Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Решение можно искать в виде у„(х) (х — !)о (ао+ а,х + ... + а„х"); провести вычисления прн в = 1. 3, Найти приближенное решение задачи о минимуие функционала ! (у (х)! - ~ (у" — у' — йху) вх! у(О) у(Н О. о и сравнить с точным решением. Указание. Приближенное решение можно искать в виде у» х(1 — х)(по+а,х+ ... +а„хл)! провести вычисление при в=О и в 1. 4. Найти приближенное решение залачи об экстремуме функционала хо — 1 о(у(х)) / ~ху — — у' — 2хоу)нх; у(1)-у(2) О, х ! н сравнить с точным решением.
задачи к Гллпе гв У к а з а н и е. Решение можно искать в виде 41б у = а (х — 1) (х — 2), б. Найти методом Ритце приближенное решение задачи о минимуме функционала 2 о[у(х)] ~ (у' +уз+ 2ху) Ат) у(0) = у(21= 0, в и сравнить с точным решением. У к а ванне. См. задачу 3. б. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения у" +х'у=х; у(0) у(1)=0. Определить у;(х) ну,(х) и сравнить из значения в ~очках х=0,25.
х= 0,5 и х = 0,75. . ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ К главе 1 1. з!и у соя х =-с. 2. бхт+5ку+у' — 9х — ЗУ = с. 3. х' — 2су = сз. 4 у= — + — 5. — + — =с.б.х=.сс ' + — е . 7.у=ссозх+з!пх. У' У -з~ ! м 4 ' 2 х ' ' 5 8. г — е =с. 9. х=се' — — „(соя|+а!пг). 10.
Однородное уравнение: 2 к 1 х = ус'"''. 11. у = сх и у' — х'= с. !2. Ут = —. 13. !п ! Г!=с — г (Зх+ с)' х = з!и г, 14. Можно ввести параметр, полагая у' = соз ! ( Г з1п 21 1 ( х = р' — р -(-2, 15. у = ах+ —; особое решение у'=4х. 16. 3 рт 17. Уране' у = — р' — —, + с. 4 2 4, 3 ,(х. Ут ~ х = — р' — —, р'+ с, пение линейно относительно х и †,х = су -(- †.
!8, 3 2 йу' 2' ! у =,о' — р' — 2. 19. Гиперболы х' — у'= с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кри- вит,у = у'. Огиз. у' = 2сх. 21. Дифференциальное уравнение искомых кри2х вык у — ху' = х. Отв. у = сх — х!п ! х !.
22. х'+ у' — 2су = О. Особенно просто задача решается в волярнык координатах. 23. Дифференциальное г(Т уравнение задачи — =Л(à — 20). Ота Через 1 час. 24. Дифференциальо! де нос уравнение задачи — =до, где е — скорость. Отз, о = 0,466 км7час, л'! 26. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось абсцисс параллельно данному в условйях задачи направлению, то дифферен- циальное уравнение кривил, вращением которых образуется искомая поверх— х х )рх'+ у ность, имеет вид у' = (или дх — др = О, где р = ргха-(-ут) У „ Ошв.
Осевое сечение искомой поверхности определнется уравнением у'-.-2сх+сз, поверхность является параболоидом вращения. 26. у = 2 з!и (х — с). 27.Дифференциальное уравнение искомыл' кривых у' = — —. Оша. ГипербоУ х ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 415 (уз + «)з. + У У у 58. у= ! 1+ сх+ !п х и у =О. 59. (х' — 1) у — в!пх = с.
60. 8у+4х+5 = сез» вт 4. 61. у +ха — Зху = с. 62, у = с(х +у ). 63. Уз= х+ —. х 64. у = с(х+а)+се й особое решение у =— (х+ а)' 2 с 4 ' ' 3 Сз' . 65. х= — Г+ —, 3 с у=2х! — Ри у=О, у= — ХК 66. у= 4 ' ' 1Хсовх' К главе 2 3.» 1 ! сове 1. у =бе в!их+10. 2. х= с, сов!+с,в!пг+ — сов2!— 3 2 сов' х ! 3, (у — с,) =с,х+се 4, у = с, воях+сев!и х+ —— в!пх 2в!пх' ! 1 ! 5. у = с,х'+ с,х'+ —. 6. у = с, в!п х+ с, сов х+ — сй х. 7. у + 1. с,х+ с, Ре' 1 х с!+1 8, х = е~~ (с, + с,т) + — + е' + —.
9. у = — — + — !п ! 1 + с, х !+ с,. 2 4 с, св хз 1О. стх +!=-с, (!+сз) . 11.у=с,е «+сте «+сасов2х+аз в!п2х — — +1 е'. !2. У = сов (х — с,)+с,х+сз 13 У = с,е»+сзе-к+аз«'+с,х" +с,х+сз — — ° 4х' 15. У св (! — — + 2 ° 3 !4. х е' (с, + сзс)+ е '(с, + сзз) + 1 + Р лы ху=с, а. (х+у+1)з с(х — у+3). 29. у= + ) . ЗО.У(0.5! с+2х+х' ' зе0,13. 31. у (0,6) зв 0,07. 32.
у (0,02) ге 1,984; у (0,04) ш 1,970; у (0,06! ш 1,955; у(0,08) ю1,942; у(0,10) ш1,930 у(0,12) ее 1,9!7! У(0,14) як 1,907; у(0,18) ш1,896; у(0,18) ш 1.886; у(020) зс 1,877; у(0,22) зн 1,869; у(0,24) ж1,861; у(0,26) ге 1.854; у(0,28) = 1,849; у(0,30) ш 1,841. 33.! Р' 3 ' и У 0.34.х+стЗ вЂ” =с. 2 ~ у = 2рх — рт. 36, (х-1- у+1)з= сев» т. 37. у = с; у = ек+ с; у = — е»+с.
38. у'=2сх+сз. хз — 1 х' — 1 2 1 х' х' 39. Не имеет, 40. у, =; Уз — — — + — — — х+ — — —, 2 ' 2 15 4 6 к Зу' 41. у = 2хз — х. 42. Не имеет. 43. х = се . 44. хз + — = сз. 45. х = 2Г. 2 х' 46. х=Р, 47. у= — к+! н у= — —. 48. действительного решения не » -т сз — хз существует. 49. Зх — 4у+ ! = се т 50.
х = (4г+ с) в!п г. Ы. у = сх+— 2 7хз а иособое решение у = — хК 52. у =, у =О. 53. х — с= —,(2à — в!п2!), х' + с' 2 у = — (1 — сов 2!) — сечейство циклона Особое решение у = а. У к а з а- 2 нне: удобно ввести параметр г, полагая у'= стет.
54. 3(х'+ у)+ ху'= сх. к 4 с 56. х=сс . т 57. хз 2х — ' — бх — 2 с, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАЛАЧАМ 417 л l ах ! У ее г' ао . 5) х — хо =- аг / — ' С вЂ” Го = ег / с р ! х ' ,/ у (о)! ,/ у (о)' с ° ".+ — /'у(х) !. 41. у = с, + с,х+ сзх +е (с, + сох+с,х ) — — — —. о х х' х' 2 24' ) з 42. х=(с, +с С)сов!+(с,+с С)в)пт — — Гз сов ! 43. у = с, сов!п(1-?-х) (- 8 сх (2 — ио) в)и ас — 2п сов аг +с, в)п)п(1+х)+)п(1+х) в)и)п(1+х).
44.х= у о=! и, '~п à — (и' — аз) аа — а,прс а~па,— (а' — а,) )бс 45, х= — '+ 24, 2,2' 2 2 сова!+,,г',2 2 —,,"з)иггг (и — а,,) + а)гг= соз ! где ао, а„, !)с — козффнциенты Фурье функции 1(г). 46, х=- — + 2 ! -)- — (1.+ 3 сов 2!) 47. у = сх+ с хе . 48. х ус+ху' — у = О. 24 У2 )с2 У2 ! 2 'г' 'ге 2 )' 2 49. х=-е (с соз —,С+сов)в —, Г~ (-е )сз соз —,С+с з)и —, С)+Сз, —,) 56 х Гз ! Г + 1 У Г" )- — Гз -Ь вЂ” Н -1- с, -)- — Сз -)- сгг -)- с 5 1 8 19 ' 16 ~ 6 ) 2с Сз -зг оси -1 —,— тс и. = с'.е - 'с, (5+ ! п 2)' РЗ )гз ) -2!' ) 3 ) 3 +е ( с соз — х+ с в)п — х) + е ~со соз — — х+ со з!п — х) + 2 2 ) 2 2 е2Х хг 1 к + —, 54. у=(с,х+ с,) сов х+(с,х+с,) в)их+со+с,х+ — + — е".
63 ' 6 4 55, У = (с х + с ) + с х+ сс 56. У = е ' — — — + се 57. У=с, совх (- с )зс,.сг .с ~)с! с, / зги 2х в)п4х 1 с„1 + с, в)и х — —, 6 30 ' ' х — 2 ' с,' 58, у = — —. 59. у = сое' г .( Н главе 3 1. х = з)п Г, у = сов С. 2. х, = 2е'. х, = 2е( 3. х = с,е( (-! — ?')2) г 2 с -1- с е -)- — е' + — е'; у находим из первого уравнении: у = е' г 11 6 — 2'/ )гЗ . РЗ вЂ” — 5х. 4. х=се'+е 2 (с,сов, )+сов)п — Г); у и е опресгг 2 г(х сгзх с с. с с деаякгтся из уравнений: у = —, е = —.
5, х = с,е"; у = с,сое'с', сгс ' асс 6. х = с, сов г + с, в)п ! + 3 У = — с, в)п с + с, соз е 7. У = с го (х) 1- с Уо (х); а= х(сгс'„(х)+се У„(х)). 8. х+у+е= с), х +уз+а с22. 9. х= с)е'( атввты и кклзлиия к задачам 418 -(-с,е т'1 У='с,е~+сзе ", к=с,е' — (с,-(-сПе -' !О. х сЕ+ —; сз с, у = — с,1+в 11. х с, соз Е+ С, з(п Š— Е соз Е+ з)п Е1п ! з(п Е 1; у опреех деляется нз уравнения у = — — 1, 12 х' — у' сь у — х — Е = се ег 18 х = с е'-(-с е + з1п Е, у — с,е -«- с е 14, х=е; у=4е'. 15. 0(1) = 0047. 16. Х=Ее'(С, СОЗЕ+С,З(ПП у=Ею(С, ШПŠ— С, СОВЕ). 17.
к=2се '+се ", у= — се '+се т'. 18, х=е "(йс,созс+ +2с,з1п 1), у = е '((с, — с) соз Е+(с, +с) з1п Е). 19 х = се'+ с,. у =- =(с,(+се)е' — Š— 1 — се, в=у — с,е'. ю). х+у+х= с,, хух= се Е 21, х +у +к =си хух= с. 22. Х=Г 1с,е + сге ! с,е'+Зете '1~ К главе 4 К главе 5 т ( к) е" Ф(х). 4. Ф !х, уе'! =О. 7. и х'Ф1 — - 1. 8. л Еу (ха' х'Е" к-з 1. л=Ф(х+у). 2.
л еакФ (х — у). 3. л Ф (х'у') 5. к=5+ 6. и = Ф(х — у, у — х). уа =уг" 11. х Зх 12.»= 14. Ф(ле — хе х' — у') О. = хЖ (У)+Фа(у). 9. х (х'+у — 1)д 1О. х 2х "ь ~»' — — ) . !3. Ф( '+х', .' — ут) 1. Точка покоя асимптотическн устойчива. 2. Точка покоя неустойчива. 1 ! 3. Г!Ри а < — —, точка покоя асимптотнчески устойчива, при а = — — устой- 2 2 1 чина, при а > — —, неустойчива. 4. Прн а <0 точка покоя асимптою1чески 2 устойчива, при а > 0 неустойчива. 5. Прн 1 < Е < 2 х(Е, р)-ьр 4 — Р; прв 2 < Е < 3 х (Е, р) -э — ) 9 — Р; при Е > 3 х (Е, р) -ь со. 6. х (Е, Гс) -ь со, 7, Точка покоя неустойчива. 8.
Точка покоя устойчива. 9. Точна покоя неустойчива 10. Точка покоя устойчива. 11. Седло. 12. Периодическое решение к = 1 2 5 5 = — з)п Š— — сов г асимптотически устойчиво. 13. Все решения, в том числе и периодические, асимптотически устойчивы. 14. Точка покоя неустойчива. функция о = х' — у' удовлетворяет условиям теоремы Четаева. 15. Все решения неустойчивы.
!6. Решение х =— 0 неуствйчнво. 17. При 1 < е < 2 решение к =0 асимптотически устойчиво.. Прн а = 1 н при а = 2 решение х == 0 устойчиво. При а > 2 и при а < 1 решение кем 0 неустойчиво. 18 Решение х=О, у=О устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Функция о = 4х'+ Зу' удовлетворяет условиям теоремы а(алкина. 19. Решение Х (Е) ма О неустойчиво. 20. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет. 21. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости созŠ— з(пЕ нет. ~2. Периодическое решение х, неустойчиво 23. Область устойчивости 0 < а <; 1, область асимптотической устойчивости О < а < !. 24.
Область устойчивости а > 5. область асимптотической устойчивости а > 5. ответы и кклзлнип к задачам 419 15. Не интегрируется. 16. 2ху+ук+бхх'= с 17. х=- ах'+ — +Ь (возОа можны и другие ответы). !8. а= ах+ ау+ азЬ' (возможны и другие аз, т— !аэ.т+г! веты). 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
