Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 66
Текст из файла (страница 66)
а= Ьеа (возможны идругиеответы).З).х = хжп а-(-ау+ Ь (возможны и другие ответы). 21. х'у — Зхух = с. 22. Такого семейства поверхностей нет, тзк как условие (Г го! Г) =0 не выполнено. 23. Уравнсйие еекториыд линий — = с, лж = сз Уравнение векторных поверхностей у х 1 )у) з = — Ф ~ — ~. Уравнение поверхностей. ортогоиальнык к векторным линиям х (,х) хк-1- уя — х'= с. 24. а = ху+!. 25„з = Зху. 26. а = х'-!- у'.
К главе б 1, Экстремалями являются окружности (х — С,)т + у = С~. 2. Интеграл не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла. 3. В классе непрерывных функций экстремум не достигается. 4. Экстремалями х' являются гиперболы у = — + Ст. 5. у= С, з!п(4х — С,). 6. у = — — + х 4 +С,х+ Сз.
7. у = зй(С,х+ Ст). 8. у = С,ех+ С,е «+ — з1п х. 9, у = ! 2 х' —.— С, е'" + С,е " + С, соз 2х + С, ми 2х 10. у = — + С,х'+ С,х" -1- С,хз -(- 7! + Сх' э Сьх ч Се 11. у =- (С х е С) соз х+ (С х + С) з!и х г = 2у + у", отдал дтз дав дзн Фи куда з легко определяется.
!2. — — †, = О. 13. — + — +— ' дта дуз ' дхт =У(х, У, л). 14. У= С,х'+ Сэ. 15. У= — хе" + С,е"-)-С,е-". 16, У= ! 2 х соя х — +С, созх+С,з|пх 2 17. у=С, сцх+Сэздх+хздх— — снх!псих. 18. у=С,х+ — + — х!п)х!. 19.
у=(С,+Сзх)созх+ Сз ! х' 3 х .(-(Сз+ С,х) з!п х — 20. у = С,ех+Сте "+е !Сз сов — х+ 2 + С, 'ш —, х!+ е т (Сь соз — х+ Сзз!п — х)-)-хз. К главе 7 1. у= — х при 0<х(1; у=х — 2 при 1 (х(4иу =хирн 0(х<ч у =- — х+ 6 при 3 ( х -4. На той и другой ломаной функционал достигает абсолютного минимума. 2. Не существует 3. Ломаные, проходящие через заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угло- выми коэффициентами )" 3 и — )' 3. 4: У, 1. т. е.
акстремали лол- 1'+,', жны пересекать кривую у1= Ч(хьй по которой скользит граничная точка, и х' 1,, 3 16 под углом —. 5. у — + — (х' — х'). 6. у = ж — х при 0<х ( —,' 4 ' ' 120 24 ' ' 4 5 ' 16 34 3 34 у = ж) 9 — (х — 5)' при — (х( —; у = ж — (х — 10) при — (х (1О, 5 5 ' 4 5 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ т. е. кривая состоит из отрезка прямой, касающейся окружности, дуги окружности и снова отрезна касательной к окружности. 7. ум=О, 8. Луги окружности у = ж )' 8х — хг.
К главе 8 хг !. При у — — +1 достигзетси сильный минимум. 2. При у =0 дости- 4 и и гается сильный лгинимум, если 0 < а < —, если же а > —, то минимума Вет. 4' 4' 4 3. Экстремум на непрерывных кривых не доспггается. 4. При у = 7 — —— сильный минимум.
5. При у =-1 — сильный минимум. 6. При у = и!п2х — 1 достигается сильный максимуи. 7. При у = х' достигается сильный минимум гк 8. При у = — лгх достигаетси сильный минимум. 9. При у = Шп 2х дости- 3 гается сильный максимум 10. На прямой у = — х достигается слабый миниУг х, мум. !!. Нз прямой у= — 'х достигается слабый минимуи. !2. При у =хг х, достигается слабый минимум. 13. Г!ри у = х' — ! достигается сильный ,айх максимум.
14. При у =' — +х достигается сильный минимум. ай 2 К главе 9 1. у = ж2з!л них, где л — целое число. 2. Чг= С, + С,х; г = йг. 3. у = =Ахг+ С,х+ Са где Сь Сг и Х опРеделаютса из гРаничных Условий и из и' изопернметрического условия. 4. — (р (х) у') + Р.г (х) 4 (х)) у = О' гГх у(0) =0; у(х,) = О. Тривиальное решение у=О не удовлетворяет изопернметрическому условию, а нетривиальные решения, как известно, существуют лишь при иекоторыд значениях Д, назьшаемыд собственнымн значенияии. Следовательно, и долгкно быть собственным значением. Одна произвольная постоянная общего решения уравнении Эйлера определяется из условия 5 7 у (О) = 0 другая — из изопериметрического условия. 5 у = — —, х+-х; а = х.
2 2 К главе 1О 5 1. а, = — (х' — а') (уг — Ьг). Если иеобходимз большая точность, то Гбаг решение можно искать в виде лг — — (хг — аг) (уг — Ьг) [аь+ а, (хг+ уг)). 2. у, =(х — 1)'(0124+0 218х). 3. Точное решение у= . — х, 4. Решив!и х ып! ние уравнения Эйлера у=3,6072г'г(х)+0,751951'г(х) — х, где У, и 1',— 2 зй х функции Бесселя. 5. Точное решение у = — — х. 6. Если искать решезй2 ние в виде: уз= х(х — 1)(а, +а,х), у,= х(х — 1) (а, +а,х+а,х'), то уг = х (х — !) (О 1708+ О 17436х), у, = х (х — 1) (О 1705+ 0 1760х — О 001 8х ). В заданных точках значения у, и у, с точностью до 0,0001 совпадают.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА К части ! 1. И. Г. Петров с к н й, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, нзд. 5-е, «Наука», 1964. 2. И. Г М а л к и н, Теория устойчивости движения. Гостехиздат, !952 (к ~ л !У). 3. И. Г. Ма л к ни, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, !956 (к 9 8 гл. 2). 4. А Н. Т и х о н о в, О зависимости решений дифференциальньы уравнений от малого параметра, Математический сборник, т. 22 (64): 2 (1948) и т.
31 (72): 3 (1952) (к ф 6 гл. 4). 5. В. В. Степа нов, Курс дифференциальных уравнений, изд. 8.е, Физматгиз, !959. 6 А. Н. Крылов, Лекции о приближегщых вычислениях, изд. 5-е, Гостехиздат, 1950 (к 8 7 гл, 1 и ф 6 гл. 3). 7. И. С. Березин н Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. Гн Физматтиз, 1960 (к й 7 гл. 1 и 6 6 гл. 3).
К части П 1. И. М. Ге л ь фа нд и С. В. Фо м и н, Вариационное исчисление, Физматгиз 1961. '2, М. А Лаврентьев и Л. А Люстериик, Курс вариационного исчисления, изл. 2-е, Гостехиздат. !950. 3. В И. Смирнов, В. И. Крылов и Л. В. Канторович, Варизц~онное исчисление, КУБУЧ, !933. 4. В. И.
С м и р нов. Курс высшей математики, т. 4, изд. 4-е, Физматгиз, !958. 5. 1!. М Г ю н т е р, Курс варизцпонного исчисления, Гостехиздат, 1941. 6, Н. И А х и евер, Лекции по вариационному исчислению, Гостехиздат, 1955. 7. М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, Основы вариационного исчисления, ч. 1 и 2, Гостехнздат, !935. 8. Л.
С. Понтрягин. В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. М ищенко, Математпческая теория оптимальных процессов, Фвзматгиз, 1961. 9. Р. Белл ма н, Динамичсское врограммирование, ИЛ, 1960. 1О. Л. В. Ка н торов и ч н В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, нзд. 5-е, Физиатгиз, 1962.
11. С. Г. Ми хли н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, !950. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕПЬ Асимптотически устойчииое решение 204 Бернулли уравнение 30 Бесселя уравнение 139 — функции 141 †1 Бигармоиическое уравнение 317 Близость кривых 285, 286 Брахистохрона 281, 304, 332, 361 Вариации постоянной метод 28 Вариациопиая задача 281 — — в параметрической форме 317 †3 — — на условный экстремум 375— 393 — †,прямые методы решения 394— 413 — — с подвижными границами 327— 350 Варпационное исчисление 28! — †,основная лемма 295 Вариационный принцип 281, 320 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 Вейерштрасса функция 359 Векторная линия 245 — поверхность 244 Взаимности принцип 388 Влияния функция 123, 16! †1 Вронского определитель 97, 185 Галеркина метод 410 Гамильтона — Якоби,уравнение 370 Гамма-функция 140 Геодезическая линия 282, 38! Голономиые связи 382 Грани ~пан задача 13, 159 Грина функции 161 †1 Гурвица теорема 227 Дикритическкй узел 211 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 30 — — Бесселя 139 — — в полных дифференциалах 32 Дифференциальное уравнение э ча стных производных 10 — — — — — первого порядка 241— 279 — — высшего порядка 85 †1 — —, интеграл 20 — †, интегрирование 10 — —, — с помощью рядов 137 — 146 — — Клеро 73 — — Лагранжа 73 — — линейное высшего порядка 93 — 106, 113 — 124 — — — неодиоролное с постоянны.
ми коэффициентами 124 †1 — — — олноролное с постоянными коэффициентами 107 †1 — — — первого порялка 27 — — †, фундаментальная система решений 100 — †, не решенное относительно про. изводной 68 — —, общее решение 15, 86 — —, общий интеграл 20, 32 — — обыкновенное 1Π— — однородное 25 — †,операторный метод решения 129 в 136 — —, особое решение 57, 78 — †,периодические решения 143— 146 — †,порядок 1Π— — Г1фаффа 255 — —, решение 1О, 169 — — Рпккати 31 — — с разделенными переменными 19 — — с разделяющимися паременными 21 — —, теорема существования и един. ственности решения 39 — 61, 75— 82, 85 — 87 — — Эйлера 110 — 113, !36 Изоклины 17 Изопериметрическая задача 282, 317, 385 Изопернметрическне условии 282, 386 пяедметныи укАЭАтель 423 Интеграл дифференциального уравне.
ния 20 — первый 89, 179 — полный 261 Интегральная кривая 16, 169 — — особая 78 — поверхность 261, 268 Интегрируемая комбинация 178 Интегрирующей множитель 35 Канторовича метод 406 †4 Квазнлинейное уравнение в частных производных 243 Клеро уравнение 73 Ковалевской теорема 242 Коши задача 13 — метод 121, 268 Краевая задача 13, 159 Лагранжа уравнение 73 Лагранжа — Шарип метод 264 Лагранжнан 324 Лапласа уравнение 315 Лежандра условие 362 Линейная зависимость 96, 185 — система дифференциальных урав пений 181 †1 — — — — с постоянными козффн. циентами 192 — 199 Линейное дифференциальное уравне ине 27 — — — в частных производных неоднородное 243 — — — — — — однородное 243 — — — высших порядков 93 — 106, 113 †1 — — — с постоянными козффипи.
ентамн !07 — 110, 124 — 136 — — —, фундаментальная система решений 100 Линейный дифференциальный опера. тор 94 †1 — функционал 287 Липшица условие 40 Ляпунова второй метод 215 — теорема 215, 217 — фувкция 215 Максимум функционала 289 — — сильный 290 — — слабый 290 — — строгий 289 Малкина теорема 235 Малого параметра метод 147 †1 Метрическое пространство 48 Минимум функционала 289 Минимум функционала сильный 290 — — слабый 290 Наклон поля 351 Наложения принцип 114, 189 Начальная задача 13 Неголаномные связи 382 Непрерывный функционал 285, 286 Неустойчивое решение 204 Неустойчивый предельный цикл 226 — узел 208.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
