Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 64
Текст из файла (страница 64)
у)~ с(хду а (см. стр, д]5). Граничнос ус.ювп сохраняется х= О на границе области О. Исследуем это! функционал на экстремум методам Рнтца. В качестве системы каординапсых функций возьмем лх гсу мп ю — жпп — сш. и 1, 2, ...). и Ь Каждая из этих функции и их линейные комбинации удовлетворяю! граничному условию а = 0 нэ границе области В. Саойствоч полноты зтв функции такксе обладают Бзяз л и лх лу гт а з]п Р— жид —, а Ь Гт ! С=! будем иметь а !' (хат!] в + 2хят У(,уд ()аа з]п Р р ! с=! лх л, — жпд— а Ь п т (р,'+ — ',)~„+ 1' ~ ~.„й„ рт! С=! л т Рт ! дт! Этот результат легко получить, если принять во внииание, что координатные лх лу функции з!п р — з(пд — (р, с] 1, 2, ...) образуют в области В ортога. а Ь нальную систему с.
е. лх лу л» лу / в]п р — 5]п д — з(п р! — з]п д! — дх ду О а Ь а Ь и л» лу аЬ ~ зсп' р — з(п'с] — с(х ау а Ь 4 ' а при любых целых положительных р, а, рп дп за исключением случая р р], При р = р, и д:=- д! получаем пРямые метОды В ВАРиАпиОнных 3АдАЧАх 1гл. »е Повтому из всех членов, стоящих под энаном двойного интеграла. равного Р [к„[, надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций пх яу пх иу 3тх пу з!п р — э1п Р—, з!и р — соэ д — и соз р — Шло —. Очевидно.
а Ь ' а Ь а Ь о[к„[ является функцией ф(а!!, ам, ..., а„) коэффициентов ао, а,.„.,. ..., атт которые определяются из основного необходимого условна экстремума — =О (р=1,2,...,и; 4 1,2,...,т! дф да«» Этэ система уравнений в данном случае имеет вид !»», а«»[ †, + ~,, [ и + 𫻠— — О (р = 1, 2, ..., и; » = 1, 2, ..., гид откуда Р«» а Следовательно, й«» пх пу Р !1 а Ь э!и р — э!и» вЂ”. — +— и' кит =— ,!э «=! »=! Переходя к пределу при и н т, стремящихся к бесконечности, в данном случае получим ~очное решение: пх пу ' л'.л .?и 3!П !Р— э!и !7 —, а Ь иэ + 5 4.
Метод Канторовича При применении метода Ритца к функционалам Р [х(х„х„..., х„)], зависящим от функций нескольких независимых переменных, выбирается координатная система фуннцнй (Р! (х„хе, ..., Хе), Огт(хи хэ, ..., хл), ..., Оут(хь хг, ..., Хэ), ... н приближенное решение также ищется в виде хт =- ~~~„аэ(х!) Фа (х», хэ, "., хэ) л ! э приближенное решение вариационной задачи, ищется в виде = ~~'~~ аэйгл(х!, хт, ..., х„), где коэффициенты аа — постоянные. э=! Метод Канторовича также требует выбора координатной системы функций (Р! (Х!, ХЭ, ° ХР), % т (Х! ХЭ ХЭ), ГРт (Х! ХЭ ° ° ° ХЭ) ай МЕТОД КАНТОРОВИЧА 407 однако коэффициенты ал(х!) не постоянные, а являются неизвестными функциями одной из независимых переменных.
Функционал о(л) на классе 'функций вида 1з хм = ~ аа(х!) 5'а(.т!, хз, ..., хл) а ! превращается в функционал о(а! (х!), а,(х!), .... ам (х!)), зависящий от гп функций одной независимой переменной а! (х!), а, (х;), ..., ам(х!). ФУнкции а! (х!) аг(х!), ..., ам(х!) выбиРаютсЯ так, чтобы фУнкционал и достигал экстремума. Если после этого перейти к пределу при и -и оо, то прн некоторых условиях можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлить, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем прн применении метода Ритца с теми же координатными функцнями н с тем же числом членов е.
Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций лм = ~а аа (х!) гка (х!, х„ ...,х„) с переменными аа(х!) значительно шире а=! класса функций хм= ~', аэИ'а(хь х,, ..., х„) л=! нри постоянных аа и, следовательно, среди функций вида хм= и' оь(х;) (а'ь(х!, хь .... х„) т=! можно подобрать функции, лучше аппроксиьшрую!цне решение вариационной м задачи, чем среди функций вида ~ алй'а(хь х,, „,,х„), где аа постоянны. «=! !!усть, например. требуется исследовать на экстремум функционал х т!х! Р(х, у, л, — — ~!гх!гу, хе э~ (л! р хснространенный на область Р, ограниченную кривыми у = !г, (х), у = !р, (х) ! двумя прямыми х= ха и х= х, (рис.
10.4). На границе области О заданы !качения функции л (х. у), Выбираем последовательность координатнык функций: Иг!(х, у) (рэ(х, у), ° ° ° , ()г (х, у>, Ограничиваясь пока т первмми функциями этой последовательности, мы будем искать решение вариационной задачи ' в виде суммы функций л л =- ~~ аа(х) Ига(х, у) или, меняя обозначения аа(х) на иа(х), получим: т=! лм (х, У) = и! (х) Иг! (х, У)+из(х) Ж'т(х, У)+ ... +апю(х) Игю(х, У), 408 пнямые методы в нлиилционных задачах (гл. ~в где Ятл — выбранные нами функции, а ил — неизвестные функции, которые мы определяем так, чтобы функционал о достигал экстремума Имеем к, Чт 1к1 о[хм(,к уН / дх и[ и (х, у, лм(х, у), ) ду дк ' ду к, Е,(к1 Так как подынтегральная функция является извествой функцией у, то интеграция по у может быть вь1полнена, и функционал о[а (х.
у)) будет функционалом вида к, о[хм(х, у)[ = ~ <р[х, и,(х), ..., и (х), иь ..., и )ах «О функции и, (х), и, (х), ..., и (х) выбираются так, чтобы функционал Рис. 10.4. о [з (х, у)] достигал акстремума. Следовательно, и~(х) должны удовлетворять системе уравнений Эйлера: р,=о, и, и р — —,,=0, лх и й р — — р, =0. "м дл и Произвольные постоянные выбираются так, чтобы з,(х, у) удовлетворяла ча прямык х = х, и х = х, задавным граничным условиям.
11 р и и е р 1. Исследовать на зкстремум функционал а а [ ( у)[ У / ~О +Π— 2л1йхг(у, -а -а ЫЕТОД КАНТОРОВИЧА причем на границе области интегрирования « = о. Областью интегрирования яиляется прямоугольник — а ( х ( а; — Ь щ у ( Ь. Решение ищем в виде «, = (Ьз — у') и 1х), при этом граничные условия на прямых у ж Ь будут удовлетворены. Функционал а о !«,) — з ~ .азиз + Ьзнз . Ьзм~дк Рг!б з, 5, б ,/~15 З З -а Уравнение Эйлера для этого функционала 5 5 иа — — и= —— 2Ь' 4Ьз является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее ре- шение которого имеет вид / 5 х / 5 х и= С,сй э/ — — + Сззй эгг — — + —, 2 Ь ' Э 2 Ь 2' Постоянные С, н С, определяются нэ граничных условий «1 — а) «1а) =0 1 откуда С, = О, С, = — , и окончательно получаем; 2 ей 1/ / 5 а 2 Ь слеловательно, / 5 х .,( (, ей 1/ 2 Ь «,= — !Ь вЂ” у) !в 2 с!з 1/ 2 Ь Если необходимо получить более точный ответ, то ззожно искать решение в виде 1Ьз уз)н, 1х) 1 1Ьз уз)з и 1«) Пример 2.
Найти непрерывное решение уравнения б«= — ! в области О, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми у= ш — х в х= Ь (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой )/ою 3 области, Уравнение б« = — ! является уравнением Остроградского для функционала Уа з э е Иэ 410 ппямын методы в влрмдциомыых задачах (гл. в причем'на границе области интегрирования л = О.
Следуя методу Канторо. вича, будем искать первое приближение в виде л, = [ут — ( — х) ~ и(х). При таком выборе х, граничные условия на пряник у = ~ — х удовлет- У'3 3 вора ютси. Функционал о (х,] после выполнения интегрирования по у принимает внд ь о [» ) = ) 1 (2хэи' + 1Ох'ии'+ 30х'и'+ 15х'и) г(х.
3~З г ж 405,/ э Уравнением Эйлера для этого функционала будет х и" +5хи — 5и= —. т 4 ' Линейные уравнении такого типа в теории дифференциальных уравнений называются уравнениями Эйлера (стр. 110). Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно: и = 3 — — Решение соответствующего однородного уравнения ищем в виде 4 и = х и окончательно получаем и = С,х+ Стх — †. Так как около а 3 4' точки х = О решение и должно быть ограничено, то С, следует выбрать равным нулю, а из условия и(Ь) =0 полу. 3 чаем С, = — —. Итак, 46 л, = — — (1 — — ) (у' — — ха). па меч ание. Для приближенного решения краевых задач часто нрименяется еще один прямой не вариационный метод— метод Б Г. Галеркина.
Этот метод осо- Р с. 10.5. бенно удобен при решении линейных краеРис. 1 .5. вык задач, но может быть применен и ко многим нелинейным задачам. Для определенности изложим хешод Галлркина в применении к особенно часто астре. чающнмся в приложениях линейным уразнеиаям второго порядка у" + р (х) у'+д (х) у =у(х) (10.1) с однородными граничными условиями у (х,) = О, у (х,) = 0 (неоднородные граничные условия у (хэ) = у,, у (х,) = у, заменой переменных л=у — у,— (х — э) у1 — уэ х,— х, легко сводятся к однородным). мвтол канторовича 411 Уравнение (10.1) кратко запишем в виде 1.(у) = У(х).
Выберем полную на отрезке [хм х,) систему непрерывных линейно независимых функций в,(х), в,(х), ..., в„(х). ..,, (!0.2) удовлетворяанцнх граничным условиям вл(ха) = в„(х,) =0 (л= 1, 2, ...). Приближенное решение краевой задачи будем искать в виде линейной комбинации первык л функций системы (10.2): ул —— ,т„' а1в;(х). Подставляем у„в уравнение (10.1) и выбираем коэффициенты а„(1 = 1, 2, ..., л), так чтобы функция / л Е ~ ~~Р„а~в~(х) ) — у(х) ~=1 была ортогональпа на отрезке (хм х) каждой из функций в; (х) (1.= 1, 2,..., л) к, г л Е Д агв,(х) — У(х) в,(х)»х=0 (г=1, 2, ..., л). (10.3) к, Естественно ожидать, что у„стремится при л — >аз к точному решению у= ~Ч ', а;вг(х), г=! ', так как, если полученный ряд сходится и допускает двукратное почлениое дифференцироиание, то функция Е (у) — / (х) ортогональна на отрезке (хм х,) каждой функции в;(х) системы (10.2), а так как система (10.2) полна, то Е(у) — У(х)=0, а это означает, что у является решением уравнения (10.1).
Очевидно, у удовлетворяет и граничным условиям у (ха) = у (х,) = 0 (так как все в; (хе) = в~ (х1) = 0). Определить все а~ из линейной по отношению к ним системы (10.3) и совершить предельный переход при л -ьоо удается весьма редко, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным и притом весьма небольшим числом л (л = 2, 3, 4, 5, а иногда даже л = 1).
При этом, конечно, надо выбрать лишь л функций в~(х), поэтому условие полноты отпадает и нх надо выбирать лишь линейно независимыми и удовлетворяющими граничным условиям вг (х,) = в~ (х,) О. Часто в качестве таких так иазываемык координатных функций беру~ многочлены; (» .га) (» .тг), (» «а)» (» «д, (» —.та)а (» — х~), (» — »я)" (х — »1)... ° (10. 5, 412 пвямыв ынтоды в вдвндннонных задачах (ГЛ. Ш (удобно при этом начало координат перенести а точку х„и ~огда в (10.3) х, 0) или тригонометрические функции пп (х — хо) < х,— х, Этот метод применим к уравнениям любого порядка л, к системам уравнений и к уравненияи в частных произволных.
Задачи к главе !О 1. Найти приближенное решение уравнения Ла = — 1 внутри квадрата — а ( х ( а, — а ( у ( а. обращающееся а нуль на гранвпе этого квадрата, У к а з а н н е. Задача сводится о исследованию по экстремум функционала Приближенное решение можно искать в виде ао а (х' — а') (уо — а'). 2. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала ! в [у (х)] ~ (х'у" + 100ху' — 20ху) г(х! у (1) у' (1) О. о Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
