Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для функционала к, о[у(х)[ = [ Р(х, у. у')дх это условие имеет вид ~ [Рг Ьу + Ржбу'] а[х = О. к, Интегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что Ьу'=(Ьу)', получим к) т «[к.+ т' ~ » дх т) кч Но Ьу[ =у(х) — у(х,)=0 н Ьу[к м=у(х,) — у(х)=0, УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА $2! потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки, и следовательно.
кь Ьо / (Ру д Ру') Ьу дх к Итак. необходимое условие экстремума приобретает вид к, / (Ру — — Ру)будх=О, кь (6. 2) причем первый множитель Ру — — Ру на кривой у=у(х), реалиях зующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель Ьу, ввиду произвола в выборе кривой сравнения у=у(х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условинм, а именно: функция Ьу в граничных точках х = хэ и х = х, обращается в нуль, непрерывна и дифферениируема один или несколько раз, Ьу или Ьу и Ьу' малы по абсолютной величине.
Для упрощения полученного условии (б.2) воспользуемся следующей леммой: Основная лемма вариационного исчисления. Если для каждой непрерывной функции Ч(х) к, ~ Ф(х) 2)(х) дх О, кь еде функция Ф(х) непрерывна на оупрезке (хз, х,), гло Ф(х)нввО на гном же олгрезке. Замечание. Утверждение леммы и ее доказательство не изменяются, если на функции 2)(х) наложить следующие ограничения: т)(хз) = 2)(х,)= О; 2)(х) имеет непрерывные производные ло порядка р, 12)ь'>(х)~ ( е (з = О, 1, ... у; д ( р), Доказательство. Прелположнв, что в точке х=х, лежащей на отревке хз ( х ( хп Ф(х)чьО, придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции Ф(х) следует, что если Ф(х)+О. то Ф(х) сохраняет знак в некоторой окрестности (хэ(х <х1) точки х; но тогда, выбрав функцию у)(х) также сохраняющей знак 296 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 1ГЛ.
Е в этой окрестности и равной, нулю вне этой окрестности (рис. 6.5), получим к, к, ~ Ф(х) т) (х) ~х = ~ Ф (х) т) (х) йх эьО, к к„ так как произведение Ф(х) 11(х) сохраняет знак на отрезке (ха<х <х,) и обращается в нуль вне этого отрезка. Игак, мы пришли к противоречию, следовательно, Ф(х) =— О. Функцию т)(х) можно выбирать, например, так: т1(х)= — О вне отрезка (хе <х <х,); Ч(х)= = л (х — х )тк (х — х,)ел на отрезке (х < х < х,), где и — целое Рис. 6.5. положительное число, Д вЂ” постоянный множитель, Очевидно, что функция т)(х) удовлетворяет упомянутыи выше условиям: она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2и — !, обращается в нуль в точках хе н х, и может быть сделана по модулю сколь угодно малой вместе со своими производными за счет уменьшения модуля множителя /г.
Замечание. Дословно так же можно доказать, что если функция Ф(х, у) непрерывна в области О на плоскости (х, у) и ~ Ф(х, у)г)(х, у)г(хс(у=О при произвольном выборе функции т)(х, у), удовлетворяющей лишь некоторым общим условиям (непре,рывность, дифференцнруемость один или несколько раз, обращение в нуль на границах области к). 1Ч~ <е, 1т) ! <е, 1т) ( < е) то Ф(х, у)=О в области ьк.
Функцию т)(х, у) при доказательстве основной леммы можно выбрать. например, так: т)(х, у)=— О вне круговой окрестности достаточно малого радиуса е, точки (х, у), в которой Ф(х; у)+О, а в втой окрестности точки (х, у) функция т)(х, у) = и ((х — х)'+(у — у)т — ее]ек (рис. 6.6).
Аналогичная лемма справедлива и для и-кратных интегралов. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Применим теперь основную лемму лля упрощения полученного выше необходимого условия (6,2) экстремума простейшего функционала (6.1) к, / (Ру — — „Р,, ) буФ.с=О. к, (6.2) Все условия леммы выполнены: на кривой, реализующей экстремум, ц множитель (с — — г"'у ) является непрерывной функцией, а вариан'х ция бу является произвольной функцией, на которую наложены лишь предусмотренные в основной лемме ограничения общего характера, следовательно, гк — — г"'у = О У Лл т на кривой у = у (х), реализующей экстремум рассматриваемого функционала, т.
е. у=у(л) является решением дифференциального уравнения второго порядка Р~ — — „Р„= О, л' лх или в развернутом виде т ~ку' ~~ у'у — Р,~ул=О. Рис. 6.6 Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (6.!), интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе у(ле)=у, у(х,)=ун Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функцирнала Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенныь и в главе 8. Это уравнение называется уравнениелг Эйлера (оно впервые было им опубликовано в !744 голу).
Интегральные кривые уравнения Эйлера у=у(х. С,, Ст) называются зксгирелгалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала к! о(у(х)1= ~ г- (х, у, у')г(х. кО 29в метод влвилции в задачах с неподвижными гялницлми 1гл. а Напомним, что краевая задача гт —,1 гт' =0 У(хо)=Ус У(хэ)=рг не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным (см. стр. 159). Заметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи, и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.
П р н м е р 1, На каких кривых может достигать экстремума функционал в[у(х)] = / [(у')' — у']Лх1 у(0)=0, у ~ — ")=1? о Уравнение Эйлера имеет вид у'+у=О; его общим решением является у = С, соз х+ С, з1п х. Используя гравичные условия, получаем: С, О, С, = 1; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у= мих. Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал 1 в[у(х)] = ~ [(у')'+ 12ху) Лх, у(О) = О, у(1) 1? о Уравнение Эйлера имеет внд у — бх = О, откуда у = х'+ С,х+ С,.
Используя граничные условия, получаем: С, = О, С, = О; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = х'. В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось, но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются з конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. 1) Р не зависит от у'. Е = Р (х, у). Уравнение Эйлера имеет вид Г (х, у)=0, так как Рг =О.
Решение полученного конечного уравнения Р (х, у) = 0 не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям у(хе)=ус и у(хг)=у,. Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая Р„(х, у)=0 $21 УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА проходит через граничные точки (хо, уа) н (хм у,), существует кривая, иа которой может достигаться экстремум.
Пример 3. Хо о[у(х)[ [ уопх; у(хо) уо, к, У(х)=УР Уравнение Эйлера имеет вид г"„=О или у О. Экстремаль у = 0 проходит через граничные точки только при у, = 0 и у, = 0 (рис. 6.7), Если уо — — О и у, = О, то, очевидно, функция у = О реали- к, зует минимум функционала о = ~ у' Лх. у ж так как о [у (х)]) О, причем о = О при у=О. Если же котя бы одно нз у, и у, не равно нулю, то минимум функционала на непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных функций л й х у„(х), графики которых состоят нз все бо- 0 х~ лес и более круто спускающейся из точки (х„ уо) к оси абсцисс дуги кривой, затем нз отрезка оси абсцисс, почти совпа- Рис.
6.7. дающего со всем отрезком (хм х,), и, наконец, возле точки хн круто поднимающейся к точке (хь у,) дуги кривой (рис. 6.8). Очевидно, что на кривык такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля н, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако зта нижняя грань не может достигаться на вепрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у(х), отличной от та- х, ждественного нуля, интеграл ~ у' пх > О. Эта нижняя грань значений Хо функционала достигается на разрывной функции (рис, 6.9) у (хо) = уо у(х) = О при х, < х < хо у(х,) = уо 2) Функция тч линейно зависит от у': гч(х, у, у')=М(х, у)+М(х, у) у', ю ю [у (х)) = ~ [ М (х, у) + 7т( (х, у) — „й ~ пгх.
зоо метод влгилцип в задачах с неподвижными станицами (гл.а Уравнение Эйлера имеет вид дМ дй( — + — у' — — Ф(х, у)=0, ду ду дх или дМ дйГ, дд1 д)Ч вЂ” + — у' — — — — у'=О, ду ду дх ду или гни ч =0: ду дх но это опять, как и в предылущем случае. конечное, а не аиффе- дМ дгт' ренциальное уравнение. Кривая — — — = О, вообще говоря, не ду дх Рис. бйй Рнс. 0.9. удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило. не имеет решения в классе непрерывных функций, дМ д)ч Если же — — — — = О, то выражение Ядх+й(с(у является точ- ду дх ным лифференпиалом и м к, о= ~ ~М + И вЂ” У)г(х= / (Мг(х+Мг(у) к, Х не зависит от пути интегрирования, значение функционала о постоянно иа допустимых кривых.
Вариационная задача теряет смысл. Припер 4, 1 е(у(х)) = ~ (у'+лгу') дх; у(0)= О, у(1) = а. о дМ д)т' Уравнение Эйлера имеет вил — — — =0 нли у — х=О. Первое гра- ду дх ннчное условие у(0) = 0 удовлетворяется, ио второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же а чь 1, то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует. УРАВНЕНИЕ ВИЛЕРА Пример б. о[у(х)[ = ~ (у+ху') Лх илн о[у(хц ~ (у Фх-[ хну); к, к, у(хь)-у у(хд=у Уравнение Эйлера превращается в тождество 1гв1. Подынтегральное выражение является точиыч днфферевцизлом, и интеграл не ззвисит от пути интегрированию к, о [у (х)[ ~ Л (ху) = х,у, — хаум кО по какой бы кривой мы ни интегрировали. Варнационная задача не имеет смысла.
3) Р зависит лишь от у'. Р=Р(у'). Уравнение Эйлера имеет внд Р, у" — О, так как Р, = Рк, .= =Р =О. Отсюда у"=О илн Ргк =О. Если ук=О, то у = =С,х+Ст — двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение Р т (у')=О имеет один илн несколько действительных коРней У'=(аи то У=)агх+С, н мы полУчаем однопаРаметРическое семейство прямых, содержашееся в полученном выше двукпараметрическом семействе у=С,х+С,.
Таким образом, в случае Р = Р(у') экстремалями являются всевозможные прямые линии у=С,х+Сз. П р и мер б. Длина дуги кривой 1[у(х)[= ~ )г 1+у' лх к, имеет зкстремалями прямые линии у = С,х + С,. Пример т. Время ([у(х)[, затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой у=- у(х) нз точки А(х,, у,) в точку В(хь у,), если скорость Лк — = о(у') зависит только от у', является функционалом вида лт к, «О С к, лл, ык [ 1+у'лх [ [г)+у' о (у') е (у') 1,/ (у') к', Следовательно, зкстремалями втого функционала являются прямые линии 4) Р зависит лишь от х и у'. Р=Р(х, у').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
