Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если бы мы перешли к какому-нибудь другому параметрическому представлению искомой кривой х = х (т), у == у (т), то функционал о[х, у[ преобразовался бы к Ут 1. Ег(,, ', .сь хт х но, подынтегральная функция функционала и не меняет своего вида прн изменении параметрического представления кривой. Рис. 6,14.
Таним образом, функционал о зависит от вида кривой, а не от ее параметрического представления. Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если подынтегральная функция функционала о [х (Е), У (Е)[ =. ~ Ф (Е, х (Е), у (Е), х (Е), у (Е)) гЕЕ не содержит Е нано и является однородной функцией первой степени однородности относительно х и у, то функционал п[х(Е), у(Е)[ зависит лишь от вида кривой х = х(Е), у = у(Е), а не от ее параметрического представления. Действительно, пусть о [х (Е), У (Е)] = ~ Ф (х (Е), у (Е), х (Е), у (Е)), йг, Е, й а) вавмацмоииын задачи в павдынтвмчвскоп поныв 319 где Ф(х, у, ах, ду) =- аФ [х, у, х, у), Перейдем к новому параметрическому представлению, полагая т=ф(Г) (о(Г) ~О), х .«(т), у=у(т).
Тогда Ф(х(й). У(й)х(т), У(т))гтт=/ Ф(х(т), У(т), хт(т)ф(г), Ут(т)Р(т)) —. ч. (П' т, В силу того, что Ф нвляется однородной функцией первой степени одно- родности относительно х и у, будем иметь Ф(х, у, х,е, утгр) = чФ(х, у, х, у ), откуда м т. е. подынтегральная функция пе изменилась прн изменении параметрического представлению длина дуги ~ )г ха-).утс(т "). площадь, ограниченная некоторой кривой ! /' — / (ху — ух) лт. являются примерами таких функционалов, 2 / Гк Для нахождения экстремалей функционалов рассматриваеного типа (х(Г) у(Г)) =- ~ Ф(х, у, х, у) Нт где Ф вЂ” однородная функция первой степени однородности относительно х и у, как и для функционалов с произвольной подынтегральной функцией Ф(т, х, у, х, у).
надо решить систему уравнений Эйлера Фс — — Ф.=О; Ф вЂ” — Ф. =О. и Л х т л'г Однако в рассматриваемом частном случае этн уравнения не являются независимыми, так как им должны удовлетворять наряду с некоторым решением х= х(Г), у == у(Г) н любые другие пары функций, дающие другое параметрическое представление той же кривой, что в случае независимости уравнений Эйлера привело бы к противоречию с теоремой существования ь) Функции )г ха+ у' является положительно однородной первой степени однородности, т. е, для нее условие г" (йх, йу) йг(х, у) удовлетворяется лишь при положительных А, однзко этого вполне достаточно для справедливости излагаемой в этом параграфе теории, так как при замене переменных т в(т) можно считать в(т) > О. 320 метод ВАРиАцин В ВАдАНАх с непОдВижными гРАницАми (гл. з н единст венности решения системы дифференциальных уравнений (см.
сгр. 75). Это указывает нз то, что для функционалов вида о [х(т), у(т)! = ~ Ф (х, у, х, у) дд где Ф вЂ” однородная функция первой степени однородности относительно х н у, одно нз уравнений Эйлера является следствием другого. Для нахождения зкстремалей надо взять одно из уравнений Эйлера и проинтегрировать его совместно с уравнением, определяющим выбор параметра. Например, к уравнению 61 — — Ф . = О можно присоединить уравненве х дт х хз-(- у' = 1, указыва1ащее, что за параметр взята длина дуги кривой.
ф 7. Некоторые приложения Основным вариационным принципом в механике является принцип стационарного действия Остроградского — Гамильтона, утверждающий, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, дающее стационарное значение (т. е. значение, соответствующее аргументу, для которого вариация фуа1ционала равна нулю) интегралу ~(т--и)я, где Т вЂ” кинетическая, а У вЂ” потенциальная энергия системы, Применим этот принцип к нескольким задачам механики.
При мер 1. Дана система материальных точек с массами газ (1 =1, 2... „л) и координатами (хь у1, х1), на которую действуют силы г"1, обла- дающие снловои функцией (потенциалом) — К зависящей только от коор- динат: д() . ди ди дх' 1 дуз 1 дхг где В , г" г, г", — координаты вектора г1, действующего на точку (хв уь «1). найти дифференциальные уравнения движения системы. В дан- ном случае кинетическая энергия л т= — „Г, М1(х1-(- У +х1), '2 '2 '2 1=1 а потенциальная энергия системы равна (Г. Система уравнений Эйлера для интеграла ~(т (г) дт 1, НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ имеет вид аи д дт и(! и дт — — — — — О; — — — — —.
О; дх! и! ох! ' ду! и! ду, или глх — Р» О; ю у — Р„О; ! (! 1,2,...,п). д(у д ду — О. дл! д! дл! юл — РР О 1! Если бы движение было подчинено еще некоторой системе независимых связей <р)(т, хи хз, ..., ха у! уз ° ул лг, лз " хл) О (у 1, 2, ..., т, ю < Зл), то из уравнений связей можно было бы выразить т переменнмх через Зл — ю независимых переменных (не считая времени !) илн выразить все Зи переменных через Зи — т новых, уже независимых, координат Ч!' Чз' ''' Чг» лг Тогда Т н (! можно было бы также рассматривать как функции Ч! Чз Чзя-м "т! Т (Ч! Чь ° ° Чзл-т Ч! Чъ ° ° . Чз»-т 0 (' (' (Ч! Чз. ° °" Чзл-ш !) и система уравнений Эйлера имела бы внд дг,Т вЂ” (!) д дТ вЂ” — — О (! 1,2,...,3в — лз).
ду! и! д!у! П р и и е р 2. Выведем дифференциальное уравнение свободных нолебаний струны. Поместим начало координат в один иэ концов струны. Струна в состоянии покоя под влиянием натяжения расположена вдоль некоторой прямой, по которой направим ось абсцисс (рис. 6.15). Отклонение от положения равновесия и (х, !) будет функцией абсциссы х и времени !. и Потенциальная энергия (! элемента абсолютно гибкой струны пропорциональна растяжению струны. Участок струны дх в деформированном состоянии, с точностью до бесконечно малык более высокого поряд- и*и(х,(! ,г х ка, имеет длину да = у! 1+и„дх и,следовательно, удлинение элемента равно (~ 1+и — 1) дх. ПоформуРнс.
6.15. 'зl Д 1,г ле Тейлора г' 1+и 1+ 2 иг. Считая и малым и пренебрегая более высокими степенями и„'. получим, что потенциальнав энергия злемеита равна —, йи дх, где Ф вЂ” множитель 1 з » 21 Л, В. Вльггелзя ЗЛ метод вдниднин в зддлчдх о неподвижными границами (гл. а пропорциональности, а потенцнальнаа энергия всей струны равна ! / вил а!х, о Кннетнческая энергия струны равна — / ри г(х, 2 / о где р — плотность, Интеграл / (Т вЂ” У) !Г! имеет в данном случае вид ! Р Г!» !,тт д/ /(2 ' 2 Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функ- ционала о. Итак.
уравнение движення струны имеет аид — (ри,) — — (Ди ) О. д, д Если струна однородна, то р и а — постоянные, и уравнение колсблюшейся струны упрощается: дти д'и р —, — а — = О. дн дх! Допустим теперь, что на струну действует еще внешняя сила у(г, х), пер- пендикулярная к струне в ее положении равновесия н рассчитанная на едн- ниву массы. Как легко проверить, силовая функции втой внешней силы, действующей на элемент струны, равна рУ(г, х)идх! следовательно, нн- 1, теграл Остроградского — Гамильтона ~ (Т вЂ” (Г)г(! имеет внд гр Р Г),! 1,! )ь — ри — —,Аи +ру(г, х)и1 мх!(г, /!2 2 л г„о а уравнение вынужденных колебаний струны д, (ри!) — — (Ди') — рУ (г, х) - О. д д нли.
если струна однородна, даи й дти — — — — =у(т, х). дтл р дх' Совершенно аналогично может быть получено уравнение колеблющейся мембраны. Прим е р 3. Выврдем уравнение колебаний прямолинейного стержня. Направим ось абсцисс по осн стержня, находящегося в положении равнове- НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 323 сия. Отклонение от положения равновесия игх, г) будет функцией х и времени й кинетическая энергия стержня длины 1 1 Т вЂ” ) ри дх. 2 / с о Будем считать стержень нерастяжнмым. Потенциальная энергия упругого стержня при постоянной кривизне пропорциональна квадрату кривизны. Следовательно. дифференциал ЛУ потенциальной энергии стержня равен а потенциальная энергия всего стержня. кривизна оси которого, вообще говоря. переменка, будет равна дти ( д )')ч Предположим, что отклонения стержня от положения равновесия малы и / ди '1' членом ~ — ) в знаменателе можно пренебречь; тогда 'т дх ) Интеграл Остроградского — Гамильтона имеет вид ! ) )2 Ри~ 2 Ли4 Следовательно, в случае свободных колебаний упругого стержня будем иметь следугощее уравнение движения.
д ° д' д, (ри,')+ — т(ди „)-О. Если стержень однороден, то р и д — постоянные, н уравнение колебаний стержня преобразуется к виду д'и д'и р — + а — = О. дтт дх' Если на стержень действует' внешння сила у гд х), то надо еще учесть потенциал этой силы (см. предыдущий пример). Принцип стационарного действия может быть применен при выводе уравнений поля. Рассмотрим скалярное. векторное или тензорное 224 мзтод вьинлцни з задачах с ниподвижнымн гвлнннлмн ~гл.е поле то=то(х.
у, х, (). Интеграл ) (Т вЂ” У)а7 в данном случае, вообще говоря, будет равен четырехкратному интегралу по пространственным координатам х, у, х и по времени г от некоторой функции Е, называемой плотностью функции Лагранжа или лагрокжиаком. ды дю от дв. Обычно лагранжиан является функцией тд.— дх' оу' дх' дг и, слеловательно, действие имеет вил „) .) ) ) ( (и.
— ',; — ',". д, — ',",))дх"удав. (6.6) о Согласно принципу стационарного действия уравнение поля является уравнением Остроградского лля функционала (6.3): д д д д ~е д )(г ) — )Еи ) — )Еп ) )(л ) =О, где Ою дге да~ ое д ' рг д ' 'в д ' рг дг' Задачи к главе 6 !. Найти ькстремали функционала м о(у(х)) = / ' дх. )/1+ у' У 2. Исслеловать иа вкстремум функционал о[у(х))= / (у" +2хуу')дх; у(х,) йй у(х,) уь 3. Исследовать иа вкстремуи функционал ! е(у(х)) / (ху+уг — 2угу')дх; у(0)=!; у(1) 2. е 4. Найти ькстремали функционала о(у(х)) ~ у'(1+х'у')дх. м 325 ВАЦАЧИ К ГЛАВЕ В 5.
Найти вкстремали функционала к, о [у (хЦ ~ (у" + Еуу' — !6у') с(Х. к, 6. Найти вкстремали функционала к, о [у (хЦ = / (ху'+ у' ) Их. 7. Найти вкстремали функционала к, !' 1 )„ук о[у(хЦ= ! — кнх. ус 8. Найти вкстремали функционала к( о [у (хЦ = ~ (у'+ у' — 2у я!и х) нх. к, 9. Найти вкстремали функционала к, о [у(хЦ ~ (16ук — у" +х') стх. к, 1О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
