Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Найти вкстремали функционала к, о [у (хЦ = ~ (2ху+ у" ) Нх. к. 11. Найти вкстремали функционала о[у(х), к(хЦ ~ (2ук — 2уя+у' — л' )йх. к 1д Написать уравнение Острогралского для функционала о[а(х, уЦ= / к~ [( — ) — ( — ) 14хйу, о 13. Написать уравненве Остроградского для функционала о[и<х,у,лЦ= / ~ / ~( — ) +( — ) +( — ) +Еи/(х.у,я)1с(хФулся О 14.
Найти вкстремали функционала к, о [у (хЦ ! — с(х. /' у" 22 Л. В. Вльсгольа 15. Найти акстремали функционала к, «[у(х)[= ~(ут+ у" +Ву~) Л . к, 16. Найти акстремали функционала к, о [у (х) [ =,~ (уа — у" — 2у з) п х) Дх. к, 17. Найти акстремалн функционала к, [у(х))= [ ~у'+(у')'+,~ 1а 18. Найти акстремали функционала к, о [у(х)[ = ~ [хт(у')а+ 2у'+ 2ху]дх. к, 19. Найти акстремали функционала о [у (х)) = ~ [(ук)а — 2(у')" + уа — 2уа1п к[ дх.
к, 20. Найти акстремалн функционала к, и [у(х)[= ~ [(у"')'+уа — 2ух'[т(х к, 326 метод ВАРНАБНЙ В ВАЕАНАх с непОдВижными ГРАнинАми (ГД.В ГЛАВА 7 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В Е Простейшая задача с подвижными границами В главе б при исследовании функционала о= ~ гэ(х, у, у') с(х грелполагалось, что граничные точки (хе, уэ) и (х,, у,) заданы.
Предполоким теперь, что одна или обе граничные гочки могут перемешаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется, — кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно уже брать и кривые со смещенными граничными точками. Поэтому если на какой-нибудь кривой у = у(х) достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более аостигается по отношению к более узкому классу кривых, имею~и~к общие граничные точки с кривой у=у(х), и, следовательно, лолжно быть выполнено основное, необходимое для достиже. ния экстремума в задаче с неподвижными границами условие— функция у(х) должна быть решением уравнения Эйлера Р— — Р =О. л лх Игак, кривые у = у(х), на которых реализуется экстремум в залаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.
Общее решение уравнения Эйлера солержит две произвольные постоянные, лля определения которых необходимо иметь два условия. В залаче с пеподвнжнымн граничными точками такими условиями были у(хв)=уз и у(хг)=ум 22» ай ВАРилционнын злдлчи с подвижными гвлницлми ггл. т В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постояннык общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума — равенства нулю вариации Ьп.
Так как в задаче с подви>нными границами экстремум достигается лишь на решениях у = у(х, Сп С,) уравнения Эйлера, го в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства. При этом функционал о]у(х, Со С,)] превращается Рис. 7.1. в функцию параметров С, и Са и пределов интеграции х„и хп а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения булем считать, что одна из граничных точек, например (ха, уа), закреплена, а другая (хп у~) может перемещаться и переходит в точку (х, + Лх,, у, + Лу,), или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, (х,+Ьхп у,+Ьу,).
)]опустимые кривые у=у(х) и у=у(х)+Ьу будем считать близкими, если модули вариаций Ьу и Ьу' малы, и 'малы модули приращений Ьх, и Ьу, (приращения Ьх, и Ьу, обычно называют вариациями предельных значений х, и у,). Экстремали, проходящие через точку (хм уа), образуют пучок экстремалей у=у(х, С,). Функционал п]у(х, С,)] на кривых этого пучка превращается в функцию С, н хг Если кривые пучка у = у(х, С,) в окрестности рассматриваемой экстремали не пересекаются, то о ]у(х, С,)] можно рассматривать как однозначную функцию х, и уп так как задание х, и у, определяет экстремаль пучка (рис. 7.1) и тем самым определяет значение функционала. Вычислим вариацию функционала и ]у(х, С,)] на экстремаляк пучка у = у(х, С,) при перемещении граничной точки из положения (х,, у,) в положение (х, + Ьх,, у, + Ьу,).
Так как функционал о на кривык пучка превратился в функцию х, и уп то его вариация 6 И . пяоствишля' задача с подвижными гяаницлми йю совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения Ло главную линейную по отношению к Ьх, и Ьу, часть: к,ч-ак1 к, Ьо = ~ г".(х. у+Ьу, у'+Ьу')Нх — ~ Р(х, у, у')с(х= к,~-ех к'' (х.
у + Ьу, у + Ьу ) йх -+ к, + ~ [Р(х. у +бу, у'+Ьу') — Р(х, у. у')[с(х. (7.1) к, Первое слагаемое правой части преобразуем с помощью теоремы о среднем значении: к,еах Г(х, у+ Ьу, у'+ Ьу') ах = Р[ з „бхи где 0 < 0 < 1, к, в силу непрерывности функции Р будем иметь: веь — — кч(х, у, у')[ к +еп где е, — эО при Ьх, — ьО и бу,— ьО. Итак, «,к ах г" (х, у+Ьу, у'+ Ьу')гкх= Г(х, у.
у')[„бх, 4- г, бхн х Второе слагаемое прзвой части (7.!) преобразуем путем разложения подынтегральной функции по формуле Тейлора к, [ [Р(х, у+Ьу, у'+Ьу') — г'(х, у, у')[Нх= к, к, ~ [гт„(х, у, у')Ьу+ кчг (х, у, у')бу'1г(х 4- Йи где Й, является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ьу или бу'. В свою очередь линейная часть х! ~ (Р„бу+Рг бу')Иха ЗЗ) влвилционныв злдлчи с подвижнымй гвлницлми ~гл. т может быть преобразована путем интеграции по частям второго слагаемого подынтегральной функции к виду к, (Рт Ьу )~'+ ~ (Рт — — „Рт ) Ьу Ас.
Значения функционала берутся лишь на экстремаляк, следовательно. Р— — Р„ = О. Так как граничная точка (хс, уе) закреплена, вх то Ьу)„=0. Следовательно, У (Ртбу+Ру Ьу')г)х=(Ру ЬуУ„,. м Заметим, что ду~„„не равно Ьу, — приращению ун так как Ьу,— эго приращение у, при перемещении граничной точки в положение ,у~5у) Рнс. 7,2. 'х~ 1 "х1 у| +ЬУ1) а Ьу ~ „— это приращение ардинаты в точке, х, при переходе от экстремали, проходящей через точки (хе, уе) и (хг у,) к экстремали, проходящей через точки (хе, уе) и Гх, + Ьхн у, Р Ьу,) (рис. 7.2).
Из чертежа видно, что В):)=Ьу)»; РС=Ьу,; ЕСжу (х,)Ьх,; Вг)=РС вЂ” ЕС нли Ьу |, „- Ьу, — у' (х,) Ьхи При этом приближенное равенство справедливо с точностью ао бесконечно малых, более высокого порядка. Ф и пяосткишля злдлчл с подвижными гвлницлмн ЗЗ) ч -ь«, Итак. окончательно имеем: ~ Рдх «и Р~ „бхг, «1 к, «~ ~ ~Р(х, у+-Ьу, у'+бу') — Р(х, у. у')) Фх ~ =«Р;1„. (Ьу,— у'(х,)бх,). где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно Ьх, и Ьун Следовательно; из (7.1) получим Ьо=Р~ Ьхг+Ру' ~ (ЬУ1 — У (хг)бхг)= =(Р-у'Р.Н. „Ьх,+Р;1„.,Ьу, или ~(о(х~ уг)=(Р у Рж) ~ ~~Х1+ Ру' ~ «ун где о(хн у,) — функция, в которую превратился функционал и на экстремалях у=у(х, С,), а с«Х,=ЛХ, =Ьхн ау, =Лу,=бу,— прирашения координат граничной точки. Основное необходимое условие экстремума Ьи = О приобретает внд (Р— у'Рж)1, „ЬХ1+Р«!«=«Ьу|=О (7.2) Если вариации Ьх, и бу, независимы, то отсюда следует, что (Р— у'Рт)) „=О в Р„~„„=О.
Однако чаше приходится рассматривать случай, когда вариации Ьх, и Ьу, зависимы. Пусть, например, правая граничная точка (хо у,) может перемещаться по некоторой кривой У, = Р(хг). Тогда бу, ж гр'(х,)бх, и. следовательно, условие (7.2) принимает вид (Р+(<р' — у')Рг)бх,=О или, так как Ьх, изменяется произвольно, то (Р+Ор' — у')Р„), „=О. Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами ~р' и у' в граничной точке. Оно называется условием трансвврсальности.
Условие трансверсальностн совместно с условием у, = <р(х,) позволяет, вообще говоря, определить одну или несколько экстоемалей пучка у = у(х, С,), на которых может достигатьсязкс(ое, и. Если граничная точка (хв. ув) может перемещаться по некоторой кривой уе =ф(хв), то совершенно так же обнаружим, что и в точке (хв, ув) должно удовлетворяться условие трансверсальности (Р+(ф' — у') Р„)„„= О. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ О ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИПАМИ ' 1ГЛ. 7 Пример 1.
Найти условие трансверсальиости для функционалов вида к, о = ~ А (х, у) )У 1 + у" утх. ку Условие трансверсальности г'+Р„, (ф' — у') 0 имеет в даниоы случае вид .4(т У) '$ 1+У' + .— ', (ур' — у') 0 или ', .=0; у уу у)у' А (х, у)(1 +ур'у') ')71+ у' )+ у" предполагая, что А (х, у) + 0 в граничной точке, получим ! + у'ур' 0 или 1 у' = — †,, т.
е. условие трансверсальности свелось в данном случае к ус- ур повию ортогональности. к, Пример 2. Исследовать на экстремум функционал / ' ' У,тх, у о причем у(0) О, а у, . ху — 5 (рис. 7.3). Интегральными кривыми уравнения Эйлера (пример 1, стр. 324) являются окружности (х — С1)т+ Уя = Сзт. Рис. 7А. Рис.
7.3. Первое граничное условие дает С, = Сь Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. предыдущий пример). то прямая у, = х, — 5 должна быть диаметром окружности и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке (О, 5) пересечения прямой у, = х, — 5 с осью абсцисс. Следовательно. (х — 5)' + уз= 25, или у = ж )У 10х — х'. Итак, зкстремум может достигаться лишь на дугах окружности у = УУТОх — х' н у = — )У 1Ох — х'. Если граничная точка (хн у,) может перемещаться лишь по вертикальной прямой (рис.
7.4) и, следовательно, Ох, = О, то условие (7.2) переходит в то („=О. Пусть, например, в задаче о брахистохроне (см. стр. 304) левая граничная точка закреплена, а правая может перемещаться по вертикальной прямой. $11 ппоствишАЯ зАдлчА с подвижными гплницАми 333 к, Экстремалями функционала и = 1 ' ' гтх являются циклоиды, ураз- а пения которых, если принять во внимание условие у(О) О, будут иметь вид х= Сг (1 — з!па), у = С, (1 — соз Г). Для определения С, используем условие Р ) О, которое в данном т случае имеет вид — О, )ку тг'1+,г откуда у' (х,) = О, т. е, искомая циклоида должна пересекать прямую х = х, пол прямым углом и, следовательно, точка х = хь у = у, должна быть Рис.
7.5. вершиной циклоиды (рис. 7.5). Тзк как вершине соответствует значение н, то х, = Сгп, С, = —. Следовательно, экстремум может реализоваться х, лишь на циклоиде х = — (1 — з1п 1)1 у = — (1 — соэ Г). х, х, и и Если граничная точка (хп у,) в задаче об экстремуме функционала о= ) 7' (х, у, у')лгх может перемещаться по горизонтальной к, прямой у = у,, то Оу, =О и условие (7.2),- или условие трансверсальности, принимает вид (гг — у'гч )„„= О.
Ш вляилциоиныя злдлчи с подвижными гялницлми ' [гл. т 9 2. Задача с подвнжнымн границами к, длв функционалов вида ~ гт(х, у, г, у', г')Фх - ц Если при исследовании нз экстремум функционала и, о= ~ Р(х, у, г. у'. г')т(» одна из граничных точек, например В(хн уо г,), перемешается, а другая, А(ха, уз, гз), неподвижна (или обе граничные точки под- вижны), то очевидно, что экстремум может достигаться лишь иа инте- гральных кривых системы уравнений Эйлера Действительно, если на некоторой кривой С реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
