнение! — ~ +~ ) =2 прн усло(дх~ (ду) вин, что при х= О, а= у, или в параметрической форме х,=О, у, =ю л, = л. Определяем рл(з) " !74(а)! Рс+ !)о = 2 1 !7о = О' 2 2 откуда 474= 1, ре = ~ 1 Интегрируем систему уравнений (5.59)! дб ду 2Р 24 4 р=с,, !7=с,, х=2сг+с,, пользуясь начальными условиями р,= ~ 1, 474 =1, х, =О, у,=з, х, = з, получим Р = ~ 1, 47 = 1, х = х 26 у = 2Г+ з, х = 4Г+ к Последние три уравнения и являются параметрическими уравнениями искомой интегральной поверхности. Исключая параметры Г и з, получим а= у ~ х. где р = —, являющегося частным случаем уравнения (5.56) (стр.
272). до дх! ' Метод Коши, который в применении к уравнению (5.68) часто называется первым а!ел!одом Якоби, приводит иас к системе уравнений дх! дхт дх„ дН оН ''' дН дР! дрг дри др! дН дх, бра дН дхт' др„до дН л — кч дН до дхл ~ Р; — +— л'4 'др! дт 4=о откуда — — — = — — (1 = 1, 2, ..., и) (5,69) дх! дН 41р! дН дт др! ' дт дх1 41о Ст дН до — =,~, р — + —. дт .?~ !др, дт ' ! ! или л до дН вЂ” „,.=~) рг —.— Н. (5.70) !-! В задачах механики часто приходится решать аадачу Коши для уравнения — +Н(1, хн хз,..., х„, рн рт...„р„)=0, (5.68) 278 уялвнвння в частных пионзводных пивного повядкл 1гл, з Система 2п уравнений (5.69) не содержит о и может быть проинтегрирована независимо от уравнения (5.70), после чего из уравнения (5.70) функция о находится квадратурой.
В атом н заключается некоторое своеобразие применения метода Коши к уравнению (5.68). Кроме того, в рассматриваемом случае нет необходимости вводить в систему (5.50) вспомогательный параметр, так как эту роль с успехом может играть независимая переменная 1. Задачи и главе 5 дг дг 1. — — — = О. 'дх ду дг дг 2.
— + — = 2г. 'дх ду дг 3. х — =г. ду дг дг 4. г — — у — = О. дх ду дг 5. у — = г при х = 2, г = у. дх дг дг 6. х — — у — = г при у = 1. г= Зх. дх ду дг дг 7. уг — + — = О при х = О, г '= у'. дх ду 8. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства г=аху. О. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства хуг = а.
х дг у дг 1О. — — — — —. = г — 5. ' 3 дх 5 ду ди ди ди И. — + — + — =О. ' дх ду дг ди ди ди 12. х — + 2у — + Зг — = 4и. дх ду дг дг(х, у) О дха дг дг 14. — — 2х — =0 при х= 1, г ук ' дх ду 15. Интегрируется ли уравнение (у'+ ге — хт) дх+ хг ду+ ху Фг = О. одним соотношеиием2 16. Проинтегрировать одним соотношением уравнение (у+За ) Фх+(х+у) ду+бхгда О.
17. Найти полный интеграл уравнения )гй = х'у'. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ В 18. Найти полный интеграл уравнения « = рх+ ду+ р'4'. 19. Найти полный интеграл уравнения Рр = 9«'. 20. Найти полный интеграл уравнения р = а!и ф 21. Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля Г (2ху — Зу«) ! + (х' — Зх«) ! — Зху М. 22.
Найти семейство поверхностей, ортогональных векторным линиям векторного поля Г=(2х — у) !+(Зу — «)~+(х — 2у)н. 23. Найти векторные линии, векторные поверхности.и поверхности, ортогональные векторным линиям поля Г= х!+ у! — «й. 24. « = рд+1 при у = 2, « = 2х+1. 25. 2« = рд — Зху при х= 5, « = !5у. 26.
4« = рт+ вг при х = О, « = у'. ЧАСТЬ 11 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные н минимальные значении некоторой функции г = /(х], в задачах физики нередко возникает необхоу дикость найти максимальные или Ю/т„у/ минимальные значения величин особого рода, называемых функционалами. "/гг Уа/ У У/х/ Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций. 0 Например, функционалом яв- ляется длина / луги плоской Рнс.
А. (или пространственной) кривой, соединяющей две заданные точки ч(хо уо) и В(хо, уо) (см. рнс, А). Величина / может быть вычислена, если задано уравнение кривой у =у(х); тогда /(у(х)1 = / )/1+ (у')'г/х. к, Площадь 5 некоторой поверхности также является функционалом, таь как она определяется выбором поверхности, т. е.
выбором функции г(х, у), входящей в уравнение поверхности г=г(х, у). Как известно. где )'.! — проекция поверхности на плоскость Оху, введение 281 Моменты инерции, статические моменты, координзты центра тяжести некоторой однородной кривой илн поверхности также являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой или поверхности, т. е. выбором функций, входящих в уравнение эгой кривой или поверхности.
Во всех этих примерах мы имеем характерную для функционалов зависимость: функции (ильь вектор-функции) соответствует число, в то время как при задании функции г = 1'(х) числу соответствовало число. Вариационпое исчисление изучает льетолы, позволяющие нахолить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать У функционал на маьсьмум нли минимум, назьяваются еариационныжи задач алш.
Многие законы механики и физики свалятся к утверькдению, что некоторый функционал з рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название еариационпых принципал льеханнкн или физики. К числу таких вариационных принципов нли простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего Рис. Б. действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохраненьи момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивьютской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т, л, Вариационное исчисление начало развиваться с 1696 года и оформилось в самостоятельную математическую дисциплину с собственными метолами исследования после фундаментальных работ действительного члена Петербургской Академии наук Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
