Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Положив по очереди равным нулю все Ьу, кроме одного, и применяя лемму, получим Ру — — Р =О (т'=и+1. т+2, ..., и). Уу Лх у' = Принимая во внимание полученные выше уравнения Ру.— — Р =О ()'=1, 2, ..., лг), ~У й'х окончательно ' будем иметь, что функции, реализующие условный экстремум функционала о, и множители Х,(х) должны удовлетворять При таком выборе условие экстремума принимает вид ),,(х), 7 з(х), ..., Л (х). ),(х), Аз(х), ..., Х (х) основное необходимое связи вида еон а~р е 8(П системе уравнений Р~ — — то =0 (1=1, 2, ..., и), дх гр,(х, у,, у,, .... у„)= 0 (1= 1.
2, ..., т). П р и м е р 1. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками А(хэ уэ х,) и В (хэ уэ х1) на поверхности р(х, у, х) = 0 (см. задачу о гео- дезических липняк, стр. 282). Расстояние между двуми точками на поверх- ности определяется, как известно, по формуле х, 1 = ~ Р'1+ у'т+л'а лх. к, В данном случае надо найти минимум 1 при условии ф(х, у, х) = О. Согласно предыдущему берем вспомогательный функциоиал 1' = 1 [)Г 1+ у' + х'а+ Л (х) Ч (х, у, х)] Нх ю и для него пишем уравнения Эйлера Л(х) ~р —— д =0; лх Гур+,т+,т л Л (х) ~р —— =0; г(х )/ 1+ т+ т ~р(х, у, х) = О. Из этих трех уравнений определяются искомые функции у= у(х) н х=х(х), на которых может достигаться условный минимум функционала о, и множи. тель Л(х).
П р и м е р 2. Пользуясь принципом Остроградского — Гамильтона (см. стр. 320), найти уравнения движенив системы материальных точек массы ац(1= 1, 2, ..., н) с координатами (хн уь «,) под действием сил, имеющих силовую функцию — У. при наличии связей Ч)(т А хэ ° °" хл У1 Уэ ° ° .
Ул х1 хэ ° ° . лл) = 0 (у=1, 2, ..., гл). Интеграл Остроградского — Гамильтона н и =1(à — ПАР в данном случае имеет вид 6Г л "-1 ( 2 ~, Р~.ьУ~+4 — о1э гт 1 1 382 влгнлционныи злдлчи нл ьсловныи экстязмкм 1гл. э а вспомогательный функционал й й! / ~ ! г,!р!.!.я.!',а и,. гй!йй ] ! ! Уравнения движения будут уравнениями Эйлера для фувкциоиала о'. Оии будут иметь следующий вид: дву дх! ' дУ й!!х! — — + у Ху(!) дх, !=! й! д(/ й!!у! =- — — + у л,(!) ду! / ! !й д(1 ,е!- — — +~~а (!) ! ! (1=1, 2, ..., й). де! ду! ' де! дх, Ъ $2. Связи вида ф(х, у„у„..., уй, у!, Уг, ..., Уйу = О В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос об исследовании на экстремум функционала к, о=~ р(х, у„у,, ..., уй, у,', у,', ....
у„')"х; к, У)(хе) = У)е. У) (х!) = У)! (У = 1. 2. ° ° ° ° и) при наличии конечных связей ф!(х У! Уа ° °" Уй)=0 (1=1, 2, ..., и). (9.2) Предположим теперь, что уравнения связей являются дифферен- циальными уравнениями ф,(х. у„у, ..., у„, у,', у', ..., у„')=0 (1=1, 2, ..., ~), к, й! к, ~+,~~) (х)Ф, !(х=~ гйл!х, й, ! ! м В механике связи такого вида называются неголономными, а связи вида (9.2) — голономными.
В этом случае также можно доказать правило множителей, заключаюшееся в том, что условный экстремум функционала о достигается на тех же кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала СВЯЗИ ВИДА В!к, У2, У!! а где р" = Р -(- ~ч'„Л!(х) ро 2=1 Однако доказательство значительно усложняется по сравнению со случаем конечных связей.
Если же ограничиться доказательством более слабого утверждения а том, что кривые, на которых достигается условный зкстремум функционала а, при соответствующем выборе Л!(х) являются экстремалями для функционала а', та доказательство, проведенное в предыдущем параграфе, может быть с незначительными изменениями повторено и для рассматриваемого случая, Действнтельво, предположим, что адни из функциональных определителей порядка т отличен ат нуля, например /к(ч! ч! ° " !г ) /!(У! У2 '' Уе) Это гарантирует независимость связей. РазРешаЯ Уравнение Ч!!(х, Уи У, ..., Ул, У, У, ..., У„) 0 относительно у,, у, ..., у, что возможна. так как чь О /У (У! Ут " " У' ) налучич У! =ф!(т У! У2 Ул' Ул!т! Ущтз Ул) (/ 1 2 " гл) считать у ь!, Умьь ..., У„произвольно заданными функциями, то из втой системы дифференциальных уравнений определяются уь уь... Ул2.
Таким образам, ую„ь умьь ..., ул являются произвольными дифференцируемыми функциями с фиксированными граничными значениями и, следовательно, их вариации в том же смысле произвольны. Пусть уь у,, ..., у„— произвольная, удовлетворяющая уравнениям связей !р! =-0 (2=1, 2, ..., т), допустимая система функций. Варьируем уравнения связей л л Х, -! да! %2 дф! — бу/+ у —,бу =0 (1 1. 2...., ш) ). л У/ /! ду/ Умножаем пачленно каждое из полученных уравнений на пока не апреле.
ленный множитель Л!(х) и интегрируем в пределах от х, до хп тогда получим к, л к, л Х Л (х) ~~ бу д . + / Л!(х) ~~ бу'. дх — О. л ! дч!! жч дгу/ Л1 ду/ / ду' к, /=! /=! / *) И здесь, как и иа стр. 379, следовало бм в левые части уравнений включить слагаемые, содержащие члены порядка выше первого относительно бу/ н бу/ (/ 1, 2, ..., и), причем учесть влияние этнх нелинейных членов здесь уже значительно труднее. 334 ВАРиАниОнные задачи нА услонныи экстРемум [Гл. а интегрирув каждое слагаемое второго интеграла по частям и принимая во внимание, что Ьу/ — — (Ьу )' и (Ьу ) (Ьу ) =О, будем иметь «о и А''(о,.о о — — — 'о,о о,'1оо, -о дф/ от / дф/ т ду/ ах ~ ду/) Из основного необходимого условия зкстремума Ьо О получим «о и 1ь~ ~~, 'Р— — д,)бу,дх=О, о'а~ г/ «х г / «, /=1 /1 (9.3) (9.4) так кан «о и Ьо= от (гг/Ьу/+Р ' Ьу/(дхее т г' — — г', Ьу о/х.
,/' 41 «, / 1 «, /=1 Сложив почленно все уравнения (9.3) и уравнение (9.4) и вводя обозначение т д = г'+ ~~ Л,(х) фь будем иметь /=1 «о и ~т . чьгч. (Р" — — г, Ьу/о/х О. д (9.5) см' г/ о/х г ) «, / 1 / Так как вариации Ьу/ (/ 1, 2, ..., л) не произвольны, то пока нельзя применять основной леммы. Выберем т множителей Хо(х), Хо(х), ..., А,„(х) так, чтобы они удовлетворяли ураннениям о' — — д', =О (/ 1, 2...„т). дх У Если написать ати уравнения в развернутом виде, то они представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно Хо (х) и — (/ = 1. 2, ..., т), с(/о/ дх которая при сделанных предположеииик имеет решение Х, (х), Хо (х), ... ..., Хт(х).
зависящее от т произвольных постоянных. При таком выборе Ло (х), А,(х), ..., Ат(х) уравнение (9.5) приводится к виду ,)г~ — — Ьу дх О, т/ дх г ) /=~М / где вариации Ьу/ (/= т+1, т+2, ..., и) ухсе произвольны, и следовательно, полагая все вариации Ьу/ =О, кроме какой-нибудь одной Ьу/, и применяя основную лемму. получим г' — — Р, О (/ т+1, си+2, ..., и). т/ о/х г ФМ изопеРиметРические ВАдАчи ййб Таким образом, функции уо(х), ус(х), ..., у„(х), реализующие условный экстремум функционала о, и множители ),,(х), )<2(х), .... Ам(х) должны удовлетворять системе н + и уравнений: л г — — Р О (с 1,2,...,в) т) с(х г <а<=О (1 1, 2, ..., Сл), т.
е должны удовлетворять уравнениям Эйлера, вспомогательного функционала о', который рассматривается как функционал, зависящий от и+ гл функций У< Уь ° ° . Ул А< Аэ " А<л. ф 3. Изопериметричесиие зидачн Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова назывзются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданнои периметре. Среди таких экстремальных аадач, исследовавшихся еще в лревней Греции, были и вариационные задачи, например упомянутая на стр.
282 задача о нахождении замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь* ). Задавая кривую в параметрической форме х=х(С), у=у(С), можно эту задачу формулировать так: найти максимум фуш<ционала и 5= I хус(1 ~или Я= — ) (ху — ух)М 2 .с' при условии, что функционал ~ ')ссх2+ у2~(с сохраняет постоянное значение: с, У х'+ ут сУ = 1. Таким образом, мы имеем алесь вариационную задачу на условный экстремум со своеобразным условием: интеграл ~ )с х'+ у'в<С со<< храняет постоянное значение.
л) Хотя решение этой задачи было известно еще в древней Греции, однако ее своеобразный вариационный характер был осознан лишь в конце ХЧП века. 396 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ [ГЛ. 9 В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более общий класс задач, а именно: все зариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционалз О=~Р(х, ун ум ".. у„, у,', у,', ".. у„') 'х к, при наличии так называемых изопериметрических условий (» у~ уг ''" у„у1 уа' '' ук)йх=1~ Г к, (1= 1, 2...., т), где Ег — постоянные, лг может быть больше, меньше или равно а, а также аиалвгичные задачи для более слежных функционалвв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
