Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. в рассматриваемом случае К,(хе)= К,(х,)=0. Очевидно, что при таком выборе при любых а, функции у„(х) удовлетворяют заданным граничным условиям. В качестве функции (У'е(х) можно выбрать, например, линейную функцию 1Г' (х)= У' У' (х — х,)+у. х,— х, Решение системы уравнений — =0 (1=1,'2, ..., л), вообще де даг говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относительно неизвестной функции и ее произволных функционал о, так как в этом случае уравнения — =0 (1=1, 2, ..., в) линейны относиде даг тельно а,. Выбор последовательности функций В'и )ка, ..., Ю„, ..., называемых координатными функциями, сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора координатной системы функций в значительной мере зависит успех применение этого метода.
пяямыв мвтоды в влгилционных злллчлх 1гл. ю Все сказанное выше в полной мере относится и к функционалам о[а(хЭ, хз..., х„)[, причем, конечно, в этом случае функции [р! должны быть уже функциями переменных хи х,, х„. а также— к функционалам, зависящим от нескольких функций. Метод Ритцз часто применяется для точного илн приближенного решения задач математической физики.
Например, если требуется найти в некоторой области 0 решение уравнения Пуассона д!г дга — + — =У(х у) дх! с)у! при заланных значениях з на границе обласп! с), то можно заменить эту задачу вариационной задачей об экстремуме функционала, для которого данное уравнение является уравнением Остроградского (см. стр.
315). В рассматриваемом случае таким функционалом будет Функцию з, реализуюшую экстремум этого функционала, можно находить любым из прямых метолов. Задачи математической физики обычно сводятся к исследованию на экстремум функционалов, квадратичных относительно неизвестной функции и ее производных, и следовательно, как указывалось выше, применение метода Рнтца в этом случае упрощается. Вопрос о сходимостй приближений. получаемых по методу Ритца, к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке степени точности этих приближений является весьма слоэкным.
Поэтому ограничимся здесь лишь немногими замечаниями. отсылая чнтагеля, желающего полробнее ознакомиться с этим вопросом, к книгам Михлина [1!) и Канторовича и Крылова [1О[. х[ля определенности будем иметь в зилу функционал о [у (х)[ = ~ г". (х, у (х), у' (х) ) Их и предполагать, что речь илет о его минимуме. Последовательность координатных функций %'Э(х), К',(х), ..., Ф'„(х), ...
будем считать полной в том смысле, что каждая допустимая функция может быть с любой степенью точности аппрокснмирована в смысле близости пер- Л ваго порялка линейной комбинацией ~' а [р'„(х) координатных функа=! цнй, где л достаточно велико. Тогда, очевидно, что методом Ритца л можно получить функции у,. уя, ..., у„, ..., где у„=- ~'азат„(х), а=! метОд Ритцл ЧО1 образующие так называемую минимизирующую последовательность. т.
е. последовательность, для которой значения функционала ~ (У1)' О (Уз)' ' ' ' ' т! (Ул) сходятся к минимуму или к нижней грани значений функционала О(у(х)]. Однако из того, что !нп и (у„(х)) = ш!пи [у(х)), отнюль не л-л л следует, что !!ш у„(х) = у (х). Минимизирующая последовательность л-л' может н не стремиться к функции, реализующей экстремум в нлассе допустимых функций. ,Действительно, функционал к, и (у„(х)) = ~ Г (х, у, (х), у„' (х) ) с(х к; может мало отличаться от к, О ! у (х) ! = — ( Г (х.
у (х), у' (х) ) с(х, к, не трлько в том случае, когда на всем отрезке интегрирования у„(х) близка в смысле близости первого порядка к у (х), но и в том случае, когда на достаточно малых частях отрезка (х,, х,) функции у, (х) и у(х) или их производные резко отличаются у друг от лруга, оста- „!х! ваясь близкими на остальной части отрезка (хв, х,) (рис. 10.2). Поэтому ми- ! нимнзируюшая последо- 1 вательность ун у,, ..., у„ ! ! может даже не иметь пре- 1 дела в классе допустимых ! 1 Х функций, хотя функции х, у,, у2,...,у„сами и будут допустимыми, Рве. 10та Условия сходнмости последовательности у„, полученной методом Рнтца, н решению вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся функционалов были разработаны в трудах Н.
М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Так, например. лля функционалов вида 1 21= ~ (р(х) у" +д(х)уз+~(х) у) г(х; у(0) =у(1) = О, о 402 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ [Гл. !з где р(х) Р 0; [)(х))~0, часто встречающихся в приложениях, не только доказана сходимость приближений, получаемых по методу Ритма, к функции у(х), реализующей минимум функционала, при координатных функциях [Ра(х)=~Г2 з[пйпх (й=1, 2, ...), но и даны весьма точные оценки погрешности [у(х) — у„(х)(.
Приведем одну нз этих оценок максимума )у(х) — у„(х)! на отрезке (О, 1): шах/у — у„) ( [ ~уз(х) ал 1 щах я (к) 1 я гг < „1 1 1'пах Р(х) +(„+1)Я„Я~ з')( пуф 2 (щ[я р (хЦ ~ )( ~ШаХ[Р'(Х)[+ — ГПаХ д(Х) +Л Ш[П Р (Х)) ч). Даже з этом, сравнительно простом случае, оценка погрешности очень сложна. Поэтому лля оценки точности результатов, полученных методом Ритца илн другими прямыми методами, обычно пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом.
"вычислив у„(х) и у„„,(х), сравни- 6 зают их между собой в нескольких точнах отрезка (х,, х,). Если з пределах требуемой точности их значения совпадают. то считают, что с требуемой точностью решение рзссматриваемой вариационной задачи равно у„(х). Если же значения у„(х) и у„~,(х) хотя бы в некоторых нз выбранных точек в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют у„,з(х) и сравнивают значения у,+,(х) и у„чз(х). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения у„ч„(х) и у„~ а+[(х) не совпадут в пределах заданной точности. Пример 1.
При изучении колебаний заделанйого клина постоянной толщины (рнс, 10.3) приходится исследовать на экстремум функционал г н= ~ (ахау"Я вЂ” Вху') алй[ у(1) =у'(1) О, е ") См. книгу Канторовича н Крылова (10). пгямыв мятоды в влгилциоииых злдлчлх 1гл, ю для цилиндра с эллиптическим поперечным сечением область интегрирова хз уз ния П будет ограничена эллипсом — + — 1. В этом случае, взяв лишь аз Ь' одну координатную функцию ху, получим л, аху, о (х,! = о, =. ((а+1)з аз+(а — 1)' Ь'). паЬ 4 доз Необходимое условие экстремума — О принимает в длинам случке вил да (а+ 1) аз+ (п — 1) Ь' О, откуда Ьз — аз а'+ Ь' ' Ь' — аз а'+ Ь' лз = а,ху+ а,хуз + а,х'у.
получим а з о =о( з) / / И~ — у) +~~ з+х)~дхду -а з 4,,(Ь' Зазт З З (а' ЗЬз1 — аь'(а, — 1)'-+ 4аь' ! — + ) аз+ 4а ь( — + — ) аз+ (75)з 4 8 з -(- — азэ (а -1-!)з+ — аЬз (а, — 1) а + — аЧ (а, + 1) аз— 3 ' 5 5 8 ' 8 — — авЬ (а, + 1) а, — — аЧз (а' + Ь ) а а, — — азЬ' (а< — 1) ам 8 двз доа доз Необходимые условия экстремума — = О, — = О, — О позиода, ' дав даз ляюз вычислить аз, аз, аз. 7 (ав — Ьв) + 135азЬз (аз — Ьз) а, 7 (а' + Ьв) + 107аЧз (а' + Ьз) ' 7а' (За' + 35Ь') 2! (а'+ Ь') +321аЧз(аз+ Ьз) ' 7Ь' (35а'+ ЗЬз) пз 21 (а + Ьв) +32)авЬз (аз+ Ьз) Пример 4. Найти решение уравнения д'г дзх — + — /(х, у) дх' ду' внутри прямоугольника (у.
0<х<а. 0<у < Ь, обращающееся в нуль на границе В. Функция у (х, у) предполагается рззложимой внутри рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходищийся двойной ряд Фурье: У(х, у) )' ~) 5 з!п р — з(пв) —. их ау ля а Ь' з за з П ример 3. Если в условиях предыдущего примера область (7 будет прямоугольником со сторонами йа и 2Ь, — и < х < а; — Ь < у < Ь, то, взяв за координатные функции ху.
хуз, х'у. т. е. йоложив мстод пития 4 з] Эту краевую задачу можно свести к вариационной задаче, т. е. подобрать функционал для которого заданное уравнение было бы уравнением Остроградского. и затем одним из прямых методов найти функцию, реализуюшую зкстремум этого функционала, и тем самым найти решение исходной краевой задачи Как легка проверить, д'х да а — + — у(х, у) дх' ду' является уравнением Остроградского для функционала о[а (х, у)( / ~ (( — ~ + ( — ) +йху(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
