Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 56
Текст из файла (страница 56)
а < и образуют центральное поле, включающее при С, = 0 экстремаль у = О, Параметр семейства Сз равен производной у„в точке (О, О). Если в той же задаче а ~и, то семейство у = С, з1п х поля не образует (см. стр. 352) Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства Р(х, у, С)=0 пересекаются в точках С-лискриминантной кривой, определяемой уравнениями Р(л, у, С) =О; Напомним, что в состав С-днскрнминант~Ой кривой, в частности, входит огибающая семейства и геометрические места кратных точек кривых семейства.
Если Р(х, у, С)=0 является уравнением пучка кривых, то центр пучка также принадлежит С-дискриминантной кривой. Поэтому если взять пучок экстремален у=у(л, С), проходящих череа точку (хе, уе), и определить его С-дискриминантную кривую Ф(х, у)=0, то близкие кривые семейства у=у(л, С) будут пересекаться вблизи кривой Ф (х, у) = 0 и, в частности, кривые этого семейства, близкие к рассматриваемой экстремали у = у (х), проходящей через точки А (ле. уе) и Рз(лм у,), будут пересекаться поле экствемллей $8 в гочках, близких к точкам ласания (нли пересечения) кривой у=у(х) с С-дискриминантной кривой (см.
рис. 8.7, на котором С-дискриминантная кривая изображена жирной линией). Если дуга АВ экстремали у=у(х) не имеет отличных от точки А общих точек с С-дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную вкстремаль, то достаточно близкие к дуге АВ экстремали пучка не Рнс. 8.8. пересекаются, т. е. образуют в окрестности дути АВ центральное поле, включающее эту дугу (рис. 8.8).
Если дуга АВ экстремали у = у(х) имеет отличную от А общую точку А* с С-дискрнминантной кривой пучка у = у(х, С), то близкие к у = у(х) кривые пучка могут пересекаться между собой и с кривой у = у(х) вблизи точки А* и, вообще говоря, поля не образуют (рнс. 8.7). Точка А* называется точкой, сопряженной с точкой А. Полученный результат можно сформулировать так: для построения центрального поля вкстремалей с центром в точке А, содержаи(его дугу вкстремали АВ, достаточно, чтобы точка А', сопряженная с точкой А, не лежала на дуге АВ.
Это условие возможности построения поля экстремален, включающего данную экстремаль, носит название условия Якоба. Нетрудно сформулировать это условие и аналитически. Пусть у=у(х, С) — уравнение пучка экстремалей с центром в точке А, причем параметр С можно для определенности считать совпадающим с угловым коэффициентом у' экстремалей пучка в точке А.
С-дискри. минантная кривая определяется уравнениями у = у (х, С); д '; — —— О. Влоль каждой фиксиРованной кРивой семейства пРоиэводнаЯ вЂ” до— ду(х, С) является функцией только х. Эту функцию кратко обозначим буквой и, ~гл. з достлточныв ксловия зкстпкмкмл и = ', гле С залано; отсюда и' =,' . функции ду (х, С) д'у (х. С) у=у(х, С) являются решениями уравнения Эйлера, поэтому Р„(х, у(х. С), у,'(х, С)) — — Р„, (х, у(х. С), у„'(х, С))= — О. н Лифференцируя зто тождество по С и полагая „', = и, получим ду (х.
С) Рту и + Рг„и' — — (Р„„и + Р„„и ) = О их или ( Р„„— ' — Рту ) и — — (Рт „и ) = О. их ! их Здесь Рву (х, у, у'), Руу (х, у, у'), Рг л (х, у, у') являются известными функциями х, так как второй аргумент у равен решению уравнения Эйлера у = у (х, С), взятому при значении С = Се, соответствуюгцем зкстремали АВ. Это линейное однорощюе уравнение второго порядка относительно и называется уравнением Якоби. Если решение этого уравнения и = ', обращающееся ду (х, С) в нуль в центре пучка при х=х, (центр пучка всегда принадлежит С-дискримннантной кривой), обращается в нуль еще в какой-нибудь точке интервала хз < х ( хп то сопряженная с А точка, опрелеляемая уравнениями у=у(х, С„) и у( ', ) =0 или и=О, ду(х, С) дС лежит на дуге экстремали АВ').
Если же существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при х = хе и более не обращающееся в нуль ни в одной точке отрезка хе ( х ( хп то точек, сопряженных с А, иа дуге АВ нет, — условие Якоби выполнено, и дугу экстремали АВ можно включить в центральное поле зкстремалей с центром в точке А. 3 а и е ч а н и е. Можно доказать, что условие Якоби необходимо лля достижения экстремума, т.
е, для кривой АВ, реализующей экстремум, сопряженная с А точка не может лежать в интервале х„< х < х, Пример 2. Выполнено ли условие Якоби для экстремвли функционала в —. ~ (у' — у') их, проходящей через точки А(0, 0) и В(а, 0)? ') Заметим, что все нетривиальные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющие условию и(хь) = О, отличаютса друг от друга лишь отличным от нуля постоянным множителем и, следовательно, обращаются в нуль одновременно. еункпия л(к я, Р, з') Уравнение Якоби имеет вид — 2и — — (2и') ~0 нли и +и иО, а и ах откуда и = С, з) и (х — Со).
п(у(х))- ~ (у" +уз+хо)ах, о проходящей через точки А(0, О) и В(а,' 0)2 Уравнение Якоби имеет вид и" — и =О. Его общее решение возьмем в форме и С, зп х+ С, сз х. Из условия и (0) 0 находки С. = О. и = С, з)г х. Кривые пучка й= С, зй х пересекают ось Ох лишь в точке х = О. Условие Якоби выполнено при любом а. ф 2. Функция Е(х, у, р, у') Предположим, что в простей шей задаче об зкстремуме функ ционала о= ~ Г(х, у, у') Их; к у (хо) = уо у (х1) = у| Рис.
8.9. условие Якоби выполнено и, следовательно. вкстремаль . С. проходящая через точки А(хо, уо) н В(хн у,), может быть включена в центральное поле, наклон которого равен р(х, у) (рис. 8.9)*). Йля определения анака приращения Ьо функционала о при переходе от зкстремали С к некоторой близкой допустимой кривой С преобразуем приращение Ьп= ~ Е(х, у. у')Их — ~ Р(х, у, у')Их с ') можно было бы предположить, что вкстремаль внлючена ие в центральное, а з собственное поле.
Так как и(0)=0, то Сг 0; и С,з)пх. Функция и обращается в нуль в точках х Лп, где Д вЂ” целое число, и, следовательно, если 0 < а < и, то на отрезке 0<х~а функция и обращается в нуль только в точке х 0 н условие Якоби выполнено; если же а~и, то на отрезке О<: х~а функция и обращается в нуль еще по крайней мере в одной точке х и и условие Якоби не выполнено (сравните с примером 1. стр. 354).
При м е р 3. Выполнено ли условие Якоби аля зкстремалн функционала 1гл. в ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА к более улобному для исследования виду. (Символы ~Р(х. у. у')Нх и ~ Р(х, у, у')Их прелставляют значения функционала о= ~ Р(х, у, у') г(х, взятые к, соответственно по дугам кривых С и С). Рассмотрим вспомогательный функционал ~ [Р(х. у, р) + [ — „— р) Р (х, у. р)~ Фх. который на экстремали С обращается в / Р(х, у, у')~х, так как с на экстремалях поля — = р. С другой стороны, тот же вспомогалу а'х тельный функционал / [Р(х. у, р)+[ — — р) Р (х. у, р)~ Фх с или ~ (Р(х, у, р) — РР (х, у, р)) х+Р (х, у, р)иу (8.1) является интегралом от точного лифференпиала. Действительно, дифференциал функции о(х, у), в которую превращается функционал о(у(х)) на зкстремалях поля, согласно Э 1 главы 1 (стр.
331), имеет вил по=(Р(х, у, у') — у'Р„(х, у, у')) ох+ Р„(х, у, у') су и лишь обозначением углового коэффициента касательной к экстремалям поля отличается от полынтегрального выражения в рассматриваемом вспомогательном интеграле (8.1). Итак. интеграл ~ [Р(х, у, р)+(у' — р) Рр)с(х на экстремали С с совпадает с интегралом ~ Р(х, у. у')л(х, а так как функционал с !Р(х, у, р)+(у' — р) Рр) с(х является интегралом от точного б эвикция лбь р, р, гг> 359 Фп дифференциала и, слеловательно, не зависит от пути интегрирования, то ~ Р(х, у, у') с(» = ~ [Р(х, у, р)+(у' — р) Рр(х, у, р)[ Нх не только при С=С, но и при любом выборе С.
Следовательно, приращение сто= [ Р(х, у, у)Нх — ~ Р(х, у, у ) Хх с с. может быть преобразовано к следующему виду: Ьо = ~ Р(х, у, у) йх — ~ [Р(х, у, р)+(у' — р) Рр(х. у, р)[Их= = [ [Р (х, у, у') — Р(х, у, р) — (у' — р) Р (х, у, р)[ с(х. Подынтегральная функция носит название функции Еедерштрасса и обозначается Е (х, у, р, у'): Е(х, у, р.
у') = Р(х, у, у') — Р(х, у, р) — (у' — р) Рр(х, у, р), В этих обозначениях Ьо = ~ Е(х, у, р, у') ах. и Очевидно, что достаточным условием достижения функционалом о минимума на кривой С будет неотрицательность функции Е, так как если Е)~0, то н Ьо ьО, а достаточным условием максимума будет Е (О, так как в этом случае и Ьо (О: При этом для слабого минимума достаточно, чтобы неравенство Е(х, у, р, у') )~ 0 (или Е (О в случае максимума) выполнялось для значений х, у, близких к значению х, у на исследуемой экстремали С, и для значений у', близких к р(х, у) на той же экстремали, а для сильного минимума то же неравенство должно быть справедливо для тех же х, у, но уже для произвольных у', так как в случае сильного экстремума близкие кривые могут иметь произвольные направления каса.
тельных, а в случае слабого экстремума значения у' на близких кривых близки к значениям у'= р на экстремали С. Следовательно, достаточными для достижения функционалом о экстремума на кривой С будут следующие условия. Для слабого экстремума: 1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям. достлточные колония экствяыимл !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
